2026年一遍过九年级数学上册沪科版第49页答案
1. [2026上海虹口区段考]下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是（
）

A.都含有一个$40°$的内角
B.都含有一个$50°$的内角
C.都含有一个$120°$的内角
D.都含有一个$70°$的内角

答案

因为选项A,B,D给出的40°,50°,70°的角可能是顶角也可能是底角,所以角不一定对应,则不能判定两个等腰三角形一定相似,故选项A,B,D均不符合题意;易知120°的角只能是顶角,则该组等腰三角形底角相等,故能判断它们相似,故C符合题意.
2. [2026合肥瑶海区期中]如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$DE // BC$,$∠ ACD = ∠ B$,那么下列判断中,不正确的是 (
)

A.$△ ADE ∽ △ ABC$
B.$△ CDE ∽ △ BCD$
C.$△ ADE ∽ △ ACD$
D.$△ ADE ∽ △ DBC$

答案


∵点D,E分别在边AB,AC上,DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,故A项不符合题意.
∵DE//BC,
∴∠BCD=∠EDC.又
∵∠B=∠ACD,
∴△CDE∽△BCD,故B项不符合题意.
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴△ADE∽△ACD,故C项不符合题意.
∵DE//BC,
∴∠AED=∠ACB≠∠DCB,
∴△ADE∽△DBC一定不成立,故D项符合题意.
3. 新趋势·条件开放 如图,已知AC,BD相交于点O,若补充一个条件后,便可得到$△ AOB ∽ △ DOC$,则要补充的条件可以是
.

答案

∠A = ∠D(答案不唯一)
4. [2026六安裕安中学月考]如图,在$△ ABC$与$△ ADE$中,$∠ C=∠ E,∠ 1=∠ 2$,求证:$△ ABC∽ △ ADE$.

答案

证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE.
又
∵∠C=∠E,
∴△ABC∽△ADE.
5. [2026合肥庐阳区期末]如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE + ∠BAE = 90°. 求证:△ADF∽△DEC.

答案

证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,∠BAD=∠C,
∴∠B+∠BAD=180°,∠ADF=∠CED.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∴∠B+∠BAE=90°.
又
∵∠AFE+∠BAE=90°,
∴∠B=∠AFE.
∵∠AFE+∠AFD=180°,
∴∠BAD=∠AFD,
∴∠AFD=∠C.
∵∠ADF=∠CED,∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC.
6. [2026合肥四十二中月考]如图,等边三角形ACB的边长为3,P为BC上一点,D为AC上一点,连接AP,PD,∠APD=60°.
(1)求证:△ABP∽△PCD.
(2)若PC=2,求CD的长.

答案

(1)证明:在等边三角形ACB中,∠B=∠C=60°.
∵∠APD=60°,
∴∠APD=∠B=∠C.
又
∵∠APC=∠B+∠PAB,∠APC=∠APD + ∠DPC,
∴∠PAB=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD(“一线三等角”模型总结见本章专项1类型3).
(2)解:
∵AB=BC=3,PC=2,
∴BP=BC-PC=1.
∵△ABP∽△PCD,
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$,
∴$CD = \frac{BP·PC}{AB} = \frac{1×2}{3} = \frac{2}{3}$.