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1.用含盐15%与含盐8%的盐水配制含盐10%的盐水300千克,设需含盐15%的盐水x千克,含盐8%的盐水y千克,则所列方程组为.
答案
$\begin{cases} x+y=300 \\ 15\%x+8\%y=300×10\% \end{cases}$
解析 因为配制前后盐水的总质量、盐的总质量均相等,所以$\begin{cases} x+y=300, \\ 15\%x+8\%y=300×10\%. \end{cases}$
解析 因为配制前后盐水的总质量、盐的总质量均相等,所以$\begin{cases} x+y=300, \\ 15\%x+8\%y=300×10\%. \end{cases}$
解析
【分析】
解决这道浓度配比类的方程组列写问题，我们需要抓住配制过程中的两个核心不变量：①配制前后盐水的总质量不变；②配制前后盐的总质量不变。首先根据两种盐水的质量和等于配制后盐水的总质量，得到第一个等量关系；再根据两种盐水中所含盐的质量和等于配制后盐水中盐的质量，得到第二个等量关系，将两个等量关系用含x、y的式子表示出来，联立即可得到方程组。
【解析】
第一步：根据盐水总质量不变列方程
已知需含盐15%的盐水x千克，含盐8%的盐水y千克，配制后总质量为300千克，因此可得：
$x + y = 300$
第二步：根据盐的总质量不变列方程
15%的盐水中含盐质量为$15\%x$，8%的盐水中含盐质量为$8\%y$，配制后300千克10%的盐水中含盐质量为$300×10\%$，因此可得：
$15\%x + 8\%y = 300×10\%$
将两个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=300 \\ 15\%x+8\%y=300×10\% \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；浓度配比问题
【点评】
本题是物质配比问题的基础题型，解题核心是找准配制前后总质量、溶质质量两个不变量建立等量关系，掌握这一思路就能快速解决同类配比问题。
【难度系数】
0.8
解决这道浓度配比类的方程组列写问题，我们需要抓住配制过程中的两个核心不变量：①配制前后盐水的总质量不变；②配制前后盐的总质量不变。首先根据两种盐水的质量和等于配制后盐水的总质量，得到第一个等量关系；再根据两种盐水中所含盐的质量和等于配制后盐水中盐的质量，得到第二个等量关系，将两个等量关系用含x、y的式子表示出来，联立即可得到方程组。
【解析】
第一步：根据盐水总质量不变列方程
已知需含盐15%的盐水x千克，含盐8%的盐水y千克，配制后总质量为300千克，因此可得：
$x + y = 300$
第二步：根据盐的总质量不变列方程
15%的盐水中含盐质量为$15\%x$，8%的盐水中含盐质量为$8\%y$，配制后300千克10%的盐水中含盐质量为$300×10\%$，因此可得：
$15\%x + 8\%y = 300×10\%$
将两个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=300 \\ 15\%x+8\%y=300×10\% \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；浓度配比问题
【点评】
本题是物质配比问题的基础题型，解题核心是找准配制前后总质量、溶质质量两个不变量建立等量关系，掌握这一思路就能快速解决同类配比问题。
【难度系数】
0.8
2.某陶瓷生产企业在烧制高档瓷器时,需配制一种高温釉料,其原料由高岭土和滑石粉按一定比例混合而成,要求最终混合物中氧化铝的质量分数为48%.经实验室检测,高岭土中氧化铝含量为60%,滑石粉中氧化铝含量为30%.现计划配制2.5吨该釉料原料,问需要高岭土和滑石粉各多少吨？
答案
解析 设需要高岭土x吨,滑石粉y吨,根据题意,得
$\begin{cases} x+y=2.5, \\ 60\%x+30\%y=2.5×48\%, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=1.5, \\ y=1. \end{cases}$
答:需要高岭土1.5吨,滑石粉1吨.
$\begin{cases} x+y=2.5, \\ 60\%x+30\%y=2.5×48\%, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=1.5, \\ y=1. \end{cases}$
答:需要高岭土1.5吨,滑石粉1吨.
