登录
1. 给出下列式子:① $ abx $;② $ x^2 - 2xy + \frac{1}{y} $;③ $ \frac{1}{a} $;④ $ \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 2} $;⑤ $ -\frac{2}{3}x + y $;⑥ $ \frac{5}{π} $;⑦ $ \frac{x + 1}{2} $。其中,多项式有 ()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
A
解析
根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式属于整式，分母中不能含有字母，逐个判断：
①$abx$是单项式，不属于多项式；
②式子含$\frac{1}{y}$，分母有字母，不是整式，不属于多项式；
③$\frac{1}{a}$分母含字母，是分式，不属于多项式；
④式子分母含字母，是分式，不属于多项式；
⑤$-\frac{2}{3}x + y$是两个单项式的和，属于多项式；
⑥$\frac{5}{π}$是单独的常数，是单项式，不属于多项式；
⑦$\frac{x+1}{2}$可化为$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，符合要求的多项式共2个。
①$abx$是单项式，不属于多项式；
②式子含$\frac{1}{y}$，分母有字母，不是整式，不属于多项式；
③$\frac{1}{a}$分母含字母，是分式，不属于多项式；
④式子分母含字母，是分式，不属于多项式；
⑤$-\frac{2}{3}x + y$是两个单项式的和，属于多项式；
⑥$\frac{5}{π}$是单独的常数，是单项式，不属于多项式；
⑦$\frac{x+1}{2}$可化为$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，符合要求的多项式共2个。
2. [易错题]有下列说法:① $\frac{3x}{π}$的系数是3;② 多项式$2x^2+xy^2+3y$是二次三项式;③ $2x^2-2x+4$的常数项为$-4$;④ 在$\frac{1}{x},2x+4y,\frac{1}{3}a^2b,\frac{5y}{2x},0$中,整式有3个.其中,正确的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
逐个判断各说法：
1. ①中π是常数，$\frac{3x}{π}$的系数是$\frac{3}{π}$，不是3，①错误；
2. ②中多项式$2x^2+xy^2+3y$的最高次项$xy^2$的次数为3，是三次三项式，不是二次三项式，②错误；
3. ③中$2x^2-2x+4$的常数项是4，不是-4，③错误；
4. ④中$\frac{1}{x}$、$\frac{5y}{2x}$分母含字母，不属于整式，剩余的$2x+4y$、$\frac{1}{3}a^2b$、0都是整式，共3个，④正确。
综上，正确的说法仅有1个。
1. ①中π是常数，$\frac{3x}{π}$的系数是$\frac{3}{π}$，不是3，①错误；
2. ②中多项式$2x^2+xy^2+3y$的最高次项$xy^2$的次数为3，是三次三项式，不是二次三项式，②错误；
3. ③中$2x^2-2x+4$的常数项是4，不是-4，③错误；
4. ④中$\frac{1}{x}$、$\frac{5y}{2x}$分母含字母，不属于整式，剩余的$2x+4y$、$\frac{1}{3}a^2b$、0都是整式，共3个，④正确。
综上，正确的说法仅有1个。
3. 已知一个整式具备下列条件:① 它是一个关于x的二次三项式;② 各项系数的和等于10;③ 它的二次项系数和常数项都比-2小1. 请写出满足这些条件的整式: .
