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1[2026山东济南调研]如图,三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上.若∠1=42°,则∠2的度数是 (
A.42°
B.48°
C.58°
D.84°
(第1题图)
(第2题图)
B
)A.42°
B.48°
C.58°
D.84°
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.B 【解析】如图.
∵ ∠1+∠3 = 180°−90°= 90°, ∠1=42°,
∴ ∠3=90°−∠1=48°.
∵ AB//CD,
∴ ∠2=∠3=48°.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：长方形的对边AB与CD互相平行，三角板的直角顶点落在AB上，因此AB上∠1、三角板的直角、∠3三个角组成平角，和为180°，可推出∠1与∠3互余。第一步先根据∠1的度数计算出∠3的度数，第二步利用平行线内错角相等的性质，可得∠2与∠3相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
如图，
∵ 三角板的直角顶点在AB上，平角为180°，
∴ ∠1 + ∠3 = 180° - 90° = 90°，
又
∵ ∠1 = 42°，
∴ ∠3 = 90° - 42° = 48°，
∵ 长方形对边AB//CD，
∴ ∠2 = ∠3 = 48°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，余角的运算
【点评】
本题属于基础几何题，结合了长方形、三角板的常见几何模型，主要考查平行线性质的应用，解题的核心是找到角度之间的数量关系，结合平行线性质推导所求角度，掌握基础几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：长方形的对边AB与CD互相平行，三角板的直角顶点落在AB上，因此AB上∠1、三角板的直角、∠3三个角组成平角，和为180°，可推出∠1与∠3互余。第一步先根据∠1的度数计算出∠3的度数，第二步利用平行线内错角相等的性质，可得∠2与∠3相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
如图，
∵ 三角板的直角顶点在AB上，平角为180°，
∴ ∠1 + ∠3 = 180° - 90° = 90°，
又
∵ ∠1 = 42°，
∴ ∠3 = 90° - 42° = 48°，
∵ 长方形对边AB//CD，
∴ ∠2 = ∠3 = 48°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，余角的运算
【点评】
本题属于基础几何题，结合了长方形、三角板的常见几何模型，主要考查平行线性质的应用，解题的核心是找到角度之间的数量关系，结合平行线性质推导所求角度，掌握基础几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2 新考向 传统文化 [2026陕西西安质检]抖空竹是我国传统体育项目.如图,某一时刻对空竹进行受力分析,抖线给空竹的拉力为$F_1$和$F_2$,空竹受到的重力为$G$,方向竖直向下,若$∠1=20°,∠2=130°$,则$∠3$的度数为 (
A.$70°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$80°$
A
)A.$70°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$80°$
答案
2.A 【解析】如图所示,由平行线的性质可知∠4+∠1=180°.
∵ ∠1=20°,
∴ ∠4=160°.
∵ ∠2=130°,
∴ ∠3=360°−130°−160°=70°,故选A.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：重力G的方向竖直向下，左侧虚线为竖直方向，二者所在直线互相平行。首先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出$F_1$与G的夹角$∠4$的度数；再根据$∠2$、$∠3$、$∠4$共同构成周角，三者和为$360°$，代入已知角度即可求出$∠3$的度数。
【解析】
∵ 竖直方向的虚线与重力G所在的直线互相平行，$F_1$所在直线为截线，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠1 + ∠4 = 180°$，
∵ $∠1 = 20°$，
∴ $∠4 = 180° - 20° = 160°$，
∵ $∠2$、$∠3$、$∠4$构成周角，周角度数为$360°$，
∴ $∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°$，
又
∵ $∠2 = 130°$，
∴ $∠3 = 360° - 130° - 160° = 70°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，周角的定义
【点评】
本题结合传统体育项目抖空竹的受力场景命题，将几何知识与生活实际结合，考查学生从实际情境中抽象几何模型、运用几何性质计算角度的能力，体现了跨学科融合的新考向。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：重力G的方向竖直向下，左侧虚线为竖直方向，二者所在直线互相平行。首先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出$F_1$与G的夹角$∠4$的度数；再根据$∠2$、$∠3$、$∠4$共同构成周角，三者和为$360°$，代入已知角度即可求出$∠3$的度数。
