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5.为了判断一个铝球是否是实心的，某小组同学对铝球进行了测量，实验数据如下：($\rho_{铝}=2.7×10^3\mathrm{kg/m^3}$)
(1)该铝球是空心还是实心的？
(2)若铝球是空心的，空心部分的体积是多大？
(3)若在空心部分注满水，球的总质量是多大？($\rho_{水}=1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}$)
(1)该铝球是空心还是实心的？
(2)若铝球是空心的，空心部分的体积是多大？
(3)若在空心部分注满水，球的总质量是多大？($\rho_{水}=1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}$)
答案
(1)解:铝球中铝的体积:$V_{铝}=\frac{m}{\rho_{铝}}=\frac{27g}{2.7g/cm^3}=10cm^3$,因为$V_{球}=V_2-V_1=65.0mL-50.0mL=15mL=15cm^3＞10cm^3$,所以该球是空心的。
(2)空心部分的体积:$V_{空}=V_{球}-V_{铝}=15cm^3-10cm^3=5cm^3$。
(3)在空心部分注满水后水的体积:$V_{水}=V_{空}=5cm^3$,由$\rho=\frac{m}{V}$,可得水的质量:$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^3×5cm^3=5g$,球的总质量:$m_{总}=m+m_{水}=27g+5g=32g$。
(2)空心部分的体积:$V_{空}=V_{球}-V_{铝}=15cm^3-10cm^3=5cm^3$。
(3)在空心部分注满水后水的体积:$V_{水}=V_{空}=5cm^3$,由$\rho=\frac{m}{V}$,可得水的质量:$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^3×5cm^3=5g$,球的总质量:$m_{总}=m+m_{水}=27g+5g=32g$。
解析
【分析】要判断铝球是否空心，需先计算质量为27g的实心铝的体积，再与铝球实际体积（水和铝球总体积减去水的体积）对比，若实心铝体积小于球体积则为空心；空心体积等于球体积减去实心铝体积；注满水时水的体积等于空心体积，再根据水的密度计算水的质量，加上铝球质量得到总质量。
【解析】
(1) 计算质量为27g的实心铝的体积：
已知ρ铝=2.7×10³kg/m³=2.7g/cm³，根据密度公式ρ=$\frac{m}{V}$，可得实心铝的体积：
$V_{铝}=\frac{m}{\rho_{铝}}=\frac{27g}{2.7g/cm^3}=10cm^3$。
铝球的实际体积：
$V_{球}=V_2 - V_1=65.0mL - 50.0mL=15mL=15cm^3$。
因为$V_{球}=15cm^3＞V_{铝}=10cm^3$，所以该铝球是空心的。
(2) 空心部分的体积：
$V_{空}=V_{球}-V_{铝}=15cm^3 - 10cm^3=5cm^3$。
(3) 空心部分注满水时，水的体积$V_{水}=V_{空}=5cm^3$，水的密度ρ水=1.0×10³kg/m³=1.0g/cm³，根据密度公式得水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^3×5cm^3=5g$。
球的总质量：
$m_{总}=m + m_{水}=27g +5g=32g$。
【答案】
(1) 该铝球是空心的；
(2) 空心部分的体积是5cm³；
(3) 注满水后球的总质量是32g。
【知识点】
密度公式应用；空心实心判断；质量体积计算
【点评】
本题是密度知识的基础应用题，核心是利用密度公式进行体积、质量的计算，通过对比实心与实际体积判断空心，解题思路清晰，步骤明确，属于初中物理密度章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 计算质量为27g的实心铝的体积：
已知ρ铝=2.7×10³kg/m³=2.7g/cm³，根据密度公式ρ=$\frac{m}{V}$，可得实心铝的体积：
$V_{铝}=\frac{m}{\rho_{铝}}=\frac{27g}{2.7g/cm^3}=10cm^3$。
