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1.学习了密度知识以后，小明对家中的一把紫砂壶产生了兴趣，如图所示，他想知道这种材料的密度。于是他用天平测出壶盖的质量为44.4g，再把壶盖放入装满水的烧杯中，并测得溢出水的质量是14.8g，请你帮小明算出：
(1)壶盖的体积为多大？
(2)紫砂壶材料的密度是多少？
(3)若测得整个空茶壶所用材料的体积是$53cm^3$，这个茶壶的质量为多少克？
(1)壶盖的体积为多大？
(2)紫砂壶材料的密度是多少？
(3)若测得整个空茶壶所用材料的体积是$53cm^3$，这个茶壶的质量为多少克？
答案
(1)解:溢出水的体积,即为壶盖的体积:$V_{盖}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{14.8g}{1g/cm^3}=14.8cm^3$。
(2)紫砂壶材料的密度:$\rho=\frac{m_{盖}}{V_{盖}}=\frac{44.4g}{14.8cm^3}=3g/cm^3$。
(3)这个茶壶的质量:$m_{壶}=\rho V_{壶}=3g/cm^3×53cm^3=159g$。
(2)紫砂壶材料的密度:$\rho=\frac{m_{盖}}{V_{盖}}=\frac{44.4g}{14.8cm^3}=3g/cm^3$。
(3)这个茶壶的质量:$m_{壶}=\rho V_{壶}=3g/cm^3×53cm^3=159g$。
解析
【分析】
要解决这三个问题，首先利用溢水法：壶盖浸没在装满水的烧杯中时，溢出水的体积等于壶盖的体积（物体浸没时排开液体体积等于自身体积）；再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，依次计算壶盖体积、材料密度，最后计算茶壶质量，解题时需注意单位统一。
【解析】
(1) 壶盖浸没在装满水的烧杯中，溢出水的体积等于壶盖的体积，即$V_{盖}=V_{水}$。
根据密度公式变形$V=\frac{m}{\rho}$，已知水的密度$\rho_{水}=1g/cm^3$，溢出水的质量$m_{水}=14.8g$，则壶盖体积：
$V_{盖}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{14.8g}{1g/cm^3}=14.8cm^3$。
(2) 同种材料的密度相同，紫砂壶材料的密度等于壶盖的密度。已知壶盖质量$m_{盖}=44.4g$，体积$V_{盖}=14.8cm^3$，则材料密度：
$\rho=\frac{m_{盖}}{V_{盖}}=\frac{44.4g}{14.8cm^3}=3g/cm^3$。
(3) 已知整个空茶壶所用材料的体积$V_{壶}=53cm^3$，材料密度$\rho=3g/cm^3$，根据$m=\rho V$，则茶壶的质量：
$m_{壶}=\rho V_{壶}=3g/cm^3×53cm^3=159g$。
【答案】
(1) $14.8cm^3$；(2) $3g/cm^3$；(3) $159g$
【知识点】
密度公式应用、溢水法测体积
【点评】
本题考查密度的基础计算，利用溢水法间接测量物体体积，结合密度公式的变形进行运算，属于常规基础题，侧重对密度概念的理解和公式的运用。
【难度系数】
0.7
要解决这三个问题，首先利用溢水法：壶盖浸没在装满水的烧杯中时，溢出水的体积等于壶盖的体积（物体浸没时排开液体体积等于自身体积）；再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，依次计算壶盖体积、材料密度，最后计算茶壶质量，解题时需注意单位统一。
【解析】
(1) 壶盖浸没在装满水的烧杯中，溢出水的体积等于壶盖的体积，即$V_{盖}=V_{水}$。
根据密度公式变形$V=\frac{m}{\rho}$，已知水的密度$\rho_{水}=1g/cm^3$，溢出水的质量$m_{水}=14.8g$，则壶盖体积：
$V_{盖}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{14.8g}{1g/cm^3}=14.8cm^3$。
(2) 同种材料的密度相同，紫砂壶材料的密度等于壶盖的密度。已知壶盖质量$m_{盖}=44.4g$，体积$V_{盖}=14.8cm^3$，则材料密度：
$\rho=\frac{m_{盖}}{V_{盖}}=\frac{44.4g}{14.8cm^3}=3g/cm^3$。
(3) 已知整个空茶壶所用材料的体积$V_{壶}=53cm^3$，材料密度$\rho=3g/cm^3$，根据$m=\rho V$，则茶壶的质量：
