登录
1 代数法 [2025 浙江杭州期中, 中]已知三点$(2,a),(-1,b),(3,c)$在抛物线$y=x^2+x+2$上,则$a,b,c$的大小关系是 (
A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.无法比较
A
)A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.无法比较
答案
1.A 【解析】$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上,$\therefore a=2^2+2+2=8$,$b=(-1)^2-1+2=2$,$c=3^2+3+2=14$,$\therefore c＞a＞b$. 故选A.
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点对应纵坐标a、b、c的大小，由于三个点均在已知解析式的抛物线上，点的坐标满足抛物线的函数关系式，我们可以直接将每个点的横坐标代入解析式，分别求出a、b、c的具体数值，再对三个数值进行大小比较，即可得出结果。
【解析】
$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上，
$\therefore$ 将各点横坐标代入解析式计算得：
$a=2^2+2+2=4+2+2=8$，
$b=(-1)^2+(-1)+2=1-1+2=2$，
$c=3^2+3+2=9+3+2=14$，
$\because 14＞8＞2$，
$\therefore c＞a＞b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既可以通过直接代入横坐标求函数值比较大小，也可以结合抛物线开口方向、对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小，解题方法灵活，核心考查对二次函数基本性质的掌握。
【难度系数】
0.7
要比较抛物线上三个点对应纵坐标a、b、c的大小，由于三个点均在已知解析式的抛物线上，点的坐标满足抛物线的函数关系式，我们可以直接将每个点的横坐标代入解析式，分别求出a、b、c的具体数值，再对三个数值进行大小比较，即可得出结果。
【解析】
$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上，
$\therefore$ 将各点横坐标代入解析式计算得：
$a=2^2+2+2=4+2+2=8$，
$b=(-1)^2+(-1)+2=1-1+2=2$，
$c=3^2+3+2=9+3+2=14$，
$\because 14＞8＞2$，
$\therefore c＞a＞b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既可以通过直接代入横坐标求函数值比较大小，也可以结合抛物线开口方向、对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小，解题方法灵活，核心考查对二次函数基本性质的掌握。
【难度系数】
0.7
2 对称法 [2025 吉林长春校级期中,中]已知点$P_1(-3,y_1)$,$P_2(1,y_2)$,$P_3(3,y_3)$均在二次函数$y=-x^2+4x-c$的图象上,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系为 (
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3=y_2$
D
)A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3=y_2$
答案
2.D 【解析】二次函数$y=-x^2+4x-c$图象的对称轴为直线$x=2$,则点$P_3(3,y_3)$关于直线$x=2$的对称点为$(1,y_3)$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+4x-c$开口向下,$\therefore$ 当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大. $\because -3＜1=1$,$\therefore y_1＜y_3=y_2$. 故选D.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，可按以下思路思考：第一步，先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出该函数的对称轴；第二步，根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，明确函数的增减性规律；第三步，要么利用对称性把点转化到对称轴同侧，通过增减性比较函数值，要么计算各点到对称轴的距离，开口向下时，点离对称轴越近对应的函数值越大，最终得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4x-c$，其中$a=-1$，$b=4$，根据对称轴公式可得图象的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，抛物线上到对称轴距离相等的点对应的函数值相等，且在对称轴左侧（$x＜2$时），$y$随$x$的增大而增大。
点$P_2(1,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|1-2|=1$，点$P_3(3,y_3)$到对称轴$x=2$的距离为$|3-2|=1$，二者距离相等，因此$y_2=y_3$。
点$P_1(-3,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|-3-2|=5＞1$，因为开口向下时离对称轴越远函数值越小，因此$y_1＜y_2=y_3$，即$y_1＜y_3=y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，无需代入计算函数值，只需结合对称轴、开口方向和对称性即可快速比较大小，掌握该方法能大幅提升同类题的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，可按以下思路思考：第一步，先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出该函数的对称轴；第二步，根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，明确函数的增减性规律；第三步，要么利用对称性把点转化到对称轴同侧，通过增减性比较函数值，要么计算各点到对称轴的距离，开口向下时，点离对称轴越近对应的函数值越大，最终得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4x-c$，其中$a=-1$，$b=4$，根据对称轴公式可得图象的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，抛物线上到对称轴距离相等的点对应的函数值相等，且在对称轴左侧（$x＜2$时），$y$随$x$的增大而增大。
点$P_2(1,y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|1-2|=1$，点$P_3(3,y_3)$到对称轴$x=2$的距离为$|3-2|=1$，二者距离相等，因此$y_2=y_3$。
点$P_1(-3,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|-3-2|=5＞1$，因为开口向下时离对称轴越远函数值越小，因此$y_1＜y_2=y_3$，即$y_1＜y_3=y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，无需代入计算函数值，只需结合对称轴、开口方向和对称性即可快速比较大小，掌握该方法能大幅提升同类题的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
3 距离法 [2025福建漳州期末,较难]已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$都在二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的图象上,若$-1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$,则下列关于$y_1,y_2,y_3$三者的大小关系的判断,一定正确的是(
A.$y_1$可能最大,不可能最小
B.$y_3$可能最大,也可能最小
C.$y_3$可能最大,不可能最小
D.$y_2$不可能最大,可能最小
B
)A.$y_1$可能最大,不可能最小
B.$y_3$可能最大,也可能最小
C.$y_3$可能最大,不可能最小
D.$y_2$不可能最大,可能最小
答案
3.B 【解析】$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$. $\because -1＜x_1＜0$,$1＜x_2＜2$,$x_3＞3$,$\therefore |x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|$,$\therefore$ 点$(x_3,y_3)$到对称轴的距离最大,点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离最小. 当$a＞0$时,抛物线开口向上,$\therefore y_3＞y_1＞y_2$;当$a＜0$时,抛物线开口向下,$\therefore y_3＜y_1＜y_2$. 综上,$y_2$和$y_3$可能最大,也可能最小,$y_1$不可能最大,也不可能最小. 故选B.
