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1[2026福建福州质检,中]如图,一束太阳光线照射直角三角板$ABC(∠BAC=30°)$后投射在地面上得到线段$BD$.若$∠1=32°$,则$∠2=$ (
A.$68°$
B.$58°$
C.$48°$
D.$32°$
(第1题图)
(第2题图)
B
)A.$68°$
B.$58°$
C.$48°$
D.$32°$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.B 【解析】如图,
∵ ∠1=32°,∠BAC=30°,
∴ ∠1+∠BAC=32°+30°=62°.
∵ 一束太阳光线照射直角三角板ABC,
∴ ∠3=∠1+∠BAC=62°,∠2+∠ABC+∠3=180°.
∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠2=180°−∠3−∠ABC=180°−62°−60°=58°,故选B.
解析
【分析】
解题时首先明确太阳光线是互相平行的，因此可以使用平行线的性质推导角度关系。第一步，先结合已知的∠1和∠BAC的度数，利用平行线同位角相等求出∠3的度数；第二步，根据直角三角板的特征算出∠ABC的度数；第三步，观察到∠2、∠ABC、∠3三个角加起来是平角，和为180°，代入已知角度就能算出∠2的大小。
【解析】
∵ 太阳光线互相平行，根据平行线同位角相等的性质，可得$∠ 3 = ∠ 1 + ∠ BAC$
已知$∠ 1=32°$，$∠ BAC=30°$，
∴ $∠ 3 = 32°+30°=62°$
又
∵ $Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ABC=90°-30°=60°$
根据平角的定义，$∠ 2+∠ ABC+∠ 3=180°$
∴ $∠ 2=180°-∠ 3-∠ ABC=180°-62°-60°=58°$
故选B。
【答案】B
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，直角三角形性质
【点评】
本题结合生活中太阳光线平行的实际场景考查基础几何计算，解题关键是将实际问题转化为平行线几何模型，熟练运用角度和差关系与相关性质求解，注重基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确太阳光线是互相平行的，因此可以使用平行线的性质推导角度关系。第一步，先结合已知的∠1和∠BAC的度数，利用平行线同位角相等求出∠3的度数；第二步，根据直角三角板的特征算出∠ABC的度数；第三步，观察到∠2、∠ABC、∠3三个角加起来是平角，和为180°，代入已知角度就能算出∠2的大小。
【解析】
∵ 太阳光线互相平行，根据平行线同位角相等的性质，可得$∠ 3 = ∠ 1 + ∠ BAC$
已知$∠ 1=32°$，$∠ BAC=30°$，
∴ $∠ 3 = 32°+30°=62°$
又
∵ $Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ABC=90°-30°=60°$
根据平角的定义，$∠ 2+∠ ABC+∠ 3=180°$
∴ $∠ 2=180°-∠ 3-∠ ABC=180°-62°-60°=58°$
故选B。
【答案】B
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，直角三角形性质
【点评】
本题结合生活中太阳光线平行的实际场景考查基础几何计算，解题关键是将实际问题转化为平行线几何模型，熟练运用角度和差关系与相关性质求解，注重基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
2[较难]如图,已知$AB// CD$,点$E$在$B,D$连线的右侧,$∠ ABE$与$∠ CDE$的平分线相交于点$F$,则下列说法中正确的是 (
①$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$;②若$∠ E=80°$,则$∠ BFD=140°$;③若$∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$,$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$,则$6∠ BMD+∠ E=360°$;④若$∠ E=m°$,$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ CDF$,则$∠ M=(\frac{m}{2n})°$.
A.①②④
B.②③④
C.①②③
D.①②③④
C
)①$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$;②若$∠ E=80°$,则$∠ BFD=140°$;③若$∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$,$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$,则$6∠ BMD+∠ E=360°$;④若$∠ E=m°$,$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ CDF$,则$∠ M=(\frac{m}{2n})°$.
A.①②④
B.②③④
C.①②③
D.①②③④
答案
2.C 【解析】①如图,过点E作EG//AB,过点F作FH//AB,则AB//EG//FH//CD,所以∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,所以∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG = 360°,即∠ABE + ∠BED + ∠CDE = 360°,故①正确.
