1. (2026·贺州期中)在一定条件下,乐器中弦振动的频率$f$与弦长$l$成反比例关系,即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数,$k≠0$),若某乐器的弦长$l$为0.9米,振动频率$f$为200赫兹,则$k$的值为（）

A.160
B.170
C.180
D.190

$\because f=\frac{k}{l}$,且$l=0.9,f=200,\therefore 200=\frac{k}{0.9},\therefore k=200×0.9=180$,故$k$的值为180. 故选C.

2. (2026·包头月考)关于反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$，下列说法正确的是（）

A.图象在第一、三象限
B.点(1,5)在该函数的图象上
C.y随x的增大而增大
D.点$A(-1,y_1)$，$B(1,y_2)$都在该函数图象上，则$y_1＞y_2$

$\because -5＜0,\therefore$ 图象在第二、四象限,在每一象限内,$y$随$x$的增大而增大,故A、C选项错误,不符合题意;当$x=1$时,$y=-5,\therefore$ 点$(1,5)$不在该函数的图象上,故B选项错误,不符合题意;$\because$ 点$A(-1,y_1),B(1,y_2)$都在该函数图象上,$-1＜0＜1,\therefore$ 点$A(-1,y_1)$在第二象限内,$B(1,y_2)$在第四象限内,$\therefore y_1＞0＞y_2$,故D选项正确,符合题意.故选D.

3. (2026·辽阳期末)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y_2=ax+b$的图象交于点$A(-1,m),B(2,1)$,则不等式$\frac{k}{x}＞ax+b$的解集为 ()

A.$x＜-1$或$0＜x＜2$
B.$-1＜x＜0$或$x＞2$
C.$x＜-1$或$x＞2$
D.$-1＜x＜2$

$\because$ 反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y_2=ax+b$的图象交于点$A(-1,m),B(2,1)$两点,由题图可知,当$x＜-1,0＜x＜2$时,$y_1=\frac{k}{x}$的函数图象都在$y_2=ax+b$函数图象的上方,即$\frac{k}{x}＞ax+b$时,$x＜-1$或$0＜x＜2$.故选A.

4. (2026·保定月考)已知点$A(-1,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$均在反比例函数$y=\frac{m^2+1}{x}$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 ()

A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$

反比例函数$y=\frac{m^2+1}{x}$,其中$m^2+1\ge1＞0$,即$k＞0$,当$k＞0$,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限,且在每一象限内,$y$随$x$的增大而减小,点$A(-1,y_1):x=-1＜0$,故点A在第三象限,第三象限内的函数值为负数,因此$y_1＜0$;点$B(1,y_2)$,点$C(2,y_3)$:横坐标$1＞0,2＞0$,故点B,C在第一象限,第一象限内的函数值为正数,且在第一象限内$y$随$x$增大而减小,因为$1＜2$,所以$y_2＞y_3＞0$.综上,$y_1＜y_3＜y_2$.故选D.

5.(2024·内蒙古中考)在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax-b(a≠0)$和$y=\dfrac{-c}{x}(c≠0)$的图象大致如图所示，则函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象大致为（）

$\because$ 一次函数$y=ax-b(a\ne0)$的图象经过第一、二、四象限,$\therefore a＜0,-b＞0$,即$a＜0,b＜0$.$\because$ 反比例函数$y=\frac{-c}{x}(c\ne0)$的图象位于第二、四象限,$\therefore -c＜0$,即$c＞0$,$\therefore$ 函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$的开口向下,与$y$轴的交点位于$y$轴的正半轴,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}＜0$,故选D.

6. 如图,直线$l$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,且与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$C$,若$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=1$,则$k=$ ()

A.1
B.2
C.3
D.4

过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,设$OB=a(a＞0)$.
$\because S_{△ AOB}=S_{△ BOC},\therefore AB=BC$(等底同高),$\therefore \frac{1}{2}OA· OB=1$,$\therefore OA=\frac{2}{a}$,易得$OB$是$△ ACD$的中位线,$\therefore OD=OA=\frac{2}{a}$,$CD=2OB=2a$,$\therefore C(\frac{2}{a},2a)$,代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$得$k=4$.

7.（衢州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，$AB ⊥ x$轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）

A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.4
D.$4\sqrt{3}$

设$A(a,\frac{4}{a})$,可求出$D(2a,\frac{2}{a})$,$S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\frac{1}{2}AB· CD=4$.
归纳总结 如图,点A为反比例函数图象上任意一点,作$AF⊥ y$轴于F,再作AF的中垂线$QQ'$,则四边形$AQFQ'$为菱形.

8. 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过顶点D,分别与对角线AC、边BC交于点E,F,连接EF,AF.若点E为AC的中点,$△ AEF$的面积为2,则k的值为 ()

A.$\frac{24}{5}$
B.3
C.4
D.6

设$D(m,\frac{k}{m})$,$\because$ 四边形ABCD是矩形,且点E为AC的中点,$\therefore E$点纵坐标为$\frac{k}{2m}$,代入反比例函数解析式得$x=2m$,$\therefore E(2m,\frac{k}{2m})$,$\therefore B$点横坐标为$3m$,$\therefore F$点横坐标为$3m$,代入反比例函数解析式,得$y=\frac{k}{3m}$,$\therefore F(3m,\frac{k}{3m})$,$\therefore CF=\frac{k}{m}-\frac{k}{3m}=\frac{2k}{3m}$.$\because △ AEF$的面积为2,$\therefore △ ACF$的面积为4,$\because AB=3m-m=2m$,$\therefore S_{△ ACF}=\frac{\frac{2k}{3m}· 2m}{2}=4$,解得$k=6$.