解析
【分析】
要判断三个点的函数值大小，需结合二次函数的对称轴、开口方向分析，解题思路如下：第一步，先根据二次函数解析式求出对称轴；第二步，计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离的大小关系；第三步，由于二次项系数a的正负不确定，分a＞0（开口向上，离对称轴越远函数值越大）和a＜0（开口向下，离对称轴越远函数值越小）两种情况，分别推导$y_1、y_2、y_3$的大小关系，最后结合选项判断即可。
【解析】
先求二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的对称轴：
根据对称轴公式，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
计算各点到对称轴$x=1$的距离：
已知$-1＜x_1＜0$，则$1＜|x_1-1|＜2$；
$1＜x_2＜2$，则$0＜|x_2-1|＜1$；
$x_3＞3$，则$|x_3-1|＞2$；
因此距离大小关系为：$\boldsymbol{|x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|}$，即点$(x_3,y_3)$到对称轴距离最大，点$(x_2,y_2)$到对称轴距离最小。
分情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，因此$y_3＞y_1＞y_2$，此时$y_3$最大，$y_2$最小；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小，因此$y_3＜y_1＜y_2$，此时$y_2$最大，$y_3$最小。
综上可得：$y_1$不可能最大，也不可能最小；$y_2、y_3$均可能最大，也可能最小。
逐一核对选项，只有B选项表述正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，对称轴计算，函数值比较
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，核心是掌握二次函数增减性与开口方向、点到对称轴距离的关系，解题时需注意二次项系数正负不确定时，要分类讨论开口方向，避免漏解出错。
【难度系数】
0.5
要判断三个点的函数值大小，需结合二次函数的对称轴、开口方向分析，解题思路如下：第一步，先根据二次函数解析式求出对称轴；第二步，计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离的大小关系；第三步，由于二次项系数a的正负不确定，分a＞0（开口向上，离对称轴越远函数值越大）和a＜0（开口向下，离对称轴越远函数值越小）两种情况，分别推导$y_1、y_2、y_3$的大小关系，最后结合选项判断即可。
【解析】
先求二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的对称轴：
根据对称轴公式，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
计算各点到对称轴$x=1$的距离：
已知$-1＜x_1＜0$，则$1＜|x_1-1|＜2$；
$1＜x_2＜2$，则$0＜|x_2-1|＜1$；
$x_3＞3$，则$|x_3-1|＞2$；
因此距离大小关系为：$\boldsymbol{|x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|}$，即点$(x_3,y_3)$到对称轴距离最大，点$(x_2,y_2)$到对称轴距离最小。
分情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，因此$y_3＞y_1＞y_2$，此时$y_3$最大，$y_2$最小；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小，因此$y_3＜y_1＜y_2$，此时$y_2$最大，$y_3$最小。
综上可得：$y_1$不可能最大，也不可能最小；$y_2、y_3$均可能最大，也可能最小。
逐一核对选项，只有B选项表述正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，对称轴计算，函数值比较
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，核心是掌握二次函数增减性与开口方向、点到对称轴距离的关系，解题时需注意二次项系数正负不确定时，要分类讨论开口方向，避免漏解出错。
【难度系数】
0.5
4 中点法 [2025北京东城区调研,中]在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上任意两点，设抛物线的对称轴为直线$x=t$。
(1)若对于$x_1=3,x_2=4$，有$y_1=y_2$，求$t$的值；
(2)若对于$2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，都有$y_1＜y_2$，求$t$的取值范围。
(1)若对于$x_1=3,x_2=4$，有$y_1=y_2$，求$t$的值；
(2)若对于$2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，都有$y_1＜y_2$，求$t$的取值范围。
答案
4.【解】(1)$\because$ 对于$x_1=3$,$x_2=4$有$y_1=y_2$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{7}{2}$. $\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=t$,$\therefore t=\frac{7}{2}$.