【解析】
∵ 竖直方向的虚线与重力G所在的直线互相平行，$F_1$所在直线为截线，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠1 + ∠4 = 180°$，
∵ $∠1 = 20°$，
∴ $∠4 = 180° - 20° = 160°$，
∵ $∠2$、$∠3$、$∠4$构成周角，周角度数为$360°$，
∴ $∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°$，
又
∵ $∠2 = 130°$，
∴ $∠3 = 360° - 130° - 160° = 70°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，周角的定义
【点评】
本题结合传统体育项目抖空竹的受力场景命题，将几何知识与生活实际结合，考查学生从实际情境中抽象几何模型、运用几何性质计算角度的能力，体现了跨学科融合的新考向。
【难度系数】
0.8
3[2026 四川遂宁期末]如图，$AB// CD$，$CE$平分$∠ FCD$，点$O$在$FC$的延长线上，$OB$交$CD$于点$G$.若$∠ AFO=80°$，$∠ BGD=∠ FCE$，则$∠ OGD$的度数为（
A.$140°$
B.$145°$
C.$150°$
D.$155°$
（第3题图）
（第4题图）
（第5题图）
A
）A.$140°$
B.$145°$
C.$150°$
D.$155°$
（第3题图）（第4题图）
（第5题图）
答案
3.A 【解析】
∵ AB//CD,∠AFO=80°,
∴ ∠AFO=∠FCD=80°.
∵ CE平分∠FCD,
∴ ∠FCE = ∠ECD = $\frac{1}{2}∠FCD = 40°$,
∴ ∠BGD = ∠FCE = 40°,
∴ ∠OGD = 180°−∠BGD = 180°−40° = 140°,故选A.
∵ AB//CD,∠AFO=80°,
∴ ∠AFO=∠FCD=80°.
∵ CE平分∠FCD,
∴ ∠FCE = ∠ECD = $\frac{1}{2}∠FCD = 40°$,
∴ ∠BGD = ∠FCE = 40°,
∴ ∠OGD = 180°−∠BGD = 180°−40° = 140°,故选A.
解析
【分析】
解题时先从已知的$AB// CD$入手，根据平行线的同位角相等的性质，结合$∠ AFO=80°$先求出$∠ FCD$的度数；再根据$CE$平分$∠ FCD$，利用角平分线的定义算出$∠ FCE$的度数；结合题目给出的$∠ BGD=∠ FCE$得到$∠ BGD$的度数，最后$∠ OGD$和$∠ BGD$互为邻补角，和为$180°$，用$180°$减去$∠ BGD$的度数就能得到$∠ OGD$的度数。
【解析】
$\because AB// CD$，$∠ AFO=80°$，
$\therefore ∠ FCD=∠ AFO=80°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE$平分$∠ FCD$，
$\therefore ∠ FCE=\frac{1}{2}∠ FCD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
$\because ∠ BGD=∠ FCE$，
$\therefore ∠ BGD=40°$。
$\because ∠ OGD$与$∠ BGD$互为邻补角，
$\therefore ∠ OGD=180°-∠ BGD=180°-40°=140°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质、角平分线定义以及邻补角性质的综合应用，解题的关键是结合图形找到各角之间的数量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的$AB// CD$入手，根据平行线的同位角相等的性质，结合$∠ AFO=80°$先求出$∠ FCD$的度数；再根据$CE$平分$∠ FCD$，利用角平分线的定义算出$∠ FCE$的度数；结合题目给出的$∠ BGD=∠ FCE$得到$∠ BGD$的度数，最后$∠ OGD$和$∠ BGD$互为邻补角，和为$180°$，用$180°$减去$∠ BGD$的度数就能得到$∠ OGD$的度数。
【解析】
$\because AB// CD$，$∠ AFO=80°$，
$\therefore ∠ FCD=∠ AFO=80°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE$平分$∠ FCD$，
$\therefore ∠ FCE=\frac{1}{2}∠ FCD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
$\because ∠ BGD=∠ FCE$，
$\therefore ∠ BGD=40°$。
$\because ∠ OGD$与$∠ BGD$互为邻补角，
$\therefore ∠ OGD=180°-∠ BGD=180°-40°=140°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质、角平分线定义以及邻补角性质的综合应用，解题的关键是结合图形找到各角之间的数量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4[2026重庆长寿区期中]如图是小张在操作剪刀时的平面示意图,剪刀一条手柄所在直线AC经过点O,DE是经过剪刀手柄上的点D的直线.若$∠ AOB=53°$,$AC// DE$,则$∠ ODE$的度数是
127°
.答案
4. 127° 【解析】
∵ AC//DE,
∴ ∠ODE+∠COD = 180°.