解析
【分析】
这是一道物质配比类实际应用题，可通过列二元一次方程组求解。首先明确两个未知量：高岭土的质量、滑石粉的质量。第一步找第一个等量关系：两种原料的总质量等于要配制的釉料总质量2.5吨；第二步找第二个等量关系：高岭土中氧化铝的总质量+滑石粉中氧化铝的总质量=配制后釉料中氧化铝的总质量。将两个等量关系转化为方程，联立求解即可得到两种原料的质量。
【解析】
解：设需要高岭土$x$吨，滑石粉$y$吨。
根据两种原料总质量为2.5吨，列方程：
$x + y = 2.5$ ①
根据混合前后氧化铝总质量相等，列方程：
$60\%x + 30\%y = 2.5 × 48\%$ ②
化简方程②：两边同时乘100得$60x+30y=120$，两边再除以30得$2x + y = 4$ ③
用③-①消去$y$，得：$(2x+y)-(x+y)=4-2.5$，解得$x=1.5$
把$x=1.5$代入①，得：$1.5+y=2.5$，解得$y=1$
经检验，结果符合题意。
【答案】
需要高岭土1.5吨，滑石粉1吨。
【知识点】
二元一次方程组应用；配比问题计算；百分数运算
【点评】
本题是结合生产实际的配比类典型应用题，解题核心是抓住总质量、有效成分总质量两个核心等量关系建立方程组，难度较低，掌握等量关系找取方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
这是一道物质配比类实际应用题，可通过列二元一次方程组求解。首先明确两个未知量：高岭土的质量、滑石粉的质量。第一步找第一个等量关系：两种原料的总质量等于要配制的釉料总质量2.5吨；第二步找第二个等量关系：高岭土中氧化铝的总质量+滑石粉中氧化铝的总质量=配制后釉料中氧化铝的总质量。将两个等量关系转化为方程，联立求解即可得到两种原料的质量。
【解析】
解：设需要高岭土$x$吨，滑石粉$y$吨。
根据两种原料总质量为2.5吨，列方程：
$x + y = 2.5$ ①
根据混合前后氧化铝总质量相等，列方程：
$60\%x + 30\%y = 2.5 × 48\%$ ②
化简方程②：两边同时乘100得$60x+30y=120$，两边再除以30得$2x + y = 4$ ③
用③-①消去$y$，得：$(2x+y)-(x+y)=4-2.5$，解得$x=1.5$
把$x=1.5$代入①，得：$1.5+y=2.5$，解得$y=1$
经检验，结果符合题意。
【答案】
需要高岭土1.5吨，滑石粉1吨。
【知识点】
二元一次方程组应用；配比问题计算；百分数运算
【点评】
本题是结合生产实际的配比类典型应用题，解题核心是抓住总质量、有效成分总质量两个核心等量关系建立方程组，难度较低，掌握等量关系找取方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
3. 情境
数学文化
发展史
「2026安徽铜陵枞阳期末」我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”后面两句的意思是如果一间客房住7人，那么有7人无房可住，如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，则该店有客房
数学文化
发展史
「2026安徽铜陵枞阳期末」我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”后面两句的意思是如果一间客房住7人，那么有7人无房可住，如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，则该店有客房
8
间，房客63
人。答案
答案 8;63
解析 设该店有客房x间,房客y人,根据题意可列方程组为$\begin{cases} 7x+7=y, \\ 9(x-1)=y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=8, \\ y=63. \end{cases}$
所以该店有客房8间,房客63人.
解析 设该店有客房x间,房客y人,根据题意可列方程组为$\begin{cases} 7x+7=y, \\ 9(x-1)=y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=8, \\ y=63. \end{cases}$
所以该店有客房8间,房客63人.
