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1.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，那么AB的长为（
A.$\frac{1}{\cos A}$
B.$\cos A$
C.$\frac{1}{\sin A}$
D.$\sin A$
C
）A.$\frac{1}{\cos A}$
B.$\cos A$
C.$\frac{1}{\sin A}$
D.$\sin A$
答案
C
2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=12$,$BC=5$,$CD⊥ AB$于点$D$,那么$\sin∠ BCD$的值是（
A.$\frac{5}{12}$
B.$\frac{5}{13}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{12}{5}$
B
）A.$\frac{5}{12}$
B.$\frac{5}{13}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because ∠ ACB=90°,AC=12,BC=5, \therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=13.$
$\because ∠ ACB=90°, CD ⊥ AB, \therefore ∠ BCD+∠ B=90°, ∠ A+∠ B=90°, \therefore ∠ A=∠ BCD,$
$\therefore \sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}.$
$\because ∠ ACB=90°, CD ⊥ AB, \therefore ∠ BCD+∠ B=90°, ∠ A+∠ B=90°, \therefore ∠ A=∠ BCD,$
$\therefore \sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}.$
3.在$△ ABC$中，若角$A$，$B$满足$\left| \cos A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$，则$∠ C$的度数是（
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
D
）A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
答案
D
4.已知 $\sin α ＜ 0.5$，那么锐角α的取值范围是（
A.$60° ＜ α ＜ 90°$
B.$30° ＜ α ＜ 90°$
C.$0° ＜ α ＜ 60°$
D.$0° ＜ α ＜ 30°$
D
）A.$60° ＜ α ＜ 90°$
B.$30° ＜ α ＜ 90°$
C.$0° ＜ α ＜ 60°$
D.$0° ＜ α ＜ 30°$
答案
D
5.计算$6\tan 45° - 2\cos 60°$的结果是（
A.4
B.−4
C.5
D.−5
C
）A.4
B.−4
C.5
D.−5
答案
C
6.在 $Rt△ ABC$ 中，已知$∠ C=90°$，$AC=2BC$，现给出下列结论：①$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$；②$\cos B=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；③$\tan A=2$；④$\sin B=\frac{1}{2}$。其中正确的结论有（
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
D
）A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,已知 $∠ C=90°, AC=2BC$,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}BC.$
①$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ne\frac{\sqrt{3}}{2}$,故①错误;
②$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ne\frac{2\sqrt{5}}{5}$,故②错误;
③$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}\ne2$,故③错误;
④$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2BC}{\sqrt{5}BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\ne\frac{1}{2}$,故④错误.
①$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ne\frac{\sqrt{3}}{2}$,故①错误;
②$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ne\frac{2\sqrt{5}}{5}$,故②错误;
③$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}\ne2$,故③错误;
④$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2BC}{\sqrt{5}BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\ne\frac{1}{2}$,故④错误.
7.如图,正方体的棱长为3,点M,N分别在CD,HE上,$CM=\frac{1}{2}DM$,$HN=2NE$,HC与NM的延长线交于点P,则$\tan∠ NPH$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
$\because$ 正方体的棱长为 3, $\therefore CM=\frac{1}{2}DM=1, HN=2NE=2.$
又 $\because CM// HN, \therefore △ PCM ∽ △ PHN, \therefore \frac{PC}{PH}=\frac{MC}{NH}=\frac{1}{2}, PC=\frac{1}{2}(PC+CH),$
解得 $PC=3, PH=6, \therefore \tan∠ NPH=\frac{NH}{PH}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$
8.若三角形三边的比是25:24:7，则最小角的正切值为
$\frac{7}{24}$
.答案
$\frac{7}{24}$
9. 在$△ ABC$中，$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\tan B = 1$，则$∠ C =$
$105°$
答案
$105°$
10.在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{15}$，$BC=3\sqrt{5}$，则$\cos A=$
$\frac{1}{2}$
答案
$\frac{1}{2}$
11.已知α为锐角，$\frac{\sqrt{3}}{3} ＜ \tanα ≤ \sqrt{3}$，则α的取值范围是
$30°＜α\le60°$
。答案
$\because \tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}, \tan 60°=\sqrt{3}$,又$\because α$ 为锐角,正切值随角度的增大而增大,$\therefore 30°＜α\le60°.$
12.计算：
(1)$2\sin 30° - 3\cos 60°$；
(2)$\sin^2 45° + \cos^2 30° - \tan^2 60°$。
(1)$2\sin 30° - 3\cos 60°$；
(2)$\sin^2 45° + \cos^2 30° - \tan^2 60°$。
答案
(1)原式$=2×\frac{1}{2}-3×\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.$
(2)原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\sqrt{3})^2=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-3=-\frac{7}{4}.$
(2)原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\sqrt{3})^2=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-3=-\frac{7}{4}.$