②因为∠BED=80°,∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,所以∠ABE+∠CDE=280°. 因为AB//FH//CD,所以∠ABF = ∠BFH, ∠CDF = ∠DFH, 所以∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = ∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$(∠ABE+∠CDE)=140°,故②正确. ③同理可得,∠BMD = ∠ABM + ∠CDM=$\frac{1}{3}$(∠ABF+∠CDF),所以6∠BMD=2(∠ABF+∠CDF)=∠ABE+∠CDE=360°−∠BED,所以6∠BMD+∠BED=360°,故③正确. ④由题意无法判断④是否正确,所以①②③正确.故选C.
解析
【分析】
本题是平行线性质的综合应用题，遇到平行线间的拐点问题，通用思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角度关系，再结合角平分线的定义、角度的倍分关系逐个判断4个结论是否正确：
1. 对结论①，过点E作AB的平行线，利用两直线平行同旁内角互补，即可推出三个角的和为360°；
2. 对结论②，结合①的结论先求∠ABE+∠CDE的度数，再利用角平分线的性质，过F作平行线，将∠BFD转化为∠ABF+∠CDF，即可计算出结果；
3. 对结论③，同理过M作平行线，将∠BMD转化为∠ABM+∠CDM，结合给出的角度比例关系，推导可得与∠E的数量关系；
4. 对结论④，所给条件无法建立∠M和∠E的对应数量关系，可判断其错误。
【解析】
①过点E作EG//AB，因为AB//CD，所以AB//EG//CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ ABE+∠ BEG=180°$，$∠ CDE+∠ DEG=180°$，两式相加得$∠ ABE+∠ BEG+∠ CDE+∠ DEG=360°$，即$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$，故①正确；
②已知$∠ E=80°$，由①得$∠ ABE+∠ CDE=360°-80°=280°$，因为BF平分$∠ ABE$，DF平分$∠ CDE$，所以$∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE$。过点F作FH//AB，因为AB//CD，所以AB//FH//CD，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ ABF=∠ BFH$，$∠ CDF=∠ DFH$，所以$∠ BFD=∠ BFH+∠ DFH=∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}×280°=140°$，故②正确；
③过点M作GM//AB，同理可得AB//GM//CD，所以$∠ BMD=∠ ABM+∠ CDM$。已知$∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$，所以$∠ BMD=\frac{1}{3}(∠ ABF+∠ CDF)$，即$3∠ BMD=∠ ABF+∠ CDF$。又因为$∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}(360°-∠ E)$，所以$3∠ BMD=\frac{1}{2}(360°-∠ E)$，整理得$6∠ BMD+∠ E=360°$，故③正确；
④所给条件$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ CDF$无法推导得到$∠ M=(\frac{m}{2n})°$的结论，故④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题重点考查平行线中拐点问题的处理方法，解题核心是过拐点作平行线，将未知角转化为已知相关角的和或差，结合角的倍分关系即可推导结论，需要注意角度关系推导时不要混淆各角的倍数，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.6
本题是平行线性质的综合应用题，遇到平行线间的拐点问题，通用思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角度关系，再结合角平分线的定义、角度的倍分关系逐个判断4个结论是否正确：
1. 对结论①，过点E作AB的平行线，利用两直线平行同旁内角互补，即可推出三个角的和为360°；
2. 对结论②，结合①的结论先求∠ABE+∠CDE的度数，再利用角平分线的性质，过F作平行线，将∠BFD转化为∠ABF+∠CDF，即可计算出结果；
3. 对结论③，同理过M作平行线，将∠BMD转化为∠ABM+∠CDM，结合给出的角度比例关系，推导可得与∠E的数量关系；
4. 对结论④，所给条件无法建立∠M和∠E的对应数量关系，可判断其错误。
【解析】
①过点E作EG//AB，因为AB//CD，所以AB//EG//CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ ABE+∠ BEG=180°$，$∠ CDE+∠ DEG=180°$，两式相加得$∠ ABE+∠ BEG+∠ CDE+∠ DEG=360°$，即$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$，故①正确；
②已知$∠ E=80°$，由①得$∠ ABE+∠ CDE=360°-80°=280°$，因为BF平分$∠ ABE$，DF平分$∠ CDE$，所以$∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE$。过点F作FH//AB，因为AB//CD，所以AB//FH//CD，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ ABF=∠ BFH$，$∠ CDF=∠ DFH$，所以$∠ BFD=∠ BFH+∠ DFH=∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}×280°=140°$，故②正确；