(2)$\because 2＜x_1＜3$,$3＜x_2＜4$,$\therefore \frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$,$x_1＜x_2$. 又$\because y_1＜y_2$,$a＞0$,$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$到对称轴的距离更小,则点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$的中点在对称轴的右侧,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＞t$,即$t≤\frac{5}{2}$.
(2)$\because 2＜x_1＜3$,$3＜x_2＜4$,$\therefore \frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$,$x_1＜x_2$. 又$\because y_1＜y_2$,$a＞0$,$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$到对称轴的距离更小,则点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$的中点在对称轴的右侧,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＞t$,即$t≤\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，代入已知的横坐标即可直接求出对称轴对应的t值。
(2) 解题思路：已知a＞0，抛物线开口向上，此时点离对称轴越远，对应的函数值越大。由y₁＜y₂可得点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，结合x₁＜x₂可推导出两点横坐标的平均值大于对称轴t；再根据x₁、x₂的取值范围求出横坐标平均值的范围，要使不等式对所有符合条件的x₁、x₂恒成立，t需小于等于横坐标平均值的最小值，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 对于$x_1=3$，$x_2=4$有$y_1=y_2$，
∴ M、N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$，
又
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=t$，
∴ $t=\frac{7}{2}$。
(2)
∵ $2＜x_1＜3$，$3＜x_2＜4$，
∴ 两式相加得$5＜x_1+x_2＜7$，即$\frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$，且$x_1＜x_2$，
∵ $a＞0$，抛物线开口向上，且$y_1＜y_2$，
∴ 点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，即$|x_1 - t| ＜ |x_2 - t|$，
结合$x_2＞x_1$去绝对值化简可得$\frac{x_1+x_2}{2} ＞ t$，
要使该式对所有满足条件的$x_1$、$x_2$恒成立，$t$需小于等于$\frac{x_1+x_2}{2}$的最小值，
∵ $\frac{x_1+x_2}{2}＞\frac{5}{2}$，
∴ $t≤\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=\frac{7}{2}}$；(2) $\boldsymbol{t≤\frac{5}{2}}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；不等式恒成立
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，第一问是对称性的基础直接应用，第二问需要结合开口方向、点到对称轴距离和函数值的关系推导参数范围，解题时要注意端点值的取舍，能有效锻炼数形结合思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，代入已知的横坐标即可直接求出对称轴对应的t值。
(2) 解题思路：已知a＞0，抛物线开口向上，此时点离对称轴越远，对应的函数值越大。由y₁＜y₂可得点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，结合x₁＜x₂可推导出两点横坐标的平均值大于对称轴t；再根据x₁、x₂的取值范围求出横坐标平均值的范围，要使不等式对所有符合条件的x₁、x₂恒成立，t需小于等于横坐标平均值的最小值，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 对于$x_1=3$，$x_2=4$有$y_1=y_2$，
∴ M、N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$，
又
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=t$，
∴ $t=\frac{7}{2}$。
(2)
∵ $2＜x_1＜3$，$3＜x_2＜4$，
∴ 两式相加得$5＜x_1+x_2＜7$，即$\frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}$，且$x_1＜x_2$，
∵ $a＞0$，抛物线开口向上，且$y_1＜y_2$，
∴ 点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，即$|x_1 - t| ＜ |x_2 - t|$，
结合$x_2＞x_1$去绝对值化简可得$\frac{x_1+x_2}{2} ＞ t$，
要使该式对所有满足条件的$x_1$、$x_2$恒成立，$t$需小于等于$\frac{x_1+x_2}{2}$的最小值，
∵ $\frac{x_1+x_2}{2}＞\frac{5}{2}$，
∴ $t≤\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=\frac{7}{2}}$；(2) $\boldsymbol{t≤\frac{5}{2}}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；不等式恒成立
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，第一问是对称性的基础直接应用，第二问需要结合开口方向、点到对称轴距离和函数值的关系推导参数范围，解题时要注意端点值的取舍，能有效锻炼数形结合思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1 定轴定范围 [2025陕西西安质检，中]在下列取值范围内求二次函数$y=x^2+2x-3$的最值.
(1)全体实数.
(2)$-4≤ x≤ -2$.
(3)$-3≤ x≤ 0$.
(4)$1≤ x≤ 3$.
(1)全体实数.
(2)$-4≤ x≤ -2$.
(3)$-3≤ x≤ 0$.
(4)$1≤ x≤ 3$.
答案
1.【解】$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,抛物线对称轴为直线$x=-1$. 当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小.
(1)在全体实数范围内,当$x=-1$时,函数有最小值-4,没有最大值.
