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1[中]将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是
(
A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.10
D.$\frac{35}{4}$
(
A
)A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.10
D.$\frac{35}{4}$
答案
1.A 【解析】由题意易得$∠C=90°.$ 如图(1)所示,由已知可得, $△DFE ∽ △ECB,$ 则 $\frac{DF}{EC}=\frac{FE}{CB}=\frac{DE}{EB}.$ 设$DF=x, CE=y,$ 则 $\frac{x}{y}=\frac{9}{7}=\frac{6+y}{2+x},$ 解得 $\begin{cases} x=\frac{27}{4}, \\ y=\frac{21}{4}, \end{cases}$ $\therefore DE=CD+CE=6+\frac{21}{4}=\frac{45}{4},$ 故选项 B 不符合题意; $EB=DF+AD=\frac{27}{4}+2=\frac{35}{4},$ 故选项 D 不符合题意. 如图(2)所示,由已知可得, $△DCF ∽ △FEB,$ 则 $\frac{DC}{FE}=\frac{CF}{EB}=\frac{DF}{FB}.$ 设 $FC=m, FD=n,$ 则 $\frac{6}{9}=\frac{m}{n+2}=\frac{n}{m+7},$ 解得 $\begin{cases} m=8, \\ n=10, \end{cases}$ $\therefore FD=10,$ 故选项 C 不符合题意; $BF=FC+BC=8+7=15.$ 如图(3)所示,此时两个直角三角形的斜边长分别为 6 和 7. 故选 A.
2[2026浙江金华期末,较难]如图是一个由A、B、C三种直角三角形纸片拼成的矩形,相邻纸片之间既不重叠也无缝隙,且纸片C与B相似,纸片B与A相似,相似比相同,其中纸片A、B、C的面积分别为$S_1,S_2,S_3$.若$S_1＞S_2＞S_3$,则这个矩形的面积一定可以表示为 (
A.$4S_1$
B.$6S_2$
C.$4S_2+3S_3$
D.$3S_1+4S_3$
A
)A.$4S_1$
B.$6S_2$
C.$4S_2+3S_3$
D.$3S_1+4S_3$
答案
2.A 【解析】如图,设相似比为 $k, EF=m,$ 则 $GH=mk, FH=mk^2, \therefore EH=m(1+k^2), \therefore FM=\frac{m(1+k^2)}{k}, FK=km(1+k^2).$ 由题意得 $KM=GH=mk, \therefore km(1+k^2)+mk=\frac{m(1+k^2)}{k},$ 整理得 $k^4+k^2-1=0, \therefore k^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $k^2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去). $\because \frac{S_2}{S_1}=\frac{S_3}{S_2}=k^2, \therefore S_2=k^2S_1, S_3=k^2S_2, \therefore S_3=k^4S_1, \therefore S_2+S_3=(k^2+k^4)S_1=[\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2] × S_1=S_1, \therefore$ 这个矩形的面积为 $2S_1+2(S_2+S_3)=4S_1,$ 故选 A.
3[2025江苏无锡期末,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=3$,$D$为直线$AC$左侧一点.若$△ ABC ∽ △ CAD$,则$BC + CD$的最大值为.
答案
4.【解】$\because △ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠B=60°. \because ∠B+∠BDE+∠DEB=180°, \therefore ∠BDE+∠DEB=120°.$
$\because △ADC ∽ △DEB, \therefore ∠ADC=∠DEB, \therefore ∠ADC+∠BDE=120°. \because ∠ADC+∠ADE+∠BDE=180°, \therefore ∠ADE=60°.$
$\because △ADC ∽ △DEB, \therefore ∠ADC=∠DEB, \therefore ∠ADC+∠BDE=120°. \because ∠ADC+∠ADE+∠BDE=180°, \therefore ∠ADE=60°.$
4[2026浙江温州调研,中]如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AB上,且△ADC∽△DEB,求∠ADE的度数.
答案
5.【解】(1)解 $x^2-7x+12=0$ 得 $x_1=3, x_2=4. \because OA＞OB, \therefore OA=4, OB=3.$ 故答案为 4,3.
