18.(真题·绍兴上虞)如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F。
(1)求证:△BCE≌△DCF。
(2)若BE=3,CF=4,求BC的长。

18.(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以BC=CD,∠B=∠D。因为CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,所以∠BEC=∠DFC=90°,在△BCE与△DCF中,$\begin{cases}∠BEC=∠DFC=90°,\\∠B=∠D,\\BC=DC,\end{cases}$所以△BCE≌△DCF(AAS)。
(2)因为△BCE≌△DCF,所以CE=CF=4,因为∠BEC=90°,BE=3,所以BC=$\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

19.(真题·绍兴新昌)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(不与点B,D重合),过点G作GE//BC,GF//DC,分别交DC,BC于点E,F。
(1)求证:四边形GECF是矩形。
(2)若AB=7,CF=3,求AG的长。

19.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以∠C=90°,因为GE//BC,GF//CD,所以四边形GECF是平行四边形,所以□GECF是矩形。
(2)如图,连结GC,在正方形ABCD中,AD=CD=AB=7,∠ADG=∠CDG=45°,在△AGD和△CGD中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠ADG=∠CDG=45°,\\DG=DG,\end{cases}$所以△AGD≌△CGD(SAS),所以AG=CG,因为四边形GECF是矩形,CF=3,所以GE=CF=3,∠GEC=∠GED=90°,因为∠CDG=45°,所以△GED是等腰直角三角形,所以DE=GE=3,所以CE=CD-DE=7-3=4,在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG=$\sqrt{GE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以AG=CG=5。