(2)在$-4≤ x≤-2$的范围内,当$x=-2$时,函数有最小值-3;当$x=-4$时,函数有最大值5.
(3)在$-3≤ x≤0$的范围内,当$x=-1$时,函数有最小值-4;当$x=-3$时,函数有最大值0.
(4)在$1≤ x≤3$的范围内,当$x=1$时,函数有最小值0;当$x=3$时,函数有最大值12.
(1)在全体实数范围内,当$x=-1$时,函数有最小值-4,没有最大值.
(2)在$-4≤ x≤-2$的范围内,当$x=-2$时,函数有最小值-3;当$x=-4$时,函数有最大值5.
(3)在$-3≤ x≤0$的范围内,当$x=-1$时,函数有最小值-4;当$x=-3$时,函数有最大值0.
(4)在$1≤ x≤3$的范围内,当$x=1$时,函数有最小值0;当$x=3$时,函数有最大值12.
解析
【分析】
解决二次函数指定区间求最值问题可按以下思路展开：第一步先将二次函数解析式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴，明确函数的增减规律；第二步判断给定取值区间和对称轴的位置关系：若区间包含对称轴，开口向上时顶点取最小值、开口向下时顶点取最大值，再比较区间两端点的函数值得到另一个最值；若区间完全在对称轴的一侧，直接根据函数增减性确定两端点对应的最值即可；第三步代入对应x值计算出最终最值。
【解析】
先对函数配方变形：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，可知该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$；增减规律为：当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1)全体实数范围：抛物线开口向上，顶点为整个图象的最低点，因此当$x=-1$时，函数取得最小值$-4$；因x可取全体实数，函数值可无限增大，故无最大值。
(2)区间$-4≤ x≤ -2$：该区间全部在对称轴$x=-1$左侧，区间内y随x增大而减小，因此x越大函数值越小，x越小函数值越大：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=-3$，为最小值；
当$x=-4$时，$y=(-4+1)^2-4=5$，为最大值。
(3)区间$-3≤ x≤ 0$：该区间包含对称轴$x=-1$，开口向上时顶点处取最小值：
当$x=-1$时，最小值为$-4$；
计算两端点函数值：$x=-3$时$y=(-3+1)^2-4=0$，$x=0$时$y=(0+1)^2-4=-3$，比较得最大值为0，对应$x=-3$。
(4)区间$1≤ x≤ 3$：该区间全部在对称轴$x=-1$右侧，区间内y随x增大而增大，因此x越小函数值越小，x越大函数值越大：
当$x=1$时，$y=(1+1)^2-4=0$，为最小值；
当$x=3$时，$y=(3+1)^2-4=12$，为最大值。
【答案】
(1)最小值为-4，无最大值；
(2)最小值为-3，最大值为5；
(3)最小值为-4，最大值为0；
(4)最小值为0，最大值为12。
【知识点】
二次函数配方，二次函数增减性，定区间最值求解
【点评】
本题重点考查二次函数不同区间的最值计算，解题核心是先明确函数的开口、对称轴，再结合区间和对称轴的位置关系，利用增减性判断最值点，需注意不可忽略区间限制直接将顶点值作为最值。
【难度系数】
0.65
解决二次函数指定区间求最值问题可按以下思路展开：第一步先将二次函数解析式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴，明确函数的增减规律；第二步判断给定取值区间和对称轴的位置关系：若区间包含对称轴，开口向上时顶点取最小值、开口向下时顶点取最大值，再比较区间两端点的函数值得到另一个最值；若区间完全在对称轴的一侧，直接根据函数增减性确定两端点对应的最值即可；第三步代入对应x值计算出最终最值。
【解析】
先对函数配方变形：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，可知该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$；增减规律为：当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1)全体实数范围：抛物线开口向上，顶点为整个图象的最低点，因此当$x=-1$时，函数取得最小值$-4$；因x可取全体实数，函数值可无限增大，故无最大值。
(2)区间$-4≤ x≤ -2$：该区间全部在对称轴$x=-1$左侧，区间内y随x增大而减小，因此x越大函数值越小，x越小函数值越大：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=-3$，为最小值；
当$x=-4$时，$y=(-4+1)^2-4=5$，为最大值。
(3)区间$-3≤ x≤ 0$：该区间包含对称轴$x=-1$，开口向上时顶点处取最小值：
当$x=-1$时，最小值为$-4$；
计算两端点函数值：$x=-3$时$y=(-3+1)^2-4=0$，$x=0$时$y=(0+1)^2-4=-3$，比较得最大值为0，对应$x=-3$。
(4)区间$1≤ x≤ 3$：该区间全部在对称轴$x=-1$右侧，区间内y随x增大而增大，因此x越小函数值越小，x越大函数值越大：
当$x=1$时，$y=(1+1)^2-4=0$，为最小值；
当$x=3$时，$y=(3+1)^2-4=12$，为最大值。
【答案】
(1)最小值为-4，无最大值；
(2)最小值为-3，最大值为5；
(3)最小值为-4，最大值为0；
(4)最小值为0，最大值为12。
【知识点】
二次函数配方，二次函数增减性，定区间最值求解
【点评】
本题重点考查二次函数不同区间的最值计算，解题核心是先明确函数的开口、对称轴，再结合区间和对称轴的位置关系，利用增减性判断最值点，需注意不可忽略区间限制直接将顶点值作为最值。
【难度系数】
0.65
2 定轴动范围 [2026安徽合肥校级质检,中]已知二次函数$y=x^2+2x+2$.