③过点M作GM//AB，同理可得AB//GM//CD，所以$∠ BMD=∠ ABM+∠ CDM$。已知$∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$，所以$∠ BMD=\frac{1}{3}(∠ ABF+∠ CDF)$，即$3∠ BMD=∠ ABF+∠ CDF$。又因为$∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}(360°-∠ E)$，所以$3∠ BMD=\frac{1}{2}(360°-∠ E)$，整理得$6∠ BMD+∠ E=360°$，故③正确；
④所给条件$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ CDF$无法推导得到$∠ M=(\frac{m}{2n})°$的结论，故④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题重点考查平行线中拐点问题的处理方法，解题核心是过拐点作平行线，将未知角转化为已知相关角的和或差，结合角的倍分关系即可推导结论，需要注意角度关系推导时不要混淆各角的倍数，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.6
3[2026河北秦皇岛调研,中]如图,某工程队在管道铺设到某段落的B点时,遇到了一处无法穿越的地质障碍,不得不调整路线.新的路线在B的南偏东$30°$方向上,且$∠ BOC=50°$,若要回到最初的铺设方向上,必须保证$∠ OCD=$
(第3题图)
(第4题图)
110
$°$.(第3题图)
(第4题图)
答案
3. 110 【解析】如图,过点O作OE//AB. 由题意得∠ABF = 90°, AB // CD,
∴ AB // OE // CD.
∵ ∠OBF=30°,
∴ ∠ABO = ∠ABF + ∠OBF = 120°.
∵ AB//OE,
∴ ∠BOE = 180°−∠ABO = 60°.
∵ ∠BOC = 50°,
∴ ∠COE = ∠BOC + ∠BOE=110°.
∵ OE//CD,
∴ ∠DCO=∠COE=110°,故答案为110.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题意：最初的铺设方向AB和最终回到的方向CD互相平行，要求∠OCD的度数。遇到两条平行线间存在折线的问题，通常的解题思路是过折点作其中一条平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系。我们可以过点O作OE平行于AB，由平行公理的推论可得AB、OE、CD互相平行，再结合已知的南偏东30°的方向角和∠BOC=50°的条件，依次求出∠ABO、∠BOE、∠COE的度数，最后根据平行线的性质即可得到∠OCD的度数。
【解析】
如图，过点O作OE//AB。
由题意可知AB//CD，∠ABF=90°（BF为正北方向，AB为水平路线，二者互相垂直），因此AB // OE // CD。
已知∠OBF=30°，可得∠ABO = ∠ABF + ∠OBF = 90°+30°=120°。
因为AB//OE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠BOE = 180°−∠ABO = 180°−120°=60°。
又已知∠BOC = 50°，因此∠COE = ∠BOE + ∠BOC = 60°+50°=110°。
因为OE//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠OCD=∠COE=110°。
【答案】
110
【知识点】
平行线的性质；方向角；平行公理推论
【点评】
本题结合实际施工场景考查平行线性质的应用，解题的关键是正确添加辅助线构造平行线，将所求角与已知角通过平行线的性质建立关联，能有效考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确题意：最初的铺设方向AB和最终回到的方向CD互相平行，要求∠OCD的度数。遇到两条平行线间存在折线的问题，通常的解题思路是过折点作其中一条平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系。我们可以过点O作OE平行于AB，由平行公理的推论可得AB、OE、CD互相平行，再结合已知的南偏东30°的方向角和∠BOC=50°的条件，依次求出∠ABO、∠BOE、∠COE的度数，最后根据平行线的性质即可得到∠OCD的度数。
【解析】
如图，过点O作OE//AB。
由题意可知AB//CD，∠ABF=90°（BF为正北方向，AB为水平路线，二者互相垂直），因此AB // OE // CD。
已知∠OBF=30°，可得∠ABO = ∠ABF + ∠OBF = 90°+30°=120°。
因为AB//OE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠BOE = 180°−∠ABO = 180°−120°=60°。
又已知∠BOC = 50°，因此∠COE = ∠BOE + ∠BOC = 60°+50°=110°。
因为OE//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠OCD=∠COE=110°。
【答案】
110
【知识点】
平行线的性质；方向角；平行公理推论
【点评】
本题结合实际施工场景考查平行线性质的应用，解题的关键是正确添加辅助线构造平行线，将所求角与已知角通过平行线的性质建立关联，能有效考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
4[中]如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若$∠ 1=30°,∠ 2=50°$,则$∠ 3$的度数为
160°
.答案
4. 160°
添加辅助线
遇到平行线间的拐点时,通常过这个拐点作一条直线与已知两条平行线平行,然后利用平行线的性质进行角度的转换与计算.
