例1 若A※B表示$(A+3B)×(A+B)$,求5※7的值。
分析:定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。它使用一些特殊的运算符号,这与四则运算中的加减乘除符号是不一样的。新定义的算式中有括号的,要先算括号里的。但它在没有转化前,是不适合于各种运算的。
解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义运算的算式含义,然后按照新定义运算的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。A※B是这样计算出来的:先计算A+3B的结果,再计算A+B的结果,最后求两个结果的乘积。
解答:由$A※B=(A+3B)×(A+B)$,
得$5※7=(5+3×7)×(5+7)$
$=(5+21)×12$
$=26×12$
$=312$

根据定义，A※B = (A + 3B) × (A + B)。
将A = 5，B = 7代入：
5※7 = (5 + 3 × 7) × (5 + 7)
= (5 + 21) × 12
= 26 × 12
= 312
最终结论：312

1. 如果$a◎b=a×b-(a+b)$,求$6◎(9◎2)$的值。

=6×7-(6+7)
=42-13
=29
提示:根据定义,要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。先算9◎2=9×2-(9+2)=18-11=7,再算6◎7=6×7-(6+7)=42-13=29。

2. 如果1※2=1+11,2※3=2+22+222,3※4=3+33+333+3333。计算(5※3)×1.2的值。

(5※3)×1.2=(5+55+555)×1.2=738
提示:通过观察发现:a※b中的b表示加数的个数,每个加数数位上的数都由a组成,都由1个数位,依次增加到b个数位。(5※3)×1.2=(5+55+555)×1.2=738。

例2 下面是乐乐设计的一个计算程序。

(1)当输入$a$时,输出的数是()。
(2)如果$b=3$,当乐乐输入52时,输出的数是多少？
分析:在解决程序框图相关的问题时,要按程序框图对应的顺序逐步处理输入的数,避免因计算顺序错误导致计算错误。
本题中输入$a$后,先将其乘0.25,再用得到的积减去$b$,用含字母的式子表示结果是$0.25a - b$；再求出当$a=52,b=3$时式子对应的值。
解答:(1)$0.25a - b$
(2)$52×0.25 - 3 = 10$

(1) $0.25a - b$
(2)
$52×0.25 - 3 = 10$
答：输出的数是10。

3. 下面是一个运算流程。

(1)当x是单数时，y=();当x是双数时，y=()。
(2)当x=2026时，y=();当x=2027时，y=()。
(3)明明输入一个数，输出的数是2026，那么他输入的数是多少？

3. (1)(x+1)÷4 x÷4
提示:当x是单数时,先加1,再除以4,所以y = (x+1)÷4;当x是双数时,直接除以4,所以y = x÷4。
(2)506.5 507
提示:x = 2026(双数),则y = 2026÷4 = 506.5;x = 2027(单数),则y = (2027+1)÷4 = 2028÷4 = 507。
(3)假设输入的数是单数,
则(x+1)÷4 = 2026
(x+1)÷4×4 = 2026×4
x+1 = 8104
x+1-1 = 8104-1
x = 8103
假设输入的数是双数,
则x÷4 = 2026
x÷4×4 = 2026×4
x = 8104
答:他输入的数是8103或8104。
提示:因为不知道输入的数是单数还是双数,所以要分两种情况讨论:
假设输入的数是单数,则(x+1)÷4 = 2026,x = 8103。验证:8103是单数,符合假设条件。
假设输入的数是双数,则x÷4=2026,x=2026×4=8104。验证:8104是双数,符合假设条件。