(1)当$-1≤x≤t$时,$y$有最大值4,求$t$的值;
(2)当$t≤x≤t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,求$t$的值.
(1)当$-1≤x≤t$时,$y$有最大值4,求$t$的值;
(2)当$t≤x≤t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,求$t$的值.
答案
2.【解】(1)$\because y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,1)$. $\because$ 当$-1≤ x≤ t$时,$y$有最大值4,$\therefore$ 当$x=t$时,$y$有最大值4,即$4=(t+1)^2+1$,解得$t=-1-\sqrt{3}$或$t=-1+\sqrt{3}$. 由题意得$t≥-1$,$\therefore t=-1+\sqrt{3}$.
(2)由(1)可知,抛物线$y=x^2+2x+2$开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,1)$. 又$\because$ 当$t≤ x≤ t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,$\therefore t+1＜-1$或$t＞-1$. 当$t+1＜-1$,即$t＜-2$时,$x=t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,$\therefore (t+1+1)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去)或$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 当$t＞-1$时,$x=t$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,$\therefore (t+1)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$或$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去). 综上,$t$的值为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)由(1)可知,抛物线$y=x^2+2x+2$开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,1)$. 又$\because$ 当$t≤ x≤ t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,$\therefore t+1＜-1$或$t＞-1$. 当$t+1＜-1$,即$t＜-2$时,$x=t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,$\therefore (t+1+1)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去)或$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 当$t＞-1$时,$x=t$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,$\therefore (t+1)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$或$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去). 综上,$t$的值为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
解决本题首先需要将二次函数解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，再结合限定区间与对称轴的位置关系分析最值的取值点：
(1) 第一问区间左端点为对称轴$x=-1$，抛物线开口向上，因此在$x≥-1$时$y$随$x$增大而增大，最大值一定在区间右端点$x=t$处，代入求解后结合$t≥-1$的范围舍去不符合的解即可；
(2) 第二问为动区间问题，已知最小值为$\frac{3}{2}$，大于顶点纵坐标1，说明对称轴不在区间内，因此分两种情况讨论：①区间整体在对称轴左侧，此时$y$随$x$增大而减小，最小值在区间右端点；②区间整体在对称轴右侧，此时$y$随$x$增大而增大，最小值在区间左端点，分别代入求解后结合区间范围舍去不符合的解。
【解析】
(1) 将二次函数化为顶点式：$y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$。
已知当$-1≤x≤t$时，$y$有最大值4，由于$x≥-1$时$y$随$x$的增大而增大，因此最大值在$x=t$处取得，代入得：
$4=(t+1)^2+1$，解方程得$t=-1-\sqrt{3}$或$t=-1+\sqrt{3}$。
结合区间要求$t≥-1$，舍去$t=-1-\sqrt{3}$，得$t=-1+\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点处$y$的最小值为1，已知区间$t≤x≤t+1$内$y$的最小值为$\frac{3}{2}＞1$，说明对称轴不在该区间内，即$t+1＜-1$或$t＞-1$：
① 当$t+1＜-1$，即$t＜-2$时，区间在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，最小值在$x=t+1$处取得，代入得：
$(t+1+1)^2+1=\frac{3}{2}$，解得$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$（不符合$t＜-2$，舍去）或$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
② 当$t＞-1$时，区间在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，最小值在$x=t$处取得，代入得：