(2)由(1)得 $OA=4, OB=3, \therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5. \because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore AD=AB=5.$ 设点 $E$ 的坐标为 $(m,0),$ 则 $OE=|m|.$ 当 $△AOE ∽ △DAO$ 时, $\frac{OA}{AD}=\frac{OE}{OA}, \therefore \frac{4}{5}=\frac{|m|}{4}, \therefore |m|=\frac{16}{5}, \therefore m=\pm \frac{16}{5}, \therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\frac{16}{5},0)$ 或 $(-\frac{16}{5},0);$ 当 $△AOE ∽ △OAD$ 时, $\frac{OA}{OA}=\frac{OE}{AD}, \therefore \frac{4}{4}=\frac{|m|}{5}, \therefore |m|=5, \therefore m=\pm 5, \therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(5,0)$ 或 $(-5,0).$ 综上,点 $E$ 的坐标为 $(5,0)$ 或 $(-5,0)$ 或 $(\frac{16}{5},0)$ 或 $(-\frac{16}{5},0).$
(2)由(1)得 $OA=4, OB=3, \therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5. \because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore AD=AB=5.$ 设点 $E$ 的坐标为 $(m,0),$ 则 $OE=|m|.$ 当 $△AOE ∽ △DAO$ 时, $\frac{OA}{AD}=\frac{OE}{OA}, \therefore \frac{4}{5}=\frac{|m|}{4}, \therefore |m|=\frac{16}{5}, \therefore m=\pm \frac{16}{5}, \therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\frac{16}{5},0)$ 或 $(-\frac{16}{5},0);$ 当 $△AOE ∽ △OAD$ 时, $\frac{OA}{OA}=\frac{OE}{AD}, \therefore \frac{4}{4}=\frac{|m|}{5}, \therefore |m|=5, \therefore m=\pm 5, \therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(5,0)$ 或 $(-5,0).$ 综上,点 $E$ 的坐标为 $(5,0)$ 或 $(-5,0)$ 或 $(\frac{16}{5},0)$ 或 $(-\frac{16}{5},0).$
5[2026江苏无锡调研,较难]如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,若OA,OB的长是一元二次方程$x^2 -7x +12=0$的两个根,且OA＞OB.
(1)OA=,OB=;
(2)连结OD,若点E为x轴上的点,当△AOE与△DAO相似时,求点E的坐标.
(1)OA=,OB=;
(2)连结OD,若点E为x轴上的点,当△AOE与△DAO相似时,求点E的坐标.
答案
解：
(1) 解方程$x^2 -7x +12=0$，得$x_1=4$，$x_2=3$。
$\because OA＞OB$，
$\therefore OA=4$，$OB=3$。
(2) 由(1)得$A(0,4)$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD=AB=5$，$AD// BC$，
$\therefore D$点坐标为$(5,4)$，即$AD=5$，$∠ OAD=90°$。
$\because$ 点$E$在$x$轴上，$\therefore ∠ AOE=90°$，即$∠ AOE=∠ OAD$。
当$△ AOE$与$△ DAO$相似时，分两种情况：
① 若$\frac{AO}{DA}=\frac{OE}{AO}$，代入$AO=4$，$DA=5$，
得$\frac{4}{5}=\frac{OE}{4}$，解得$OE=\frac{16}{5}$，
$\because E$在$x$轴上，$\therefore E$的坐标为$(\frac{16}{5},0)$或$(-\frac{16}{5},0)$；
② 若$\frac{OE}{DA}=\frac{AO}{AO}$，代入$AO=4$，$DA=5$，
得$\frac{OE}{5}=\frac{4}{4}$，解得$OE=5$，
$\because E$在$x$轴上，$\therefore E$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
综上，点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{16}{5},0)}$、$\boldsymbol{(-\frac{16}{5},0)}$、$\boldsymbol{(5,0)}$、$\boldsymbol{(-5,0)}$。
(1) 解方程$x^2 -7x +12=0$，得$x_1=4$，$x_2=3$。
$\because OA＞OB$，
$\therefore OA=4$，$OB=3$。
(2) 由(1)得$A(0,4)$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD=AB=5$，$AD// BC$，
$\therefore D$点坐标为$(5,4)$，即$AD=5$，$∠ OAD=90°$。
$\because$ 点$E$在$x$轴上，$\therefore ∠ AOE=90°$，即$∠ AOE=∠ OAD$。
当$△ AOE$与$△ DAO$相似时，分两种情况：
① 若$\frac{AO}{DA}=\frac{OE}{AO}$，代入$AO=4$，$DA=5$，
得$\frac{4}{5}=\frac{OE}{4}$，解得$OE=\frac{16}{5}$，
$\because E$在$x$轴上，$\therefore E$的坐标为$(\frac{16}{5},0)$或$(-\frac{16}{5},0)$；
② 若$\frac{OE}{DA}=\frac{AO}{AO}$，代入$AO=4$，$DA=5$，
得$\frac{OE}{5}=\frac{4}{4}$，解得$OE=5$，
$\because E$在$x$轴上，$\therefore E$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
综上，点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{16}{5},0)}$、$\boldsymbol{(-\frac{16}{5},0)}$、$\boldsymbol{(5,0)}$、$\boldsymbol{(-5,0)}$。
6[较难]如图,在矩形ABCD中,E是CD上一点,AE=AB,作BF⊥AE.