【解析】如图所示,过∠2顶点作直线l//支撑平台,直线l将∠2分成∠4和∠5.
∵ 工作篮底部与支撑平台平行,直线l//支撑平台,
∴ 直线l//支撑平台//工作篮底部,
∴ ∠1=∠4=30°,∠5+∠3=180°.
∵ ∠4+∠5=∠2=50°,
∴ ∠5 = 50°−∠4 = 20°,
∴ ∠3 = 180°−∠5=160°,故答案为160°.
解析
【分析】
已知工作篮底部与支撑平台平行，待求∠3的度数，观察图形可知两条平行线之间存在对应∠2的拐点，解决这类问题的常规思路是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行公理的推论得到三条直线互相平行，再结合平行线的性质将已知的∠1、∠2与待求∠3建立联系，最后通过角度的和差运算即可求出∠3的度数。
【解析】
过∠2的顶点作直线$l //$支撑平台，直线$l$将$∠ 2$分成$∠ 4$和$∠ 5$，如图所示：
∵ 工作篮底部与支撑平台平行，直线$l //$支撑平台，
∴ 直线$l //$支撑平台$//$工作篮底部，
根据平行线的性质可得：$∠ 1=∠ 4=30°$（两直线平行，内错角相等），$∠ 5+∠ 3=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $∠ 4+∠ 5=∠ 2=50°$，
∴ $∠ 5 = 50° - ∠ 4 = 50° - 30° = 20°$，
∴ $∠ 3 = 180° - ∠ 5 = 180° - 20° = 160°$。
【答案】
$\boxed{160°}$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，解题核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线作法，通过作辅助线构造符合平行线性质的角的关系，实现角度的转化求解，属于平行线章节的常考题型，熟练掌握辅助线的作法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
已知工作篮底部与支撑平台平行，待求∠3的度数，观察图形可知两条平行线之间存在对应∠2的拐点，解决这类问题的常规思路是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行公理的推论得到三条直线互相平行，再结合平行线的性质将已知的∠1、∠2与待求∠3建立联系，最后通过角度的和差运算即可求出∠3的度数。
【解析】
过∠2的顶点作直线$l //$支撑平台，直线$l$将$∠ 2$分成$∠ 4$和$∠ 5$，如图所示：
∵ 工作篮底部与支撑平台平行，直线$l //$支撑平台，
∴ 直线$l //$支撑平台$//$工作篮底部，
根据平行线的性质可得：$∠ 1=∠ 4=30°$（两直线平行，内错角相等），$∠ 5+∠ 3=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $∠ 4+∠ 5=∠ 2=50°$，
∴ $∠ 5 = 50° - ∠ 4 = 50° - 30° = 20°$，
∴ $∠ 3 = 180° - ∠ 5 = 180° - 20° = 160°$。
【答案】
$\boxed{160°}$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，解题核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线作法，通过作辅助线构造符合平行线性质的角的关系，实现角度的转化求解，属于平行线章节的常考题型，熟练掌握辅助线的作法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
5[较难]如图,已知AM//BN,∠A=60°,点P是射线AM上一动点(不与点A重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数.
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB的度数之比是否随之发生变化?若不变,请求出这个比;若变化,请找出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时,求∠ABC的度数.
(1)求∠CBD的度数.
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB的度数之比是否随之发生变化?若不变,请求出这个比;若变化,请找出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时,求∠ABC的度数.
答案
5.【解】(1)
∵ AM//BN,
∴ ∠ABN+∠A=180°,
∴ ∠ABN = 180°−60° = 120°,
∴ ∠ABP + ∠PBN = 120°.
∵ BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,
∴ ∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,
∴ 2∠CBP+2∠DBP=120°,
∴ ∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°.
(2)不变.
∵ AM//BN,
∴ ∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
∵ BD平分∠PBN,
∴ ∠PBN=2∠DBN,
∴ ∠APB:∠ADB=2:1.
