1.如图,在$△ ABC$中,点D为AC边上一点,$DE⊥ BC$于点E.若$AD=2DC$,$AB=4DE$,则$\sin B$的值为 ()

A.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
D.$\frac{3}{4}$

过点 A 作 $AH ⊥ BC$ 于点 H.$\because DE ⊥ BC$ 于点 E,$\therefore AH// DE$,
$\therefore △ CED ∽ △ CHA, \therefore \frac{DE}{AH}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{3}, \therefore AH=3DE.$
$\because \sin B=\frac{AH}{AB},AB=4DE, \therefore \frac{AH}{AB}=\frac{3DE}{4DE}=\frac{3}{4}, \therefore \sin B$ 的值为 $\frac{3}{4}.$

2.如图，$△ ABC$ 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则 $\sin∠ ACB$ 的值为 .

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

3.如图,点P在等边三角形ABC的内部,且$PC=6$,$PA=8$,$PB=10$,将线段PC绕点C顺时针旋转$60°$得到$P'C$,连接$AP'$,则$\sin∠ PAP'$的值为.

连接 $PP'.\because$ 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 $60°$ 得到 $P'C, \therefore CP=CP'=6, ∠ PCP'=60°, \therefore △ CPP'$ 为等边三角形, $\therefore PP'=PC=6.$
$\because △ ABC$ 为等边三角形, $\therefore CB=CA, ∠ ACB=60°, \therefore ∠ PCB=∠ P'CA.$
在 $△ PCB$ 和 $△ P'CA$ 中,
$\begin{cases} PC=P'C, \\ ∠ PCB=∠ P'CA, \\ CB=CA, \end{cases}$
$\therefore △ PCB ≌ △ P'CA (\mathrm{SAS}), \therefore PB=P'A=10.$
$\because PP'^2+AP^2=6^2+8^2=10^2=P'A^2, \therefore △ APP'$ 为直角三角形, $∠ APP'=90°,$
$\therefore \sin∠ PAP'=\frac{PP'}{P'A}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

4.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，若$BD:AD = 1:4$，则$\tan∠ BCD$的值是（）

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$

C

5.已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{3}{5}$，则$\tan B$的值为。

$\frac{4}{3}$

6.如图,在$4×4$的正方形网格中,$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在边长为1的正方形的顶点上,则$∠ ACB$的正切值为（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.3

B

7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,则$\cos∠ BCD$的值是________。

$\frac{4}{5}$

8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD是斜边AB的中线,过点A作$AE⊥ CD$,分别与CD,CB相交于点H,E,且$AH=2CH$.求$\cos B$的值.

解:$\because CD$ 是斜边 AB 的中线, $\therefore CD=AD=BD, \therefore ∠ DCB=∠ B.$
由题意得, $∠ ACD+∠ DCB=90°, ∠ ACD+∠ CAH=90°, \therefore ∠ DCB=∠ CAH, \therefore ∠ B=∠ CAH.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中, $AH=2CH, \therefore AC=\sqrt{5}CH, \therefore \cos B=\cos∠ CAH=\frac{AH}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

9.对于同一锐角$α$有$\sin^2 α + \cos^2 α =1$，现锐角A满足$\sin A + \cos A = \frac{5}{4}$.试求：
(1)$\sin A · \cos A$的值；
(2)$\sin A - \cos A$的值.

(1)$\because \sin A + \cos A = \frac{5}{4}, \therefore (\sin A + \cos A)^2 = \sin^2 A + \cos^2 A + 2\sin A · \cos A = \frac{25}{16},$
即 $1 + 2\sin A · \cos A = \frac{25}{16}, \therefore \sin A · \cos A = \frac{9}{32}.$
(2)$\because (\sin A - \cos A)^2 = \sin^2 A + \cos^2 A - 2\sin A · \cos A = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}, \therefore \sin A - \cos A = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}.$