∵ ∠COD = ∠AOB = 53°,
∴ ∠ODE = 127°. 故答案为 127°.
∵ AC//DE,
∴ ∠ODE+∠COD = 180°.
∵ ∠COD = ∠AOB = 53°,
∴ ∠ODE = 127°. 故答案为 127°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到AC//DE，可联想到平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，因此∠ODE与∠COD的和为180°，只需求出∠COD的度数即可计算∠ODE；又因为∠COD和∠AOB是对顶角，根据对顶角相等，结合已知∠AOB=53°，即可得到∠COD的度数，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ AC//DE，
∴ ∠ODE+∠COD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠COD与∠AOB是对顶角，
∴ ∠COD = ∠AOB = 53°（对顶角相等），
∴ ∠ODE = 180° - 53° = 127°。
【答案】
127°
【知识点】
对顶角相等；平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础性质的应用，解题的关键是找准角的位置关系和等量关系，属于基础题型，熟练掌握对顶角性质和平行线性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先看到AC//DE，可联想到平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，因此∠ODE与∠COD的和为180°，只需求出∠COD的度数即可计算∠ODE；又因为∠COD和∠AOB是对顶角，根据对顶角相等，结合已知∠AOB=53°，即可得到∠COD的度数，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ AC//DE，
∴ ∠ODE+∠COD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠COD与∠AOB是对顶角，
∴ ∠COD = ∠AOB = 53°（对顶角相等），
∴ ∠ODE = 180° - 53° = 127°。
【答案】
127°
【知识点】
对顶角相等；平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础性质的应用，解题的关键是找准角的位置关系和等量关系，属于基础题型，熟练掌握对顶角性质和平行线性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5 [2026 山东东营调研]如图，$AB// EF// CD$，$∠ ABC=45°$，$∠ BCE=10°$，则$∠ CEF$的度数为
145°
.答案
5. 145° 【解析】
∵ AB//EF//CD,
∴ ∠ABC = ∠BCD = 45°, ∠CEF + ∠DCE = 180°.
∵ ∠BCE = 10°,
∴ ∠DCE = 45°−10° = 35°,
∴ ∠CEF=180°−35°=145°. 故答案为 145°.
关键点拨
解题的关键是由平行线的性质推出∠BCD=∠ABC = 45°,∠CEF+∠DCE=180°.
∵ AB//EF//CD,
∴ ∠ABC = ∠BCD = 45°, ∠CEF + ∠DCE = 180°.
∵ ∠BCE = 10°,
∴ ∠DCE = 45°−10° = 35°,
∴ ∠CEF=180°−35°=145°. 故答案为 145°.
关键点拨
解题的关键是由平行线的性质推出∠BCD=∠ABC = 45°,∠CEF+∠DCE=180°.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的平行线条件推导角的关系：第一步，由AB//CD，根据平行线内错角相等的性质，可得∠ABC与∠BCD相等，先得到∠BCD的度数；第二步，结合已知∠BCE的度数，通过角的和差计算求出∠DCE的度数；第三步，由EF//CD，根据平行线同旁内角互补的性质，即可计算出∠CEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB//EF//CD，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，得∠ABC = ∠BCD = 45°，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠CEF + ∠DCE = 180°。
∵ ∠BCE = 10°，
∴ ∠DCE = ∠BCD - ∠BCE = 45°−10° = 35°，
∴ ∠CEF=180°−∠DCE = 180°−35°=145°。
【答案】
145°
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用类题目，解题核心是准确识别平行线对应的角的位置关系，结合角的和差运算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的平行线条件推导角的关系：第一步，由AB//CD，根据平行线内错角相等的性质，可得∠ABC与∠BCD相等，先得到∠BCD的度数；第二步，结合已知∠BCE的度数，通过角的和差计算求出∠DCE的度数；第三步，由EF//CD，根据平行线同旁内角互补的性质，即可计算出∠CEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB//EF//CD，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，得∠ABC = ∠BCD = 45°，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠CEF + ∠DCE = 180°。
∵ ∠BCE = 10°，
∴ ∠DCE = ∠BCD - ∠BCE = 45°−10° = 35°，
∴ ∠CEF=180°−∠DCE = 180°−35°=145°。
【答案】
145°
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用类题目，解题核心是准确识别平行线对应的角的位置关系，结合角的和差运算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6[2026山东淄博质检]请完成下面的推理过程，
并在括号里填写推理依据：
如图,已知$∠ B + ∠ BCD = 180°, ∠ B = ∠ D$.