答案
解：
由条件③得：
二次项系数为$-2-1=-3$，
常数项为$-2-1=-3$。
设一次项系数为$k$，由条件②各项系数和等于10，可得：
$-3 + k + (-3) = 10$
解得$k=16$。
结合条件①，满足要求的二次三项式为：$\boldsymbol{-3x^2 + 16x - 3}$。
由条件③得：
二次项系数为$-2-1=-3$，
常数项为$-2-1=-3$。
设一次项系数为$k$，由条件②各项系数和等于10，可得：
$-3 + k + (-3) = 10$
解得$k=16$。
结合条件①，满足要求的二次三项式为：$\boldsymbol{-3x^2 + 16x - 3}$。
4. 若多项式$(m-2)x^{2}y^{3}-4^{2}xy^{n-1}+2xy+1$是四次三项式，则$m-n=$。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：
因为多项式$(m-2)x^{2}y^{3}-4^{2}xy^{n-1}+2xy+1$是四次三项式，
其中第一项$(m-2)x^2y^3$的次数为$2+3=5$，大于多项式的最高次数4，因此该项系数必须为0：
$m-2=0$，
解得$m=2$。
此时剩余项要满足多项式是四次三项式，则第二项$-4^2xy^{n-1}$的次数为4：
$1+(n-1)=4$，
解得$n=4$。
所以$m-n=2-4=-2$。
最终
因为多项式$(m-2)x^{2}y^{3}-4^{2}xy^{n-1}+2xy+1$是四次三项式，
其中第一项$(m-2)x^2y^3$的次数为$2+3=5$，大于多项式的最高次数4，因此该项系数必须为0：
$m-2=0$，
解得$m=2$。
此时剩余项要满足多项式是四次三项式，则第二项$-4^2xy^{n-1}$的次数为4：
$1+(n-1)=4$，
解得$n=4$。
所以$m-n=2-4=-2$。
最终
5. 已知多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于$x,y$的四次三项式.
(1) 求$m$的值,并写出这个多项式.
(2) 将多项式按字母$y$的升幂排列.
(3) 当$x=\frac{3}{2}, y=-1$时,求此多项式的值.
(1) 求$m$的值,并写出这个多项式.
(2) 将多项式按字母$y$的升幂排列.
(3) 当$x=\frac{3}{2}, y=-1$时,求此多项式的值.
答案
解：
(1) 由题意得，该多项式的最高次项次数为4，且最高次项系数不为0，
因此$|m|-2+3=4$，且$m-3≠0$。
由$|m|+1=4$，解得$m=\pm3$，
结合$m-3≠0$即$m≠3$，可得$m=-3$。
将$m=-3$代入原式，得到这个多项式为$-6xy^3 + x^2y - 2xy^2$。
(2) 按字母$y$的升幂排列为：$x^2y - 2xy^2 - 6xy^3$。
(3) 当$x=\frac{3}{2}, y=-1$时，
$\begin{aligned}&-6xy^3 + x^2y - 2xy^2\\=&-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2\\=&-6×\frac{3}{2}×(-1) + \frac{9}{4}×(-1) - 3×1\\=&9 - \frac{9}{4} - 3\\=&\frac{15}{4}\end{aligned}$
(1) 由题意得，该多项式的最高次项次数为4，且最高次项系数不为0，
因此$|m|-2+3=4$，且$m-3≠0$。
由$|m|+1=4$，解得$m=\pm3$，
结合$m-3≠0$即$m≠3$，可得$m=-3$。
将$m=-3$代入原式，得到这个多项式为$-6xy^3 + x^2y - 2xy^2$。
(2) 按字母$y$的升幂排列为：$x^2y - 2xy^2 - 6xy^3$。
(3) 当$x=\frac{3}{2}, y=-1$时，
$\begin{aligned}&-6xy^3 + x^2y - 2xy^2\\=&-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2\\=&-6×\frac{3}{2}×(-1) + \frac{9}{4}×(-1) - 3×1\\=&9 - \frac{9}{4} - 3\\=&\frac{15}{4}\end{aligned}$
6. 若$5x^{4}y^{n}+(m-2)x-1$是关于$x,y$的六次三项式，则下列说法中，错误的是（）
A.$m$可以是任意数
B.六次项是$5x^{4}y^{n}$
C.$n=2$
D.常数项是$-1$
A.$m$可以是任意数
B.六次项是$5x^{4}y^{n}$
C.$n=2$
D.常数项是$-1$
答案
A
解析
根据多项式的相关定义，该多项式是关于x,y的六次三项式：
1. 最高次项的次数为6，即$4+n=6$，解得$n=2$，故C说法正确；
2. 最高次项为$5x^4y^n$，即六次项是$5x^4y^n$，故B说法正确；