(3)
∵ AM//BN,
∴ ∠ACB=∠CBN.
当∠ACB=∠ABD时,有∠CBN=∠ABD,
∴ ∠CBD+∠DBN=∠ABC+∠CBD,
∴ ∠DBN=∠ABC.
由(1)知∠ABN=120°,∠CBD=60°,
∴ ∠ABC+∠DBN=60°,
∴ ∠ABC=30°.
∵ AM//BN,
∴ ∠ABN+∠A=180°,
∴ ∠ABN = 180°−60° = 120°,
∴ ∠ABP + ∠PBN = 120°.
∵ BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,
∴ ∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,
∴ 2∠CBP+2∠DBP=120°,
∴ ∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°.
(2)不变.
∵ AM//BN,
∴ ∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
∵ BD平分∠PBN,
∴ ∠PBN=2∠DBN,
∴ ∠APB:∠ADB=2:1.
(3)
∵ AM//BN,
∴ ∠ACB=∠CBN.
当∠ACB=∠ABD时,有∠CBN=∠ABD,
∴ ∠CBD+∠DBN=∠ABC+∠CBD,
∴ ∠DBN=∠ABC.
由(1)知∠ABN=120°,∠CBD=60°,
∴ ∠ABC+∠DBN=60°,
∴ ∠ABC=30°.
解析
【分析】
本题分三个小问，可逐步分析求解：
(1) 首先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知∠A的度数求出∠ABN的度数，再根据BC、BD分别是对应角的角平分线，将∠CBD转化为∠ABN的一半即可求解。
(2) 先依据平行线的内错角相等性质，得到∠APB与∠PBN相等、∠ADB与∠DBN相等，再结合BD平分∠PBN的条件，推导两个角的倍数关系即可判断比值是否变化。
(3) 首先由平行线性质得∠ACB=∠CBN，结合已知∠ACB=∠ABD进行等量代换，推导得出∠ABC与∠DBN相等，再结合第一问求出的∠ABN和∠CBD的度数，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
(1)
∵ AM//BN，
∴ ∠ABN+∠A=180°，
∴ ∠ABN = 180°−60° = 120°，即∠ABP + ∠PBN = 120°。
∵ BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
代入得2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴ ∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°。
(2) 比值不发生变化，求解如下：
∵ AM//BN，
∴ ∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN。
∵ BD平分∠PBN，
∴ ∠PBN=2∠DBN，
∴ ∠APB=2∠ADB，即∠APB:∠ADB=2:1。
(3)
∵ AM//BN，
∴ ∠ACB=∠CBN。
当∠ACB=∠ABD时，等量代换得∠CBN=∠ABD，
即∠CBD+∠DBN=∠ABC+∠CBD，
两边同时减去∠CBD，得∠DBN=∠ABC。
由(1)可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴ ∠ABC+∠DBN=∠ABN-∠CBD=60°，
代入∠DBN=∠ABC，得2∠ABC=60°，
∴ ∠ABC=30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CBD=60°}$；(2) 比值不变，$\boldsymbol{∠APB:∠ADB=2:1}$；(3) $\boldsymbol{∠ABC=30°}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质与角平分线定义的应用，解题的关键是熟练掌握平行线产生的角的数量关系，结合角平分线的性质进行等量代换推导角的关系，题目设置层层递进，掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题分三个小问，可逐步分析求解：
(1) 首先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知∠A的度数求出∠ABN的度数，再根据BC、BD分别是对应角的角平分线，将∠CBD转化为∠ABN的一半即可求解。
(2) 先依据平行线的内错角相等性质，得到∠APB与∠PBN相等、∠ADB与∠DBN相等，再结合BD平分∠PBN的条件，推导两个角的倍数关系即可判断比值是否变化。
(3) 首先由平行线性质得∠ACB=∠CBN，结合已知∠ACB=∠ABD进行等量代换，推导得出∠ABC与∠DBN相等，再结合第一问求出的∠ABN和∠CBD的度数，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
(1)
∵ AM//BN，
∴ ∠ABN+∠A=180°，
∴ ∠ABN = 180°−60° = 120°，即∠ABP + ∠PBN = 120°。
∵ BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
代入得2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴ ∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°。
(2) 比值不发生变化，求解如下：
∵ AM//BN，
∴ ∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN。
∵ BD平分∠PBN，
∴ ∠PBN=2∠DBN，
∴ ∠APB=2∠ADB，即∠APB:∠ADB=2:1。
(3)
∵ AM//BN，
∴ ∠ACB=∠CBN。
当∠ACB=∠ABD时，等量代换得∠CBN=∠ABD，
即∠CBD+∠DBN=∠ABC+∠CBD，
两边同时减去∠CBD，得∠DBN=∠ABC。
由(1)可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴ ∠ABC+∠DBN=∠ABN-∠CBD=60°，
代入∠DBN=∠ABC，得2∠ABC=60°，
∴ ∠ABC=30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CBD=60°}$；(2) 比值不变，$\boldsymbol{∠APB:∠ADB=2:1}$；(3) $\boldsymbol{∠ABC=30°}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质与角平分线定义的应用，解题的关键是熟练掌握平行线产生的角的数量关系，结合角平分线的性质进行等量代换推导角的关系，题目设置层层递进，掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
6 核心素养几何直观[较难](1)如图(1),E点在BC上,∠A=∠D,∠ACB+∠BED=180°.求证:AB//CD.