求证:$∠ E = ∠ DFE$.
证明:$\because ∠ B + ∠ BCD = 180°$(已知),
$\therefore AB // CD$(
$\therefore ∠ B =$
又$\because ∠ B = ∠ D$(已知),
$\therefore ∠ DCE = ∠ D$(
$\therefore AD // BE$(
$\therefore ∠ E = ∠ DFE$(
并在括号里填写推理依据：
如图,已知$∠ B + ∠ BCD = 180°, ∠ B = ∠ D$.
求证:$∠ E = ∠ DFE$.
证明:$\because ∠ B + ∠ BCD = 180°$(已知),
$\therefore AB // CD$(
同旁内角互补,两直线平行
),$\therefore ∠ B =$
$∠DCE$
(两直线平行,同位角相等
).又$\because ∠ B = ∠ D$(已知),
$\therefore ∠ DCE = ∠ D$(
等量代换
),$\therefore AD // BE$(
内错角相等,两直线平行
),$\therefore ∠ E = ∠ DFE$(
两直线平行,内错角相等
).答案
6.【解】
∵ ∠B+∠BCD=180°(已知),
∴ AB//CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴ ∠B = ∠DCE(两直线平行,同位角相等). 又
∵ ∠B = ∠D(已知),
∴ ∠DCE = ∠D(等量代换),
∴ AD//BE(内错角相等,两直线平行),
∴ ∠E = ∠DFE(两直线平行,内错角相等). 故答案为同旁内角互补,两直线平行; ∠DCE;两直线平行,同位角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
∵ ∠B+∠BCD=180°(已知),
∴ AB//CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴ ∠B = ∠DCE(两直线平行,同位角相等). 又
∵ ∠B = ∠D(已知),
∴ ∠DCE = ∠D(等量代换),
∴ AD//BE(内错角相等,两直线平行),
∴ ∠E = ∠DFE(两直线平行,内错角相等). 故答案为同旁内角互补,两直线平行; ∠DCE;两直线平行,同位角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
解析
【分析】
这是一道平行线判定与性质综合的推理填空题，解题时按照给出的证明步骤逐步推导：首先根据已知的同旁内角互补关系判定两直线平行，再利用平行线的性质得到对应角相等，结合已知角相等的条件通过等量代换得到新的角相等关系，进而判定另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到待证的角相等关系，填写每一步对应的推理依据即可。
【解析】
证明：
$\because ∠ B + ∠ BCD = 180°$(已知),
$\therefore AB // CD$(同旁内角互补，两直线平行),
$\therefore ∠ B = \boldsymbol{∠DCE}$ (两直线平行，同位角相等).
又$\because ∠ B = ∠ D$(已知),
$\therefore ∠ DCE = ∠ D$(等量代换),
$\therefore AD // BE$(内错角相等，两直线平行),
$\therefore ∠ E = ∠ DFE$(两直线平行，内错角相等).
【答案】
依次填：同旁内角互补，两直线平行；$\boldsymbol{∠DCE}$；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础的几何推理题，核心考查平行线判定和性质的区分与应用：平行线判定是由角的数量关系推导线的位置关系，平行线性质是由线的位置关系推导角的数量关系，解题时需结合图形找准对应角的位置关系，避免判定和性质混淆。
【难度系数】
0.8
这是一道平行线判定与性质综合的推理填空题，解题时按照给出的证明步骤逐步推导：首先根据已知的同旁内角互补关系判定两直线平行，再利用平行线的性质得到对应角相等，结合已知角相等的条件通过等量代换得到新的角相等关系，进而判定另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到待证的角相等关系，填写每一步对应的推理依据即可。
【解析】
证明：
$\because ∠ B + ∠ BCD = 180°$(已知),
$\therefore AB // CD$(同旁内角互补，两直线平行),
$\therefore ∠ B = \boldsymbol{∠DCE}$ (两直线平行，同位角相等).