3. 该多项式是三项式，因此一次项系数不能为0，即$m-2≠0$，$m≠2$，所以m不可以是任意数，A说法错误；
4. 该多项式的常数项是$-1$，故D说法正确。
综上，错误的是A。
1. 最高次项的次数为6，即$4+n=6$，解得$n=2$，故C说法正确；
2. 最高次项为$5x^4y^n$，即六次项是$5x^4y^n$，故B说法正确；
3. 该多项式是三项式，因此一次项系数不能为0，即$m-2≠0$，$m≠2$，所以m不可以是任意数，A说法错误；
4. 该多项式的常数项是$-1$，故D说法正确。
综上，错误的是A。
7. 把多项式按次数分类，例如：$4x^4 -4$ 和 $a^3b -2ab^2 -1$ 属于同一类，则下列多项式中，与它们属于同一类的是（）
A.$-x^5 + y^4$
B.$2x^2 -3$
C.$3abed -1$
D.$a^3 +3a^2b +3ab^2$
A.$-x^5 + y^4$
B.$2x^2 -3$
C.$3abed -1$
D.$a^3 +3a^2b +3ab^2$
答案
C
解析
首先根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。先计算示例中两个多项式的次数：
1. 多项式$4x^4-4$的最高次项是$4x^4$，次数为4；
2. 多项式$a^3b-2ab^2-1$的最高次项是$a^3b$，次数为$3+1=4$，因此示例中的多项式都属于四次多项式。
再逐一判断选项：
A选项$-x^5+y^4$最高次项次数为5，是五次多项式；
B选项$2x^2-3$最高次项次数为2，是二次多项式；
C选项$3abed-1$最高次项是$3abed$，次数为$1+1+1+1=4$，是四次多项式；
D选项$a^3+3a^2b+3ab^2$最高次项次数为3，是三次多项式。
因此只有C符合要求。
1. 多项式$4x^4-4$的最高次项是$4x^4$，次数为4；
2. 多项式$a^3b-2ab^2-1$的最高次项是$a^3b$，次数为$3+1=4$，因此示例中的多项式都属于四次多项式。
再逐一判断选项：
A选项$-x^5+y^4$最高次项次数为5，是五次多项式；
B选项$2x^2-3$最高次项次数为2，是二次多项式；
C选项$3abed-1$最高次项是$3abed$，次数为$1+1+1+1=4$，是四次多项式；
D选项$a^3+3a^2b+3ab^2$最高次项次数为3，是三次多项式。
因此只有C符合要求。
8. 若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式.例如：$2x^3 - 3x^2y + y^3$是三次齐次多项式.若$x^m y - 2x^3 y^2 + 5x^2 y^n + 3xy^4 + y^5$是齐次多项式，则$(2m - 3n)^{99}$的值为()
A.$1$
B.$-1$
C.$99$
D.$-99$
A.$1$
B.$-1$
C.$99$
D.$-99$
答案
B
解析
根据齐次多项式的定义，该多项式所有项的次数都相等。观察已知项$-2x^3y^2$的次数为$3+2=5$，$y^5$的次数为5，可知该齐次多项式的次数为5。
对项$x^m y$，次数满足$m+1=5$，解得$m=4$；
对项$5x^2 y^n$，次数满足$2+n=5$，解得$n=3$。
代入计算得：$2m-3n=2×4 - 3×3=-1$，因此$(2m-3n)^{99}=(-1)^{99}=-1$。
对项$x^m y$，次数满足$m+1=5$，解得$m=4$；
对项$5x^2 y^n$，次数满足$2+n=5$，解得$n=3$。
代入计算得：$2m-3n=2×4 - 3×3=-1$，因此$(2m-3n)^{99}=(-1)^{99}=-1$。
9. 若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，其中$m＞0$，则$mn=$。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：
因为多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，
所以四次项的系数为0，即$n-2=0$，
解得$n=2$。
此时最高次项为$xy^{|m-n|}$，它的次数为3，因此：
$1+|m-n|=3$，
将$n=2$代入得$|m-2|=2$，
即$m-2=2$或$m-2=-2$，
解得$m=4$或$m=0$。
又因为$m＞0$，所以$m=0$舍去，得$m=4$。
因此$mn=4×2=8$。
最终
因为多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，
所以四次项的系数为0，即$n-2=0$，
解得$n=2$。
此时最高次项为$xy^{|m-n|}$，它的次数为3，因此：
$1+|m-n|=3$，
将$n=2$代入得$|m-2|=2$，
即$m-2=2$或$m-2=-2$，
解得$m=4$或$m=0$。
又因为$m＞0$，所以$m=0$舍去，得$m=4$。
因此$mn=4×2=8$。
最终