(2)如图(2),AB//CD,BG平分∠ABE,直线GB与∠EDF的平分线交于H点,若∠DEB比∠DHB大60°,求∠DEB的度数.
(3)如图(3),AB//CD,∠DEB的度数与(2)中求出的相同,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP//DN,求∠PBM的度数.
(2)如图(2),AB//CD,BG平分∠ABE,直线GB与∠EDF的平分线交于H点,若∠DEB比∠DHB大60°,求∠DEB的度数.
(3)如图(3),AB//CD,∠DEB的度数与(2)中求出的相同,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP//DN,求∠PBM的度数.
答案
6.(1)【证明】如图(1),延长DE交AB于点F.
∵ ∠ACB + ∠BED = 180°, ∠CED + ∠BED = 180°,
∴ ∠ACB = ∠CED,
∴ AC//DF,
∴ ∠A = ∠DFB.
∵ ∠A = ∠D,
∴ ∠DFB = ∠D,
∴ AB//CD.
【解】(2)如图(2),作EM//CD, HN//CD.
∵ AB//CD,
∴ AB // EM // HN // CD,
∴ ∠1 + ∠EDF = 180°, ∠MEB = ∠ABE.
∵ BG平分∠ABE,
∴ ∠ABG= $\frac{1}{2}$∠ABE.
∵ AB // HN,
∴ ∠2=∠ABG.
∵ CF//HN,
∴ ∠2+∠β=∠3,
∴ $\frac{1}{2}$∠ABE+∠β = ∠3.
∵ DH平分∠EDF,
∴ ∠3=$\frac{1}{2}$∠EDF,
∴ $\frac{1}{2}$∠ABE+∠β = $\frac{1}{2}$∠EDF,
∴ ∠β = $\frac{1}{2}$(∠EDF − ∠ABE),
∴ ∠EDF − ∠ABE=2∠β. 设∠DEB=∠α,
∴ ∠α=∠1+∠MEB = 180°−∠EDF + ∠ABE = 180°−(∠EDF−∠ABE)=180°−2∠β.
∵ ∠DEB比∠DHB大60°,
∴ ∠α−60°=∠β,
∴ ∠α=180°−2(∠α−60°),解得∠α=100°,
∴ ∠DEB的度数为100°.
(3)如图(3),过点E作ES//CD,设直线CD和射线BP相交于点G.
∵ BM平分∠EBK, DN平分∠CDE,
∴ ∠EBM = ∠MBK=$\frac{1}{2}$∠EBK, ∠CDN=∠EDN=$\frac{1}{2}$∠CDE.
∵ ES//CD,AB//CD,
∴ ES//AB//CD,
∴ ∠DES=∠CDE, ∠BES = 180°−∠EBK, ∠G = ∠PBK.
由(2)可知∠DEB = 100°,
∴ ∠CDE + 180°−∠EBK=100°,
∴ ∠EBK−∠CDE=80°.