$m_{壶}=\rho V_{壶}=3g/cm^3×53cm^3=159g$。
【答案】
(1) $14.8cm^3$；(2) $3g/cm^3$；(3) $159g$
【知识点】
密度公式应用、溢水法测体积
【点评】
本题考查密度的基础计算，利用溢水法间接测量物体体积，结合密度公式的变形进行运算，属于常规基础题，侧重对密度概念的理解和公式的运用。
【难度系数】
0.7
2.如图所示是脱蜡铸造小狗挂饰的做法，先用蜡制作挂饰的实心模型，测得蜡模质量为3.6g，在蜡模上浇注耐火泥浆，待泥浆干燥后，加热使蜡熔化流出，制成小狗形状的模穴，最后将熔成液体的锡倒入模穴内，待锡冷却凝固后取出金属成品，制作出的小狗挂饰的质量是29.2g。求：（已知$\rho_{蜡}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$）
浇注耐火泥浆 加热脱蜡 浇注熔融金属 金属成品
(1)蜡模的体积；
(2)小狗挂饰的密度。
浇注耐火泥浆 加热脱蜡 浇注熔融金属 金属成品
(1)蜡模的体积；
(2)小狗挂饰的密度。
答案
(1)解:蜡模的体积:$V_{蜡}=\frac{m_{蜡}}{\rho_{蜡}}=\frac{3.6g}{0.9g/cm^3}=4cm^3$。
(2)由题意可知,锡的体积等于蜡模的体积,即$V_{锡}=V_{蜡}=4cm^3$,且$m_{锡}=29.2g$,则小狗挂饰的密度:$\rho=\frac{m_{锡}}{V_{锡}}=\frac{29.2g}{4cm^3}=7.3g/cm^3$。
(2)由题意可知,锡的体积等于蜡模的体积,即$V_{锡}=V_{蜡}=4cm^3$,且$m_{锡}=29.2g$,则小狗挂饰的密度:$\rho=\frac{m_{锡}}{V_{锡}}=\frac{29.2g}{4cm^3}=7.3g/cm^3$。
解析
【分析】
要解决这两个问题，需利用密度公式ρ = m/V进行变形计算。第一问已知蜡模的质量和蜡的密度，直接通过密度公式变形求蜡模体积，计算时要注意单位统一；第二问需明确脱蜡铸造中锡的体积等于蜡模体积，再用锡的质量除以该体积得到小狗挂饰的密度。
【解析】
(1) 先统一单位：ρ蜡 = 0.9×10³ kg/m³ = 0.9 g/cm³。
根据密度公式ρ = m/V，变形得蜡模体积：
V蜡 = m蜡 / ρ蜡 = 3.6g / 0.9g/cm³ = 4 cm³。
(2) 由题意可知，锡的体积等于蜡模的体积，即V锡 = V蜡 = 4 cm³，小狗挂饰的质量等于锡的质量m锡 = 29.2g。
则小狗挂饰的密度：
ρ = m锡 / V锡 = 29.2g / 4cm³ = 7.3 g/cm³。
【答案】
(1) 4 cm³；(2) 7.3 g/cm³
【知识点】
密度公式应用，单位换算，密度计算
【点评】
本题结合实际工艺考查密度公式的应用，核心是理解锡的体积与蜡模体积相等的关系，属于密度部分的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这两个问题，需利用密度公式ρ = m/V进行变形计算。第一问已知蜡模的质量和蜡的密度，直接通过密度公式变形求蜡模体积，计算时要注意单位统一；第二问需明确脱蜡铸造中锡的体积等于蜡模体积，再用锡的质量除以该体积得到小狗挂饰的密度。
【解析】
(1) 先统一单位：ρ蜡 = 0.9×10³ kg/m³ = 0.9 g/cm³。
根据密度公式ρ = m/V，变形得蜡模体积：
V蜡 = m蜡 / ρ蜡 = 3.6g / 0.9g/cm³ = 4 cm³。
(2) 由题意可知，锡的体积等于蜡模的体积，即V锡 = V蜡 = 4 cm³，小狗挂饰的质量等于锡的质量m锡 = 29.2g。
则小狗挂饰的密度：
ρ = m锡 / V锡 = 29.2g / 4cm³ = 7.3 g/cm³。
【答案】
(1) 4 cm³；(2) 7.3 g/cm³
【知识点】
密度公式应用，单位换算，密度计算
【点评】
本题结合实际工艺考查密度公式的应用，核心是理解锡的体积与蜡模体积相等的关系，属于密度部分的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
3.在测定某液体密度时，有一同学测出了液体的体积、容器和液体的总质量，做了三次实验，记录如表：试求：
(1)液体的密度ρ；
(2)容器的质量$m_0$；
(3)表中的$m'$。
(1)液体的密度ρ；
(2)容器的质量$m_0$；
(3)表中的$m'$。
答案
(1)解:由表格可知,当液体的体积从$5.8cm^3$增加到$7.8cm^3$时,容器和液体的总质量从10.8g增加到12.8g,而增加的这部分质量与增加的这部分体积是对应的,因此,液体的密度:$\rho=\frac{m}{V}=\frac{12.8g-10.8g}{7.8cm^3-5.8cm^3}=1g/cm^3$。