铝球的实际体积：
$V_{球}=V_2 - V_1=65.0mL - 50.0mL=15mL=15cm^3$。
因为$V_{球}=15cm^3＞V_{铝}=10cm^3$，所以该铝球是空心的。
(2) 空心部分的体积：
$V_{空}=V_{球}-V_{铝}=15cm^3 - 10cm^3=5cm^3$。
(3) 空心部分注满水时，水的体积$V_{水}=V_{空}=5cm^3$，水的密度ρ水=1.0×10³kg/m³=1.0g/cm³，根据密度公式得水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^3×5cm^3=5g$。
球的总质量：
$m_{总}=m + m_{水}=27g +5g=32g$。
【答案】
(1) 该铝球是空心的；
(2) 空心部分的体积是5cm³；
(3) 注满水后球的总质量是32g。
【知识点】
密度公式应用；空心实心判断；质量体积计算
【点评】
本题是密度知识的基础应用题，核心是利用密度公式进行体积、质量的计算，通过对比实心与实际体积判断空心，解题思路清晰，步骤明确，属于初中物理密度章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6.小明的妈妈到某工艺品商店买了一件用金铜合金制成的实心工艺品，商店的售货员告诉她：这件工艺品是由质量相等的金、铜两种金属混合制成的，含金量为50％。小明的妈妈对商店售货员的话表示怀疑，让小明进行验证。小明通过实验测出该工艺品的质量为1200g，体积为104cm³，并从课本中查出了金、铜的密度分别是19.3g/cm³和8.9g/cm³。（结果精确到0.01）
(1)请根据小明的实验结果计算工艺品的密度。
(2)请根据售货员的说法，计算出工艺品的密度。并说明售货员的话是否可信。
(3)请计算这件工艺品的实际含金量。
(1)请根据小明的实验结果计算工艺品的密度。
(2)请根据售货员的说法，计算出工艺品的密度。并说明售货员的话是否可信。
(3)请计算这件工艺品的实际含金量。
答案
(1)解:工艺品的密度:$\rho=\frac{m}{V}=\frac{1200g}{104cm^3}\approx11.54g/cm^3$。
(2)设标准工艺品中含金、铜的质量均为$m_0$。若按售货员的说法,则工艺品的密度为:$\rho'=\frac{2m_0}{\frac{m_0}{\rho_{金}}+\frac{m_0}{\rho_{铜}}}=\frac{2\rho_{金}\rho_{铜}}{\rho_{金}+\rho_{铜}}=\frac{2×19.3g/cm^3×8.9g/cm^3}{19.3g/cm^3+8.9g/cm^3}\approx12.18g/cm^3$,而$11.54g/cm^3＜12.18g/cm^3$,即$\rho＜\rho'$,所以售货员的话不可信。
(3)设工艺品中实际含金质量为$m_1$,由$\rho=\frac{m}{V}$,可得$V=\frac{m_1}{\rho_{金}}+\frac{m-m_1}{\rho_{铜}}$,将$m=1200g,V=104cm^3,\rho_{金}=19.3g/cm^3,\rho_{铜}=8.9g/cm^3$代入上式,得$m_1\approx509.22g$,所以这件工艺品的实际含金量为:$\frac{m_1}{m}=\frac{509.22g}{1200g}\approx42.44\%$。
(2)设标准工艺品中含金、铜的质量均为$m_0$。若按售货员的说法,则工艺品的密度为:$\rho'=\frac{2m_0}{\frac{m_0}{\rho_{金}}+\frac{m_0}{\rho_{铜}}}=\frac{2\rho_{金}\rho_{铜}}{\rho_{金}+\rho_{铜}}=\frac{2×19.3g/cm^3×8.9g/cm^3}{19.3g/cm^3+8.9g/cm^3}\approx12.18g/cm^3$,而$11.54g/cm^3＜12.18g/cm^3$,即$\rho＜\rho'$,所以售货员的话不可信。
(3)设工艺品中实际含金质量为$m_1$,由$\rho=\frac{m}{V}$,可得$V=\frac{m_1}{\rho_{金}}+\frac{m-m_1}{\rho_{铜}}$,将$m=1200g,V=104cm^3,\rho_{金}=19.3g/cm^3,\rho_{铜}=8.9g/cm^3$代入上式,得$m_1\approx509.22g$,所以这件工艺品的实际含金量为:$\frac{m_1}{m}=\frac{509.22g}{1200g}\approx42.44\%$。