又$\because ∠ B = ∠ D$(已知),
$\therefore ∠ DCE = ∠ D$(等量代换),
$\therefore AD // BE$(内错角相等，两直线平行),
$\therefore ∠ E = ∠ DFE$(两直线平行，内错角相等).
【答案】
依次填：同旁内角互补，两直线平行；$\boldsymbol{∠DCE}$；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础的几何推理题，核心考查平行线判定和性质的区分与应用：平行线判定是由角的数量关系推导线的位置关系，平行线性质是由线的位置关系推导角的数量关系，解题时需结合图形找准对应角的位置关系，避免判定和性质混淆。
【难度系数】
0.8
7 [2026河南濮阳期末]如图，∠AOB内部有一点P. 请根据要求完成下列问题：
过点P画直线PC//OB，交OA于点C；画直线PD//OA，交OB于点D.
(1)写出图中一个与∠O互补的角：
(2)图中与∠O相等的角(不包括∠O)有 (
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
(3)请说明∠CPD=∠O，并写出每一步的推理依据.
过点P画直线PC//OB，交OA于点C；画直线PD//OA，交OB于点D.
(1)写出图中一个与∠O互补的角：
∠OCP(答案不唯一)
.(2)图中与∠O相等的角(不包括∠O)有 (
C
)A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
(3)请说明∠CPD=∠O，并写出每一步的推理依据.
答案
7.【解】如图所示.
(1)
∵ PC//OB,
∴ ∠O+∠OCP=180°,
∴ ∠OCP与∠O互补.
故答案为∠OCP(答案不唯一).
(2)如图,
∵ OB//PC,
∴ ∠O=∠ACP,∠O=∠2.
∵ PD // OA,
∴ ∠O = ∠BDP, ∠O = ∠3,
∠ACP=∠CPD,∠ACP=∠1,
∴ ∠O=∠1,∠O=∠CPD.
综上,图中与∠O相等的角(不包括∠O)有6个.故选C.
(3)
∵ PC//OB(已知),
∴ ∠O=∠ACP(两直线平行,同位角相等).
∵ OA//PD(已知),
∴ ∠ACP = ∠CPD(两直线平行,内错角相等),
∴ ∠O=∠CPD(等量代换).
解析
【分析】
本题考查平行线性质的应用，解题思路如下：首先按照要求画出两条平行辅助线；(1)找与∠O互补的角，可利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合所画平行线的位置找对应同旁内角即可，答案不唯一；(2)找与∠O相等的角，依次利用两直线平行的同位角相等、内错角相等性质，结合对顶角相等的性质逐一列举计数，避免漏数或重复；(3)证明∠CPD=∠O，可通过平行线性质找到和两个角都相等的中间角，通过等量代换完成证明即可。
【解析】
首先按要求画出直线PC//OB交OA于点C，直线PD//OA交OB于点D，如图。
(1)
∵ PC//OB，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠O+∠OCP=180°，因此∠OCP与∠O互补（也可填写∠ODP等符合要求的角）。
(2) 结合平行线和对顶角的性质推导：
∵ OB//PC，
∴ ∠O=∠ACP（两直线平行，同位角相等），∠O=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∵ PD // OA，
∴ ∠O = ∠BDP（两直线平行，同位角相等），∠O = ∠3（两直线平行，内错角相等）；
同时由PD//OA得∠ACP=∠CPD（两直线平行，内错角相等），由对顶角相等得∠ACP=∠1，进一步可推得∠O=∠1、∠O=∠CPD。
综上不包含∠O本身，和∠O相等的角共6个，选C。
(3) 推理过程如下：
∵ PC//OB(已知)，
∴ ∠O=∠ACP(两直线平行，同位角相等)，
∵ OA//PD(已知)，
∴ ∠ACP = ∠CPD(两直线平行，内错角相等)，
∴ ∠O=∠CPD(等量代换)。
【答案】
如图所示
(1) ∠OCP(答案不唯一)
(2) C
(3) 推理过程：
∵ PC//OB(已知)，
∴ ∠O=∠ACP(两直线平行，同位角相等)，
∵ OA//PD(已知)，
∴ ∠ACP = ∠CPD(两直线平行，内错角相等)，
∴ ∠O=∠CPD(等量代换)