(2)在第一列数据中,液体的质量:$m_1=\rho V_1=1g/cm^3×5.8cm^3=5.8g$;则容器的质量:$m_0=10.8g-5.8g=5g$。
(3)在第三列数据中,液体的质量:$m_2=\rho V_2=1g/cm^3×10cm^3=10g$;则容器和液体的总质量:$m'=10g+5g=15g$。
(2)在第一列数据中,液体的质量:$m_1=\rho V_1=1g/cm^3×5.8cm^3=5.8g$;则容器的质量:$m_0=10.8g-5.8g=5g$。
(3)在第三列数据中,液体的质量:$m_2=\rho V_2=1g/cm^3×10cm^3=10g$;则容器和液体的总质量:$m'=10g+5g=15g$。
解析
【分析】要解决这道题，需利用容器质量不变的特点，通过两次实验数据的差值求出液体密度，再结合密度公式计算容器质量，最后求出第三次的总质量。首先对比前两次实验，总质量的变化量对应液体体积的变化量，以此算出液体密度；接着用第一次实验的液体体积和密度算出液体质量，总质量减去液体质量得到容器质量；最后根据第三次的液体体积算出液体质量，加上容器质量得到总质量。
【解析】
(1) 计算液体密度：
容器质量不变，两次实验中总质量的差等于增加的液体质量，体积差等于增加的液体体积。
$\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{12.8g - 10.8g}{7.8cm^3 - 5.8cm^3}=\frac{2g}{2cm^3}=1g/cm^3$。
(2) 计算容器质量：
第一次实验中，液体质量$m_1=\rho V_1=1g/cm^3×5.8cm^3=5.8g$，
容器质量$m_0=总质量 - 液体质量=10.8g - 5.8g=5g$。
(3) 计算$m'$：
第三次实验中，液体质量$m_2=\rho V_2=1g/cm^3×10cm^3=10g$，
总质量$m'=m_2 + m_0=10g + 5g=15g$。
【答案】(1)液体的密度为$1g/cm^3$；(2)容器的质量为$5g$；(3)表中的$m'$为$15g$。
【知识点】密度的计算、质量与体积的关系
【点评】本题是密度测量的基础题型，利用差值法求液体密度是解题关键，考察学生对密度公式的基本应用，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 计算液体密度：
容器质量不变，两次实验中总质量的差等于增加的液体质量，体积差等于增加的液体体积。
$\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{12.8g - 10.8g}{7.8cm^3 - 5.8cm^3}=\frac{2g}{2cm^3}=1g/cm^3$。
(2) 计算容器质量：
第一次实验中，液体质量$m_1=\rho V_1=1g/cm^3×5.8cm^3=5.8g$，
容器质量$m_0=总质量 - 液体质量=10.8g - 5.8g=5g$。
(3) 计算$m'$：
第三次实验中，液体质量$m_2=\rho V_2=1g/cm^3×10cm^3=10g$，
总质量$m'=m_2 + m_0=10g + 5g=15g$。
【答案】(1)液体的密度为$1g/cm^3$；(2)容器的质量为$5g$；(3)表中的$m'$为$15g$。
【知识点】密度的计算、质量与体积的关系
【点评】本题是密度测量的基础题型，利用差值法求液体密度是解题关键，考察学生对密度公式的基本应用，难度适中。
【难度系数】0.6
4.如图所示为甲、乙两种物质的质量跟体积关系的图像，根据图像分析：
(1)甲、乙两种物质的密度各是多少？
(2)质量为3.6kg的乙物质的体积为多少？
(3)5dm³的甲物质质量为多少？
(1)甲、乙两种物质的密度各是多少？
(2)质量为3.6kg的乙物质的体积为多少？
(3)5dm³的甲物质质量为多少？
答案
(1)解:由图像可知,甲的质量为2.7kg时,其体积为$1dm^3=0.001m^3$,则甲的密度:$\rho_{甲}=\frac{m_{甲}}{V_{甲}}=\frac{2.7kg}{0.001m^3}=2.7×10^3kg/m^3$;由图像可知,乙的质量为2.7kg时,其体积为$3dm^3=0.003m^3$,则乙的密度为$\rho_{乙}=\frac{m_{乙}}{V_{乙}}=\frac{2.7kg}{0.003m^3}=0.9×10^3kg/m^3$。