$(t+1)^2+1=\frac{3}{2}$，解得$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$（不符合$t＞-1$，舍去）或$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，$t$的值为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=-1+\sqrt{3}}$
(2) $\boldsymbol{t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}}$或$\boldsymbol{t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
二次函数顶点式转化，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数限定区间的最值问题，核心是结合抛物线开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，求解后要注意结合区间的取值范围对解进行取舍，避免出现多解错误，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要将二次函数解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，再结合限定区间与对称轴的位置关系分析最值的取值点：
(1) 第一问区间左端点为对称轴$x=-1$，抛物线开口向上，因此在$x≥-1$时$y$随$x$增大而增大，最大值一定在区间右端点$x=t$处，代入求解后结合$t≥-1$的范围舍去不符合的解即可；
(2) 第二问为动区间问题，已知最小值为$\frac{3}{2}$，大于顶点纵坐标1，说明对称轴不在区间内，因此分两种情况讨论：①区间整体在对称轴左侧，此时$y$随$x$增大而减小，最小值在区间右端点；②区间整体在对称轴右侧，此时$y$随$x$增大而增大，最小值在区间左端点，分别代入求解后结合区间范围舍去不符合的解。
【解析】
(1) 将二次函数化为顶点式：$y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$。
已知当$-1≤x≤t$时，$y$有最大值4，由于$x≥-1$时$y$随$x$的增大而增大，因此最大值在$x=t$处取得，代入得：
$4=(t+1)^2+1$，解方程得$t=-1-\sqrt{3}$或$t=-1+\sqrt{3}$。
结合区间要求$t≥-1$，舍去$t=-1-\sqrt{3}$，得$t=-1+\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点处$y$的最小值为1，已知区间$t≤x≤t+1$内$y$的最小值为$\frac{3}{2}＞1$，说明对称轴不在该区间内，即$t+1＜-1$或$t＞-1$：
① 当$t+1＜-1$，即$t＜-2$时，区间在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，最小值在$x=t+1$处取得，代入得：
$(t+1+1)^2+1=\frac{3}{2}$，解得$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$（不符合$t＜-2$，舍去）或$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
② 当$t＞-1$时，区间在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，最小值在$x=t$处取得，代入得：
$(t+1)^2+1=\frac{3}{2}$，解得$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$（不符合$t＞-1$，舍去）或$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，$t$的值为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=-1+\sqrt{3}}$
(2) $\boldsymbol{t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}}$或$\boldsymbol{t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
二次函数顶点式转化，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数限定区间的最值问题，核心是结合抛物线开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，求解后要注意结合区间的取值范围对解进行取舍，避免出现多解错误，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
3 动轴定范围 [2025 江苏苏州期末,中]当$0≤ x≤3$时,二次函数$y=x^2+2ax$的最大值是$M$,最小值是$m$,若$M-m=4$,则$a$的值是
-1或-2
.答案
3.-1或-2 【解析】$y=x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=-a$,抛物线开口向上. ①若$-a≤0$,即$a≥0$,则当$x=0$时,$m=0$,当$x=3$时,$M=9+6a$. $\because M-m=4$,$\therefore 9+6a-0=4$,解得$a=-\frac{5}{6}$(舍去). ②若$0＜-a＜1.5$,即$-1.5＜a＜0$,则当$x=-a$时,$m=-a^2$,当$x=3$时,$M=9+6a$. $\because M-m=4$,$\therefore 9+6a+a^2=4$,解得$a=-1$或$a=-5$(舍去). ③若$-a=1.5$,即$a=-1.5$,则当$x=-a=1.5$时,$m=-2.25$,当$x=0$或$x=3$时,$M=0$,此时$M-m=0+2.25=2.25≠4$,不合题意. ④若$1.5＜-a＜3$,即$-3＜a＜-1.5$,则当$x=-a$时,$m=-a^2$,当$x=0$时,$M=0$. $\because M-m=4$,$\therefore 0-(-a^2)=4$,解得$a=-2$或$a=2$(舍去). ⑤若$-a≥3$,即$a≤-3$,则当$x=3$时,$m=9+6a$,当$x=0$时,$M=0$. $\because M-m=4$,$\therefore 0-(9+6a)=4$,解得$a=-\frac{13}{6}$(舍去). 综上可知,$a$的值是-1或-2,故答案为-1或-2.