∵ BP//DN,
∴ ∠CDN=∠G,
∴ ∠PBK = ∠G = ∠CDN = $\frac{1}{2}$∠CDE,
∴ ∠PBM = ∠MBK − ∠PBK = $\frac{1}{2}$∠EBK−$\frac{1}{2}$∠CDE = $\frac{1}{2}$(∠EBK − ∠CDE)=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
思路分析
(1)如图(1),延长DE交AB于点F.根据∠ACB + ∠BED=180°,∠CED+∠BED=180°,可得∠ACB=∠CED,所以AC//DF,可得∠A = ∠DFB. 由∠A = ∠D,进而可得结论.
(2)如图(2),作EM // CD, HN//CD. 根据AB//CD,可得AB // EM // HN//CD,根据平行线的性质得角之间的关系,再根据∠DEB比∠DHB大60°列出等式,即可求∠DEB的度数.
(3)如图(3),过点E作ES//CD,设直线CD和射线BP相交于点G. 根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数.
解析
【分析】
(1) 要证AB//CD，可通过构造辅助线转化角的关系：延长DE交AB于点F，先利用同角的补角相等得到∠ACB=∠CED，推出AC//DF，进而得到∠A=∠DFB，再结合已知∠A=∠D，得到内错角∠DFB=∠D，即可证明AB//CD。
(2) 求∠DEB的度数，可作平行线构造三线八角模型：过E作EM//CD、过H作HN//CD，结合AB//CD得四条直线互相平行，利用平行线性质得到角的关系，再结合角平分线定义，将∠DHB和∠DEB用∠EDF、∠ABE表示，最后根据“∠DEB比∠DHB大60°”列方程求解即可。
(3) 求∠PBM的度数，可过E作ES//CD，结合AB//CD得ES//AB//CD，利用平行线性质得到∠CDE和∠EBK的数量关系，再结合角平分线定义、BP//DN的性质，将∠PBM转化为∠EBK和∠CDE差的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，延长DE交AB于点F。
∵ ∠ACB + ∠BED = 180°，∠CED + ∠BED = 180°，
∴ ∠ACB = ∠CED，
∴ AC//DF，
∴ ∠A = ∠DFB。
∵ ∠A = ∠D，
∴ ∠DFB = ∠D，
∴ AB//CD。
(2) 解：如图(2)，作EM//CD，HN//CD。
∵ AB//CD，
∴ AB // EM // HN // CD，
∴ ∠1 + ∠EDF = 180°，∠MEB = ∠ABE。
∵ BG平分∠ABE，
∴ ∠ABG= $\frac{1}{2}$∠ABE。
∵ AB // HN，
∴ ∠2=∠ABG。
∵ CF//HN，
∴ ∠2+∠β=∠3，
∴ $\frac{1}{2}$∠ABE+∠β = ∠3。
∵ DH平分∠EDF，
∴ ∠3=$\frac{1}{2}$∠EDF，
∴ $\frac{1}{2}$∠ABE+∠β = $\frac{1}{2}$∠EDF，
∴ ∠β = $\frac{1}{2}$(∠EDF − ∠ABE)，即∠EDF − ∠ABE=2∠β。
设∠DEB=∠α，
∴ ∠α=∠1+∠MEB = 180°−∠EDF + ∠ABE = 180°−(∠EDF−∠ABE)=180°−2∠β。
∵ ∠DEB比∠DHB大60°，
∴ ∠α−60°=∠β，
代入得∠α=180°−2(∠α−60°)，解得∠α=100°。
(3) 解：如图(3)，过点E作ES//CD，设直线CD和射线BP相交于点G。
∵ BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴ ∠EBM = ∠MBK=$\frac{1}{2}$∠EBK，∠CDN=∠EDN=$\frac{1}{2}$∠CDE。
∵ ES//CD，AB//CD，
∴ ES//AB//CD，
∴ ∠DES=∠CDE，∠BES = 180°−∠EBK，∠G = ∠PBK。
由(2)可知∠DEB = 100°，
∴ ∠CDE + 180°−∠EBK=100°，
整理得∠EBK−∠CDE=80°。
∵ BP//DN，
∴ ∠CDN=∠G，
∴ ∠PBK = ∠G = ∠CDN = $\frac{1}{2}$∠CDE，
∴ ∠PBM = ∠MBK − ∠PBK = $\frac{1}{2}$∠EBK−$\frac{1}{2}$∠CDE = $\frac{1}{2}$(∠EBK − ∠CDE)=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