(2)质量为3.6kg的乙物质的体积为:$V'_{乙}=\frac{m'_{乙}}{\rho_{乙}}=\frac{3.6kg}{0.9×10^3kg/m^3}=0.004m^3$。
(3)$V'_{甲}=5dm^3=0.005m^3$;由$\rho=\frac{m}{V}$,可得$5dm^3$的甲物质质量为:$m'_{甲}=\rho_{甲}V'_{甲}=2.7×10^3kg/m^3×0.005m^3=13.5kg$。
(2)质量为3.6kg的乙物质的体积为:$V'_{乙}=\frac{m'_{乙}}{\rho_{乙}}=\frac{3.6kg}{0.9×10^3kg/m^3}=0.004m^3$。
(3)$V'_{甲}=5dm^3=0.005m^3$;由$\rho=\frac{m}{V}$,可得$5dm^3$的甲物质质量为:$m'_{甲}=\rho_{甲}V'_{甲}=2.7×10^3kg/m^3×0.005m^3=13.5kg$。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合m-V图像，利用密度公式ρ=m/V进行计算。首先从图像中找到甲、乙物质对应的一组质量和体积，代入公式求出各自的密度；再根据密度公式的变形V=m/ρ，计算质量为3.6kg的乙物质的体积；最后根据m=ρV，计算5dm³的甲物质的质量，计算时要注意体积单位的换算（1dm³=10⁻³m³）。
【解析】
(1) 由图像可知，当甲的质量m甲=2.7kg时，体积V甲=1dm³=1×10⁻³m³，根据密度公式ρ=m/V，甲的密度：
ρ甲 = m甲/V甲 = 2.7kg / (1×10⁻³m³) = 2.7×10³kg/m³；
当乙的质量m乙=2.7kg时，体积V乙=3dm³=3×10⁻³m³，乙的密度：
ρ乙 = m乙/V乙 = 2.7kg / (3×10⁻³m³) = 0.9×10³kg/m³。
(2) 已知乙的质量m'乙=3.6kg，由ρ=m/V变形得V=m/ρ，所以乙的体积：
V'乙 = m'乙/ρ乙 = 3.6kg / (0.9×10³kg/m³) = 0.004m³。
(3) 甲的体积V'甲=5dm³=5×10⁻³m³，由ρ=m/V变形得m=ρV，所以甲的质量：
m'甲=ρ甲V'甲=2.7×10³kg/m³ × 5×10⁻³m³ =13.5kg。
【答案】
(1) 甲的密度是2.7×10³kg/m³，乙的密度是0.9×10³kg/m³；
(2) 质量为3.6kg的乙物质的体积为0.004m³；
(3) 5dm³的甲物质质量为13.5kg。
【知识点】密度、密度公式应用、m-V图像
【点评】
本题结合m-V图像考查密度的计算，核心是从图像中提取对应的数据，灵活运用密度公式及其变形，注意体积单位的换算，属于密度部分的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合m-V图像，利用密度公式ρ=m/V进行计算。首先从图像中找到甲、乙物质对应的一组质量和体积，代入公式求出各自的密度；再根据密度公式的变形V=m/ρ，计算质量为3.6kg的乙物质的体积；最后根据m=ρV，计算5dm³的甲物质的质量，计算时要注意体积单位的换算（1dm³=10⁻³m³）。
【解析】
(1) 由图像可知，当甲的质量m甲=2.7kg时，体积V甲=1dm³=1×10⁻³m³，根据密度公式ρ=m/V，甲的密度：
ρ甲 = m甲/V甲 = 2.7kg / (1×10⁻³m³) = 2.7×10³kg/m³；
当乙的质量m乙=2.7kg时，体积V乙=3dm³=3×10⁻³m³，乙的密度：
ρ乙 = m乙/V乙 = 2.7kg / (3×10⁻³m³) = 0.9×10³kg/m³。
(2) 已知乙的质量m'乙=3.6kg，由ρ=m/V变形得V=m/ρ，所以乙的体积：
V'乙 = m'乙/ρ乙 = 3.6kg / (0.9×10³kg/m³) = 0.004m³。
(3) 甲的体积V'甲=5dm³=5×10⁻³m³，由ρ=m/V变形得m=ρV，所以甲的质量：
m'甲=ρ甲V'甲=2.7×10³kg/m³ × 5×10⁻³m³ =13.5kg。
【答案】
(1) 甲的密度是2.7×10³kg/m³，乙的密度是0.9×10³kg/m³；
(2) 质量为3.6kg的乙物质的体积为0.004m³；
(3) 5dm³的甲物质质量为13.5kg。
【知识点】密度、密度公式应用、m-V图像
【点评】
本题结合m-V图像考查密度的计算，核心是从图像中提取对应的数据，灵活运用密度公式及其变形，注意体积单位的换算，属于密度部分的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