解析
【分析】
首先将二次函数化为顶点式，确定抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-a$，本题属于动轴定区间求最值问题，需要根据对称轴与给定区间$[0,3]$的位置关系分情况讨论，分别求出每种情况下的最大值$M$和最小值$m$，代入$M-m=4$求解$a$，最后检验所得$a$是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
将二次函数解析式化为顶点式：$y=x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-a$。
① 若$-a≤0$，即$a≥0$：
函数在$0≤x≤3$上随$x$增大而增大，
$\therefore$ 当$x=0$时，$m=0$；当$x=3$时，$M=3^2+2a×3=9+6a$，
代入$M-m=4$得：$9+6a-0=4$，解得$a=-\frac{5}{6}$，与$a≥0$矛盾，舍去。
② 若$0＜-a＜1.5$，即$-1.5＜a＜0$：
函数在$x=-a$处取得最小值，在$x=3$处取得最大值，
$\therefore m=-a^2$，$M=9+6a$，
代入$M-m=4$得：$9+6a - (-a^2)=4$，整理得$a^2+6a+5=0$，
解得$a=-1$或$a=-5$，其中$a=-5$不符合$-1.5＜a＜0$，舍去，故$a=-1$。
③ 若$-a=1.5$，即$a=-1.5$：
函数在$x=1.5$处取得最小值$m=-a^2=-2.25$，在$x=0$和$x=3$处取得最大值$M=0$，
则$M-m=0 - (-2.25)=2.25≠4$，不符合题意，舍去。
④ 若$1.5＜-a＜3$，即$-3＜a＜-1.5$：
函数在$x=-a$处取得最小值，在$x=0$处取得最大值，
$\therefore m=-a^2$，$M=0$，
代入$M-m=4$得：$0 - (-a^2)=4$，解得$a=±2$，其中$a=2$不符合$-3＜a＜-1.5$，舍去，故$a=-2$。
⑤ 若$-a≥3$，即$a≤-3$：
函数在$0≤x≤3$上随$x$增大而减小，
$\therefore$ 当$x=3$时，$m=9+6a$；当$x=0$时，$M=0$，
代入$M-m=4$得：$0 - (9+6a)=4$，解得$a=-\frac{13}{6}$，与$a≤-3$矛盾，舍去。
综上，$a$的值为-1或-2。
【答案】
-1或-2
【知识点】
1.二次函数的图象与性质 2.二次函数最值计算 3.分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数动轴定区间求最值的典型题型，解题关键是根据对称轴与给定区间的位置关系合理分类，求解后要注意验证参数是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
首先将二次函数化为顶点式，确定抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-a$，本题属于动轴定区间求最值问题，需要根据对称轴与给定区间$[0,3]$的位置关系分情况讨论，分别求出每种情况下的最大值$M$和最小值$m$，代入$M-m=4$求解$a$，最后检验所得$a$是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
将二次函数解析式化为顶点式：$y=x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-a$。
① 若$-a≤0$，即$a≥0$：
函数在$0≤x≤3$上随$x$增大而增大，
$\therefore$ 当$x=0$时，$m=0$；当$x=3$时，$M=3^2+2a×3=9+6a$，
代入$M-m=4$得：$9+6a-0=4$，解得$a=-\frac{5}{6}$，与$a≥0$矛盾，舍去。
② 若$0＜-a＜1.5$，即$-1.5＜a＜0$：
函数在$x=-a$处取得最小值，在$x=3$处取得最大值，
$\therefore m=-a^2$，$M=9+6a$，
代入$M-m=4$得：$9+6a - (-a^2)=4$，整理得$a^2+6a+5=0$，
解得$a=-1$或$a=-5$，其中$a=-5$不符合$-1.5＜a＜0$，舍去，故$a=-1$。
③ 若$-a=1.5$，即$a=-1.5$：
函数在$x=1.5$处取得最小值$m=-a^2=-2.25$，在$x=0$和$x=3$处取得最大值$M=0$，
则$M-m=0 - (-2.25)=2.25≠4$，不符合题意，舍去。
④ 若$1.5＜-a＜3$，即$-3＜a＜-1.5$：
函数在$x=-a$处取得最小值，在$x=0$处取得最大值，
$\therefore m=-a^2$，$M=0$，
代入$M-m=4$得：$0 - (-a^2)=4$，解得$a=±2$，其中$a=2$不符合$-3＜a＜-1.5$，舍去，故$a=-2$。
⑤ 若$-a≥3$，即$a≤-3$：
函数在$0≤x≤3$上随$x$增大而减小，
$\therefore$ 当$x=3$时，$m=9+6a$；当$x=0$时，$M=0$，
代入$M-m=4$得：$0 - (9+6a)=4$，解得$a=-\frac{13}{6}$，与$a≤-3$矛盾，舍去。
综上，$a$的值为-1或-2。
【答案】
-1或-2
【知识点】
1.二次函数的图象与性质 2.二次函数最值计算 3.分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数动轴定区间求最值的典型题型，解题关键是根据对称轴与给定区间的位置关系合理分类，求解后要注意验证参数是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
4 动轴动范围 [2025 安徽芜湖期中,中]已知抛物线$y=x^2+2mx+4m^2$（$m$为常数），当$2m≤x≤2m+3$时，与其对应的函数值$y$的最小值为9，求此时的抛物线表达式。
给你点赞鸭
给你点赞鸭
答案
4.【解】$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2$,$\therefore$ 抛物线对称轴是直线$x=-m$,抛物线开口向上.
①当$2m＞-m$,即$m＞0$时,当$x=2m$时,$y=9$,$\therefore 4m^2+4m^2+4m^2=9$,解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$(负值已舍去),此时的抛物线表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$.
②当$2m≤-m≤2m+3$,即$-1≤ m≤0$时,当$x=-m$时,$y=9$,$\therefore 3m^2=9$,解得$m=\pm\sqrt{3}$(都不符合题意,舍去).