【知识点】
平行线的性质，补角的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于平行线性质的基础常考题，解题核心是熟练掌握平行线带来的角的等量、互补关系，计数相等角时要按规律有序列举避免漏错，几何推理过程要标注每一步的依据，养成严谨的逻辑习惯。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线性质的应用，解题思路如下：首先按照要求画出两条平行辅助线；(1)找与∠O互补的角，可利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合所画平行线的位置找对应同旁内角即可，答案不唯一；(2)找与∠O相等的角，依次利用两直线平行的同位角相等、内错角相等性质，结合对顶角相等的性质逐一列举计数，避免漏数或重复；(3)证明∠CPD=∠O，可通过平行线性质找到和两个角都相等的中间角，通过等量代换完成证明即可。
【解析】
首先按要求画出直线PC//OB交OA于点C，直线PD//OA交OB于点D，如图
。(1)
∵ PC//OB，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠O+∠OCP=180°，因此∠OCP与∠O互补（也可填写∠ODP等符合要求的角）。
(2) 结合平行线和对顶角的性质推导：
∵ OB//PC，
∴ ∠O=∠ACP（两直线平行，同位角相等），∠O=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∵ PD // OA，
∴ ∠O = ∠BDP（两直线平行，同位角相等），∠O = ∠3（两直线平行，内错角相等）；
同时由PD//OA得∠ACP=∠CPD（两直线平行，内错角相等），由对顶角相等得∠ACP=∠1，进一步可推得∠O=∠1、∠O=∠CPD。
综上不包含∠O本身，和∠O相等的角共6个，选C。
(3) 推理过程如下：
∵ PC//OB(已知)，
∴ ∠O=∠ACP(两直线平行，同位角相等)，
∵ OA//PD(已知)，
∴ ∠ACP = ∠CPD(两直线平行，内错角相等)，
∴ ∠O=∠CPD(等量代换)。
【答案】
如图所示
(1) ∠OCP(答案不唯一)
(2) C
(3) 推理过程：
∵ PC//OB(已知)，
∴ ∠O=∠ACP(两直线平行，同位角相等)，
∵ OA//PD(已知)，
∴ ∠ACP = ∠CPD(两直线平行，内错角相等)，
∴ ∠O=∠CPD(等量代换)
【知识点】
平行线的性质，补角的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于平行线性质的基础常考题，解题核心是熟练掌握平行线带来的角的等量、互补关系，计数相等角时要按规律有序列举避免漏错，几何推理过程要标注每一步的依据，养成严谨的逻辑习惯。
【难度系数】
0.7
8[2026山东潍坊质检]已知$AB// CD$,点E在直线AB与CD之间,连接AE,CE.
(1)如图(1),若$∠ A=30°,∠ C=40°$,求$∠ AEC$的度数;
(2)如图(2),求证:$∠ A+∠ AEC+∠ C=360°$.
(1)如图(1),若$∠ A=30°,∠ C=40°$,求$∠ AEC$的度数;
(2)如图(2),求证:$∠ A+∠ AEC+∠ C=360°$.
答案
8.(1)【解】如图(1),过点E作EF//AB,
∴ ∠A=∠1.
∵ AB//CD,EF//AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠2=∠C,
∴ ∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C.
∵ ∠A=30°,∠C=40°,
∴ ∠AEC=30°+40°=70°.
(2)【证明】如图(2),过点E作EF//AB,
∴ ∠A+∠AEF=180°.
∵ AB//CD,EF//AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠C+∠CEF=180°,
∴ ∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°,即∠A+∠AEC+∠C=360°.
关键点拨
分别过 E, F 作 $GE // AB$, $FH// AB$, 再根据平行线的性质逐个判断即可解答.