【答案】
(1) AB//CD，证明成立；
(2) $\boldsymbol{100°}$；
(3) $\boldsymbol{40°}$。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线相关性质与判定的综合应用题，作辅助线构造平行线实现角的转化是解题的突破口，结合角平分线定义和方程思想求解，对几何逻辑推理能力有一定要求，能够有效考查几何直观核心素养。
【难度系数】
0.3
(1) 要证AB//CD，可通过构造辅助线转化角的关系：延长DE交AB于点F，先利用同角的补角相等得到∠ACB=∠CED，推出AC//DF，进而得到∠A=∠DFB，再结合已知∠A=∠D，得到内错角∠DFB=∠D，即可证明AB//CD。
(2) 求∠DEB的度数，可作平行线构造三线八角模型：过E作EM//CD、过H作HN//CD，结合AB//CD得四条直线互相平行，利用平行线性质得到角的关系，再结合角平分线定义，将∠DHB和∠DEB用∠EDF、∠ABE表示，最后根据“∠DEB比∠DHB大60°”列方程求解即可。
(3) 求∠PBM的度数，可过E作ES//CD，结合AB//CD得ES//AB//CD，利用平行线性质得到∠CDE和∠EBK的数量关系，再结合角平分线定义、BP//DN的性质，将∠PBM转化为∠EBK和∠CDE差的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，延长DE交AB于点F。
∵ ∠ACB + ∠BED = 180°，∠CED + ∠BED = 180°，
∴ ∠ACB = ∠CED，
∴ AC//DF，
∴ ∠A = ∠DFB。
∵ ∠A = ∠D，
∴ ∠DFB = ∠D，
∴ AB//CD。
(2) 解：如图(2)，作EM//CD，HN//CD。
∵ AB//CD，
∴ AB // EM // HN // CD，
∴ ∠1 + ∠EDF = 180°，∠MEB = ∠ABE。
∵ BG平分∠ABE，
∴ ∠ABG= $\frac{1}{2}$∠ABE。
∵ AB // HN，
∴ ∠2=∠ABG。
∵ CF//HN，
∴ ∠2+∠β=∠3，
∴ $\frac{1}{2}$∠ABE+∠β = ∠3。
∵ DH平分∠EDF，
∴ ∠3=$\frac{1}{2}$∠EDF，
∴ $\frac{1}{2}$∠ABE+∠β = $\frac{1}{2}$∠EDF，
∴ ∠β = $\frac{1}{2}$(∠EDF − ∠ABE)，即∠EDF − ∠ABE=2∠β。
设∠DEB=∠α，
∴ ∠α=∠1+∠MEB = 180°−∠EDF + ∠ABE = 180°−(∠EDF−∠ABE)=180°−2∠β。
∵ ∠DEB比∠DHB大60°，
∴ ∠α−60°=∠β，
代入得∠α=180°−2(∠α−60°)，解得∠α=100°。
(3) 解：如图(3)，过点E作ES//CD，设直线CD和射线BP相交于点G。
∵ BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴ ∠EBM = ∠MBK=$\frac{1}{2}$∠EBK，∠CDN=∠EDN=$\frac{1}{2}$∠CDE。
∵ ES//CD，AB//CD，
∴ ES//AB//CD，
∴ ∠DES=∠CDE，∠BES = 180°−∠EBK，∠G = ∠PBK。
由(2)可知∠DEB = 100°，
∴ ∠CDE + 180°−∠EBK=100°，
整理得∠EBK−∠CDE=80°。
∵ BP//DN，
∴ ∠CDN=∠G，
∴ ∠PBK = ∠G = ∠CDN = $\frac{1}{2}$∠CDE，
∴ ∠PBM = ∠MBK − ∠PBK = $\frac{1}{2}$∠EBK−$\frac{1}{2}$∠CDE = $\frac{1}{2}$(∠EBK − ∠CDE)=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
【答案】
(1) AB//CD，证明成立；
(2) $\boldsymbol{100°}$；
(3) $\boldsymbol{40°}$。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线相关性质与判定的综合应用题，作辅助线构造平行线实现角的转化是解题的突破口，结合角平分线定义和方程思想求解，对几何逻辑推理能力有一定要求，能够有效考查几何直观核心素养。
【难度系数】
0.3