③当$2m+3＜-m$,即$m＜-1$时,当$x=2m+3$时,$y=9$,$\therefore (2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$,解得$m=0$(舍去)或$m=-1.5$,此时的抛物线表达式为$y=x^2-3x+9$. 综上,此时的抛物线表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$.
①当$2m＞-m$,即$m＞0$时,当$x=2m$时,$y=9$,$\therefore 4m^2+4m^2+4m^2=9$,解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$(负值已舍去),此时的抛物线表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$.
②当$2m≤-m≤2m+3$,即$-1≤ m≤0$时,当$x=-m$时,$y=9$,$\therefore 3m^2=9$,解得$m=\pm\sqrt{3}$(都不符合题意,舍去).
③当$2m+3＜-m$,即$m＜-1$时,当$x=2m+3$时,$y=9$,$\therefore (2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$,解得$m=0$(舍去)或$m=-1.5$,此时的抛物线表达式为$y=x^2-3x+9$. 综上,此时的抛物线表达式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$.
解析
【分析】
首先将抛物线解析式配方为顶点式，确定其开口方向与对称轴；本题中抛物线对称轴、自变量的取值范围都随参数m变化，且抛物线开口向上，最小值出现在离对称轴最近的点，因此需分三类讨论：①对称轴在给定区间左侧，②对称轴在给定区间内部，③对称轴在给定区间右侧；每类中先确定取最小值时对应的x值，代入y=9求解m，再检验m是否符合该类的前提范围，舍去不符合的解，最后将符合条件的m代入原解析式即可得到结果。
【解析】
先将抛物线解析式配方：
$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-m$。
分三种情况讨论：
① 当对称轴在区间左侧，即$2m ＞ -m$，解得$m＞0$时，区间内函数最小值在左端点$x=2m$处取得：
代入得$y=(2m)^2+2m·2m+4m^2=9$，即$12m^2=9$，解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$（负值不符合$m＞0$，舍去），
代入原解析式得$y=x^2+\sqrt{3}x+3$；
② 当对称轴在区间内部，即$2m≤ -m≤ 2m+3$，解不等式组得$-1≤ m≤ 0$时，最小值在顶点$x=-m$处取得：
代入得$y=3m^2=9$，解得$m=\pm\sqrt{3}$，两个解均不在$-1≤ m≤ 0$范围内，全部舍去；
③ 当对称轴在区间右侧，即$2m+3 ＜ -m$，解得$m＜-1$时，区间内函数最小值在右端点$x=2m+3$处取得：
代入得$y=(2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$，整理得$12m^2+18m=0$，解得$m=0$（不符合$m＜-1$，舍去）或$m=-1.5$，
代入原解析式得$y=x^2-3x+9$。
【答案】
$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数区间最值，分类讨论
【点评】
本题是二次函数动轴动区间的典型最值问题，解题关键是结合开口方向，按对称轴与区间的位置关系分类讨论，求解参数后要注意验证是否符合对应分类的取值范围，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
首先将抛物线解析式配方为顶点式，确定其开口方向与对称轴；本题中抛物线对称轴、自变量的取值范围都随参数m变化，且抛物线开口向上，最小值出现在离对称轴最近的点，因此需分三类讨论：①对称轴在给定区间左侧，②对称轴在给定区间内部，③对称轴在给定区间右侧；每类中先确定取最小值时对应的x值，代入y=9求解m，再检验m是否符合该类的前提范围，舍去不符合的解，最后将符合条件的m代入原解析式即可得到结果。
【解析】
先将抛物线解析式配方：
$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-m$。
分三种情况讨论：
① 当对称轴在区间左侧，即$2m ＞ -m$，解得$m＞0$时，区间内函数最小值在左端点$x=2m$处取得：
代入得$y=(2m)^2+2m·2m+4m^2=9$，即$12m^2=9$，解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$（负值不符合$m＞0$，舍去），
代入原解析式得$y=x^2+\sqrt{3}x+3$；
② 当对称轴在区间内部，即$2m≤ -m≤ 2m+3$，解不等式组得$-1≤ m≤ 0$时，最小值在顶点$x=-m$处取得：
代入得$y=3m^2=9$，解得$m=\pm\sqrt{3}$，两个解均不在$-1≤ m≤ 0$范围内，全部舍去；
③ 当对称轴在区间右侧，即$2m+3 ＜ -m$，解得$m＜-1$时，区间内函数最小值在右端点$x=2m+3$处取得：
代入得$y=(2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$，整理得$12m^2+18m=0$，解得$m=0$（不符合$m＜-1$，舍去）或$m=-1.5$，
代入原解析式得$y=x^2-3x+9$。
【答案】
$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数区间最值，分类讨论
【点评】
本题是二次函数动轴动区间的典型最值问题，解题关键是结合开口方向，按对称轴与区间的位置关系分类讨论，求解参数后要注意验证是否符合对应分类的取值范围，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