解析
【分析】
（1）本题为平行线间的拐点求角问题，解题思路为：过拐点E作平行于AB的辅助线，利用平行线的性质将∠AEC拆分为两个分别与∠A、∠C相等的角，再通过角度和差计算结果。首先过E作EF//AB，由两直线平行内错角相等得∠1=∠A；再结合AB//CD，根据平行公理的推论得EF//CD，同理得∠2=∠C，最后将已知角度代入求和即可。
（2）要证明三个角的和为360°，同样过E作EF//AB，利用两直线平行同旁内角互补得∠A与∠AEF互补；再由AB//CD推出EF//CD，得∠C与∠CEF互补，将两个互补关系相加，结合角的和差关系即可完成证明。
【解析】
(1) 如图(1)，过点E作EF//AB，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ A=∠ 1$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$，
$\therefore ∠ 2=∠ C$，$∠ AEC=∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ C$。
将$∠ A=30°$，$∠ C=40°$代入得$∠ AEC=30°+40°=70°$。
(2) 如图(2)，过点E作EF//AB，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ A+∠ AEF=180°$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$，
$\therefore ∠ C+∠ CEF=180°$。
两式相加得$∠ A+∠ AEF+∠ C+∠ CEF=360°$，结合$∠ AEF+∠ CEF=∠ AEC$，即可得$∠ A+∠ AEC+∠ C=360°$。
【答案】
(1) 解：如图(1),过点E作EF//AB,
∴ ∠A=∠1.
∵ AB//CD,EF//AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠2=∠C,
∴ ∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C.
∵ ∠A=30°,∠C=40°,
∴ ∠AEC=30°+40°=70°.
(2) 证明：如图(2),过点E作EF//AB,
∴ ∠A+∠AEF=180°.
∵ AB//CD,EF//AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠C+∠CEF=180°,
∴ ∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°,即∠A+∠AEC+∠C=360°.
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度运算
【点评】
本题是平行线章节的典型基础题，重点考查平行线间拐点问题的处理方法，过拐点作平行线的辅助线做法是解题的核心，掌握该方法可以快速解决这类角度推导或计算问题。
【难度系数】
0.7
（1）本题为平行线间的拐点求角问题，解题思路为：过拐点E作平行于AB的辅助线，利用平行线的性质将∠AEC拆分为两个分别与∠A、∠C相等的角，再通过角度和差计算结果。首先过E作EF//AB，由两直线平行内错角相等得∠1=∠A；再结合AB//CD，根据平行公理的推论得EF//CD，同理得∠2=∠C，最后将已知角度代入求和即可。
（2）要证明三个角的和为360°，同样过E作EF//AB，利用两直线平行同旁内角互补得∠A与∠AEF互补；再由AB//CD推出EF//CD，得∠C与∠CEF互补，将两个互补关系相加，结合角的和差关系即可完成证明。
【解析】
(1) 如图(1)，过点E作EF//AB，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ A=∠ 1$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$，
$\therefore ∠ 2=∠ C$，$∠ AEC=∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ C$。
将$∠ A=30°$，$∠ C=40°$代入得$∠ AEC=30°+40°=70°$。
(2) 如图(2)，过点E作EF//AB，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ A+∠ AEF=180°$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$，
$\therefore ∠ C+∠ CEF=180°$。
两式相加得$∠ A+∠ AEF+∠ C+∠ CEF=360°$，结合$∠ AEF+∠ CEF=∠ AEC$，即可得$∠ A+∠ AEC+∠ C=360°$。
【答案】
(1) 解：如图(1),过点E作EF//AB,
∴ ∠A=∠1.
∵ AB//CD,EF//AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠2=∠C,
∴ ∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C.
∵ ∠A=30°,∠C=40°,
∴ ∠AEC=30°+40°=70°.
(2) 证明：如图(2),过点E作EF//AB,
∴ ∠A+∠AEF=180°.
∵ AB//CD,EF//AB,
∴ CD//EF,
∴ ∠C+∠CEF=180°,
∴ ∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°,即∠A+∠AEC+∠C=360°.
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度运算
【点评】
本题是平行线章节的典型基础题，重点考查平行线间拐点问题的处理方法，过拐点作平行线的辅助线做法是解题的核心，掌握该方法可以快速解决这类角度推导或计算问题。
【难度系数】
0.7
