7. [2025河北中考] 如图,在五边形ABCDE中,$AE // BC$,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定$△ MAE ∽ △ DCN$,则这个条件是 ()

A.$∠ B + ∠ 4 = 180°$
B.$CD // AB$
C.$∠ 1 = ∠ 4$
D.$∠ 2 = ∠ 3$

4. D

8. [2025攀枝花中考]如图，$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$D$为$BC$的中点，$CE ⊥ AB$于点$E$，$AD$与$CE$相交于点$O$，则$\frac{OD}{OC}=$（）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{24}{25}$

B

∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC=1/2 BC=3。在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√(AB²-BD²)=√(5²-3²)=4。
∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，可得∠B + ∠BCE=90°，又∠BAD + ∠B=90°，∴∠BAD=∠OCD。
又∵∠ADB=∠CDO=90°，∴△BAD∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例，得OD/BD = CD/AD = OC/AB，代入BD=3，CD=3，AD=4，AB=5，解得OD=9/4，OC=15/4，因此OD/OC=(9/4)/(15/4)=3/5。

9. 一题多解 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为（）

A.18
B.$\frac{109}{5}$
C.$\frac{96}{5}$
D.$\frac{25}{3}$

B

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=12，AD//BC。
在Rt△ABM中，AB=12，BM=5，由勾股定理得AM=√(AB²+BM²)=√(12²+5²)=13。
∵AD//BC，∴∠EAM=∠AMB，
又∵ME⊥AM，∴∠AME=90°=∠B，
∴△ABM∽△EMA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴BM/AM = AM/AE，即5/13 = 13/AE，解得AE=169/5。
∴DE=AE - AD = 169/5 -12 = 109/5。

10. [2024重庆中考A卷]如图,在$△ ABC$中,延长AC至点D,使$CD = CA$,过点D作$DE // CB$,且$DE = DC$,连接AE交BC于点F.若$∠ CAB = ∠ CFA$,$CF = 1$,则$BF =$.

7. 3

11. 运算能力·一题多解 [2024 广元中考] 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段. 小强在学习《相似形》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决. 在△ABC中，D为边AB上一点，连接CD.
（1）【初步探究】如图2，若∠ACD = ∠B，求证：$AC^2 = AD · AB$；
（2）【尝试应用】如图3，在（1）的条件下，若D为AB的中点，BC = 4，求CD的长；
（3）【创新提升】如图4，E为CD的中点，连接BE，若∠CDB = ∠CBD = 30°，∠ACD = ∠EBD，AC = $2\sqrt{7}$，求BE的长.

解:
(1)证明:$\because ∠ ACD=∠ B$,$∠ A=∠ A$,
$\therefore △ ACD∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,$\therefore AC^2=AD· AB$.
(2)$\because D$为$AB$的中点,$\therefore AD=BD$.设$AD=BD=m$.
$\therefore AC^2=AD· AB=m· 2m=2m^2$,
$\therefore AC=\sqrt{2}m$.
由
(1)知$△ ACD∽ △ ABC$,
$\therefore △ ACD$与$△ ABC$的相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\because BC=4$,$\therefore CD=2\sqrt{2}$.
(3)过点$C$作$EB$的平行线交$AB$的延长线于点$H$,过点$C$作$CY⊥ AB$于点$Y$,如图所示.
　　　
$\because E$为$CD$的中点,$\therefore CE=DE$.设$CE=DE=a$.
$\because ∠ CDB=∠ CBD=30°$,
$\therefore CB=CD=2a$,$∠ DCB=120°$.
在$Rt△ BCY$中,$CY=\frac{1}{2}BC=a$,则由勾股定理可得$BD=2\sqrt{3}a$.
过点$B$作$BF⊥ EC$交$EC$的延长线于点$F$,如图.
$\therefore ∠ FCB=60°$,$\therefore ∠ CBF=30°$,
$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=a$,
由勾股定理,得$BF=\sqrt{3}a$,
$\therefore EF=2a$,$\therefore BE=\sqrt{7}a$.
$\because CH// BE$,$E$为$CD$的中点,
$\therefore CH=2BE=2\sqrt{7}a$,$DH=2DB=4\sqrt{3}a$,$∠ EBD=∠ H$.
又$\because ∠ ACD=∠ EBD$,
$\therefore ∠ ACD=∠ H$.
$\because ∠ A=∠ A$,$\therefore △ ACD∽ △ AHC$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AH}=\frac{CD}{CH}=\frac{2a}{2\sqrt{7}a}=\frac{1}{\sqrt{7}}$.
又$\because AC=2\sqrt{7}$,
$\therefore AD=2$,$AH=14$,
$\therefore DH=12$,
即$4\sqrt{3}a=12$,$\therefore a=\sqrt{3}$,
$\therefore BE=\sqrt{7}a=\sqrt{21}$.

1. 单A字型 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,E 是 AB 上一点, $DE ⊥ AB$ 交 AC 于点 D,若 $AC=4$, $AE=2$,则 $\dfrac{AE + DE + AD}{AC + BC + AB} =$ ()

A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

1 B

∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠AED = ∠C = 90°. 又
∵ ∠A = ∠A,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ AD/AB = DE/BC = AE/AC = 2/4 = 1/2,
∴ (AE + DE + AD)/(AC + BC + AB) = 1/2 (等比性质).

2. 双A字型 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$的平分线交BC于点F. 点D, E分别在AB, AC上，连接DE交AF于点G. 若$∠ AED = ∠ B$，$AG:GF = 2:1$，则$DE:BC =$.

2 2:3 解题思路:要求 DE: BC,利用两角判定△ADE∽△ACB,则DE/BC = AE/AB,故只需求出 AE: AB 即可,结合题中条件AG: GF = 2:1以及两组等角,可知需证明△AEG∽△ABF,然后得出比例式即可求解.
∵ AF 平分∠BAC,
∴ ∠BAF = ∠EAG. 又
∵ ∠AED = ∠B,
∴ △AEG∽△ABF,
∴ AE/AB = AG/AF.
∵ AG: GF = 2:1,
∴ AE/AB = AG/AF = 2/3.
∵ ∠DAE = ∠CAB,∠AED = ∠B,
∴ △ADE∽△ACB,
∴ DE/BC = AE/AB = 2/3.