解析
【分析】
本题围绕金铜合金工艺品的密度计算展开，分三小问逐步解决：第(1)问直接利用密度公式ρ=m/V，代入小明测得的工艺品质量和体积，计算实际密度；第(2)问按售货员“金、铜质量相等”的说法，设金、铜质量均为m₀，先求总质量和总体积，再计算理论密度，与实际密度对比判断说法是否可信；第(3)问设实际含金质量为m₁，含铜质量为总质量减m₁，根据总体积等于金、铜体积之和列方程，求解实际含金质量，最后计算含金量（金质量与总质量的比值）。
【解析】
(1) 根据密度公式ρ=m/V，工艺品的密度：
ρ = m/V = 1200g / 104cm³ ≈ 11.54g/cm³。
(2) 设售货员说法中金、铜的质量均为m₀，则工艺品总质量为2m₀，总体积为金的体积与铜的体积之和：
V总 = m₀/ρ金 + m₀/ρ铜，
理论密度ρ' = 2m₀ / V总 = 2m₀ / (m₀/ρ金 + m₀/ρ铜) = 2ρ金ρ铜/(ρ金+ρ铜)，
代入ρ金=19.3g/cm³、ρ铜=8.9g/cm³：
ρ' = (2×19.3×8.9)/(19.3+8.9) ≈ 12.18g/cm³，
因为实际密度11.54g/cm³ ＜ 12.18g/cm³，所以售货员的话不可信。
(3) 设实际含金质量为m₁，则含铜质量为1200g - m₁，总体积V = m₁/ρ金 + (1200g - m₁)/ρ铜，代入数据：
104 = m₁/19.3 + (1200 - m₁)/8.9，
解方程得m₁≈509.22g，
实际含金量 = (m₁/m总)×100% = (509.22g/1200g)×100% ≈ 42.44%。
【答案】
(1) 工艺品的密度约为11.54g/cm³；
(2) 按售货员说法计算的密度约为12.18g/cm³，售货员的话不可信；
(3) 实际含金量约为42.44%。
【知识点】
密度的计算、合金问题的应用
【点评】
本题是密度公式在合金类问题中的典型应用，要求学生灵活运用密度公式，区分理论值与实际值，通过计算验证说法并求解实际参数，重点考查公式的理解与应用能力，是初中物理密度章节的常规题型。
【难度系数】
0.6
本题围绕金铜合金工艺品的密度计算展开，分三小问逐步解决：第(1)问直接利用密度公式ρ=m/V，代入小明测得的工艺品质量和体积，计算实际密度；第(2)问按售货员“金、铜质量相等”的说法，设金、铜质量均为m₀，先求总质量和总体积，再计算理论密度，与实际密度对比判断说法是否可信；第(3)问设实际含金质量为m₁，含铜质量为总质量减m₁，根据总体积等于金、铜体积之和列方程，求解实际含金质量，最后计算含金量（金质量与总质量的比值）。
【解析】
(1) 根据密度公式ρ=m/V，工艺品的密度：
ρ = m/V = 1200g / 104cm³ ≈ 11.54g/cm³。
(2) 设售货员说法中金、铜的质量均为m₀，则工艺品总质量为2m₀，总体积为金的体积与铜的体积之和：
V总 = m₀/ρ金 + m₀/ρ铜，
理论密度ρ' = 2m₀ / V总 = 2m₀ / (m₀/ρ金 + m₀/ρ铜) = 2ρ金ρ铜/(ρ金+ρ铜)，
代入ρ金=19.3g/cm³、ρ铜=8.9g/cm³：
ρ' = (2×19.3×8.9)/(19.3+8.9) ≈ 12.18g/cm³，
因为实际密度11.54g/cm³ ＜ 12.18g/cm³，所以售货员的话不可信。
(3) 设实际含金质量为m₁，则含铜质量为1200g - m₁，总体积V = m₁/ρ金 + (1200g - m₁)/ρ铜，代入数据：
104 = m₁/19.3 + (1200 - m₁)/8.9，
解方程得m₁≈509.22g，
实际含金量 = (m₁/m总)×100% = (509.22g/1200g)×100% ≈ 42.44%。
【答案】
(1) 工艺品的密度约为11.54g/cm³；
(2) 按售货员说法计算的密度约为12.18g/cm³，售货员的话不可信；
(3) 实际含金量约为42.44%。
【知识点】
密度的计算、合金问题的应用
【点评】
本题是密度公式在合金类问题中的典型应用，要求学生灵活运用密度公式，区分理论值与实际值，通过计算验证说法并求解实际参数，重点考查公式的理解与应用能力，是初中物理密度章节的常规题型。
【难度系数】
0.6