(1)求证:△ADE≌△BFA;
(2)连结BE,若△BCE与△ADE相似,求$\frac{AD}{AB}$的值.
(1)求证:△ADE≌△BFA;
(2)连结BE,若△BCE与△ADE相似,求$\frac{AD}{AB}$的值.
答案
6. (1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠D=∠DAB=90°, \therefore ∠DAE+∠FAB=90°.$
$\because BF⊥AE, \therefore ∠AFB=90°, \therefore ∠D=∠AFB, ∠FBA+∠FAB=90°, \therefore ∠DAE=∠FBA.$
在 $△ADE$ 和 $△BFA$ 中, $\begin{cases} ∠DAE=∠FBA, \\ ∠D=∠AFB, \\ AE=BA, \end{cases}$
$\therefore △ADE ≌ △BFA(\mathrm{AAS}).$
(2)【解】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠C=∠D=90°, DC // AB, \therefore ∠CEB=∠ABE, \therefore$ 设 $∠CEB=∠ABE=x°.$
$\because AE=AB, \therefore ∠AEB=∠EBA=x°.$
当 $△BCE$ 与 $△ADE$ 相似时,有两种情况:
①当 $△ADE ∽ △BCE$ 时, $∠DEA=∠CEB=x°.$
$\because ∠DEA+∠AEB+∠CEB=180°, \therefore x+x+x=180,$ 解得 $x=60,$ 即 $∠DEA=60°,$
$\therefore ∠DAE=90°-60°=30°, \therefore AE=2DE.$
由勾股定理得 $AD=\sqrt{AE^2-DE^2}=\sqrt{(2DE)^2-DE^2}=\sqrt{3}DE.$
$\because AE=AB, \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{3}DE}{2DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
②当 $△ADE ∽ △ECB$ 时, $∠DEA=∠EBC,$
$\therefore$ 设 $∠DEA=∠EBC=y°.$
$\because ∠CEB=∠EBA=∠AEB=x°, \therefore ∠DEA+∠AEB+∠CEB=y°+x°+x°=(y+2x)°=180°.$
在 $\mathrm{Rt}△BCE$ 中, $∠EBC+∠CEB=y°+x°=(y+x)°=90°,$ 即 $\begin{cases} y+2x=180, \\ y+x=90, \end{cases} \therefore x=90,$
即 $∠CEB=90°,$ 此时点 $E$ 和点 $C$ 重合, $△BEC$ 不存在,舍去.
综上, $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$\because BF⊥AE, \therefore ∠AFB=90°, \therefore ∠D=∠AFB, ∠FBA+∠FAB=90°, \therefore ∠DAE=∠FBA.$
在 $△ADE$ 和 $△BFA$ 中, $\begin{cases} ∠DAE=∠FBA, \\ ∠D=∠AFB, \\ AE=BA, \end{cases}$
$\therefore △ADE ≌ △BFA(\mathrm{AAS}).$
(2)【解】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠C=∠D=90°, DC // AB, \therefore ∠CEB=∠ABE, \therefore$ 设 $∠CEB=∠ABE=x°.$
$\because AE=AB, \therefore ∠AEB=∠EBA=x°.$
当 $△BCE$ 与 $△ADE$ 相似时,有两种情况:
①当 $△ADE ∽ △BCE$ 时, $∠DEA=∠CEB=x°.$
$\because ∠DEA+∠AEB+∠CEB=180°, \therefore x+x+x=180,$ 解得 $x=60,$ 即 $∠DEA=60°,$
$\therefore ∠DAE=90°-60°=30°, \therefore AE=2DE.$
由勾股定理得 $AD=\sqrt{AE^2-DE^2}=\sqrt{(2DE)^2-DE^2}=\sqrt{3}DE.$
$\because AE=AB, \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{3}DE}{2DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
②当 $△ADE ∽ △ECB$ 时, $∠DEA=∠EBC,$
$\therefore$ 设 $∠DEA=∠EBC=y°.$
$\because ∠CEB=∠EBA=∠AEB=x°, \therefore ∠DEA+∠AEB+∠CEB=y°+x°+x°=(y+2x)°=180°.$
在 $\mathrm{Rt}△BCE$ 中, $∠EBC+∠CEB=y°+x°=(y+x)°=90°,$ 即 $\begin{cases} y+2x=180, \\ y+x=90, \end{cases} \therefore x=90,$
即 $∠CEB=90°,$ 此时点 $E$ 和点 $C$ 重合, $△BEC$ 不存在,舍去.
综上, $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
