13.如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.若$AB=12$,$CD=6$,$\tan A=\frac{3}{2}$,求$\sin B+\cos B$的值.

在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD=6, \tan A=\frac{3}{2}, \therefore AD=4, \therefore BD=AB-AD=8.$
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BC=\sqrt{8^2+6^2}=10, \therefore \sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{3}{5}, \cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{4}{5}, \therefore \sin B+\cos B=\frac{7}{5}.$

14.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E都在小正方形的顶点上,求$\tan∠ ADC$的值.

根据题意,可得 $AC=BC=\sqrt{5}, CD=CE=\sqrt{10}, AD=BE=5, \therefore △ ACD≌△ BCE, \therefore ∠ ADC=∠ BEC, \therefore \tan∠ ADC=\tan∠ BEC=\frac{1}{3}.$

15.将边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图所示放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E.
(1)求∠OCB的正弦值和余弦值；
(2)过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为α，试求tan α的值.

(1)$\because$ 正方形 ABCD 的边长为 2, $\therefore AB=CD=BC=2.$
又$\because$ 点 A 的横坐标为 1,即 $OA=1, \therefore OB=OA+AB=3,$
$\therefore OC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \therefore \sin∠ OCB=\frac{OB}{OC}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}, \cos∠ OCB=\frac{BC}{OC}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$
(2)过点 D 作 $DH ⊥ OC$ 于点 H.$\because AD// BC, \therefore △ OAE ∽ △ OBC, \therefore \frac{AE}{BC}=\frac{OA}{OB},$
即 $\frac{AE}{2}=\frac{1}{3}$, 解得 $AE=\frac{2}{3}$, 则 $DE=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, \therefore CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\frac{2\sqrt{13}}{3},$
$\therefore DH=\frac{CD· DE}{CE}=\frac{4\sqrt{13}}{13}.$
在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中, $OD=\sqrt{AD^2+AO^2}=\sqrt{5}, \therefore OH=\sqrt{OD^2-DH^2}=\frac{7\sqrt{13}}{13}, \therefore \tanα=\frac{DH}{OH}=\frac{4}{7}.$

16.[新考向·阅读理解试题]如图,在直角三角形中,由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论：

① $ \begin{array}{l}\sin A=\dfrac{a}{c}\\\cos B=\dfrac{a}{c}\end{array}\}⇒\sin A=\cos B$；
② $\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{c}·\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{b}=\tan A$；
③ $ \begin{array}{l}\tan A=\dfrac{a}{b}\\\tan B=\dfrac{b}{a}\end{array}\}⇒\tan A·\tan B=1$。
(1)已知$∠ A+∠ B=90°$,且$\sin A=\dfrac{1}{3}$,则$\cos B=\_\_\_\_\_\_$；
(2)已知$∠ A$为锐角,且$\tan A=4$,求$\dfrac{5\cos A+2\sin A}{3\cos A-\sin A}$的值；
(3)试求出$\tan 1°·\tan 2°·\tan 3°·\tan 4°·····\tan 86°·\tan 87°·\tan 88°·\tan 89°$的值。

(1)$\frac{1}{3}$
(2)$\frac{5\cos A+2\sin A}{3\cos A-\sin A}=\frac{\frac{5\cos A+2\sin A}{\cos A}}{\frac{3\cos A-\sin A}{\cos A}}=\frac{5+2\tan A}{3-\tan A}=\frac{5+2×4}{3-4}=-13.$
(3)原式$=(\tan 1°·\tan 89°)·(\tan 2°·\tan 88°)·(\tan 3°·\tan 87°)·(\tan 4°·\tan 86°)=1.$