解析
【分析】
这是一道用方程解决实际问题的题目，解题核心是抓住题目中客房数量、房客总人数两个不变的量，找到对应的等量关系。首先我们可以分别设客房数量、房客人数为两个未知数；再根据“一房七客多七客”的描述，得到总人数=7×客房数+剩余7人，列出第一个方程；接着根据“一房九客一房空”的描述，得到总人数=9×(客房数-1)（因为空出1间房，实际使用的客房数比总客房数少1），列出第二个方程；最后联立两个方程求解即可得到结果。
【解析】
设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 7x+7=y \\ 9(x-1)=y \end{cases}$
将两个方程的右边联立，得：
$7x + 7 = 9(x - 1)$
展开计算：
$7x + 7 = 9x - 9$
移项合并同类项：
$2x = 16$
解得$x=8$
把$x=8$代入$7x+7=y$，得$y=7×8 +7=63$
即方程组的解为$\begin{cases} x=8 \\ y=63 \end{cases}$
【答案】
8；63
【知识点】
二元一次方程组的应用，等量关系建立
【点评】
本题以我国古代数学著作为命题背景，既考查了学生运用方程组解决实际问题的能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力，解题的关键是准确理解题意，找准不变量和对应的等量关系。
【难度系数】
0.8
这是一道用方程解决实际问题的题目，解题核心是抓住题目中客房数量、房客总人数两个不变的量，找到对应的等量关系。首先我们可以分别设客房数量、房客人数为两个未知数；再根据“一房七客多七客”的描述，得到总人数=7×客房数+剩余7人，列出第一个方程；接着根据“一房九客一房空”的描述，得到总人数=9×(客房数-1)（因为空出1间房，实际使用的客房数比总客房数少1），列出第二个方程；最后联立两个方程求解即可得到结果。
【解析】
设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 7x+7=y \\ 9(x-1)=y \end{cases}$
将两个方程的右边联立，得：
$7x + 7 = 9(x - 1)$
展开计算：
$7x + 7 = 9x - 9$
移项合并同类项：
$2x = 16$
解得$x=8$
把$x=8$代入$7x+7=y$，得$y=7×8 +7=63$
即方程组的解为$\begin{cases} x=8 \\ y=63 \end{cases}$
【答案】
8；63
【知识点】
二元一次方程组的应用，等量关系建立
【点评】
本题以我国古代数学著作为命题背景，既考查了学生运用方程组解决实际问题的能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力，解题的关键是准确理解题意，找准不变量和对应的等量关系。
【难度系数】
0.8
4.「2024安徽中考」乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各是多少公顷？
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各是多少公顷？
答案
解析 设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷,
根据题意得$\begin{cases} 4x+3y=24, \\ 8x+9y=60, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷.
根据题意得$\begin{cases} 4x+3y=24, \\ 8x+9y=60, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先确定未知量，本题需要求A、B两种农作物的种植面积，因此可设两个未知数分别对应二者的种植面积；其次寻找等量关系，题目给出了两个固定总量：总种植人员24人、总投入资金60万元，结合表格中每公顷种植的人数、资金需求，用含未知数的式子分别表示两类作物的总用人量、总投入量，即可列出两个方程，组成方程组；最后求解方程组，验证结果符合实际意义即可得到答案。
【解析】
设A种农作物的种植面积是$x$公顷，B种农作物的种植面积是$y$公顷。
根据总人数为24位，列方程：$4x + 3y = 24$
根据总投入资金为60万元，列方程：$8x + 9y = 60$
联立得方程组：$\begin{cases} 4x+3y=24 \\ 8x+9y=60 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边同乘2得$8x + 6y = 48$，用第二个方程减去该式可得$3y=12$，解得$y=4$；把$y=4$代入$4x+3y=24$，得$4x+12=24$，解得$x=3$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷。
【答案】
A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题核心是从题干和表格信息中提取有效等量关系，准确设未知数、列方程组求解，解题时注意结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先确定未知量，本题需要求A、B两种农作物的种植面积，因此可设两个未知数分别对应二者的种植面积；其次寻找等量关系，题目给出了两个固定总量：总种植人员24人、总投入资金60万元，结合表格中每公顷种植的人数、资金需求，用含未知数的式子分别表示两类作物的总用人量、总投入量，即可列出两个方程，组成方程组；最后求解方程组，验证结果符合实际意义即可得到答案。
【解析】
设A种农作物的种植面积是$x$公顷，B种农作物的种植面积是$y$公顷。
根据总人数为24位，列方程：$4x + 3y = 24$
根据总投入资金为60万元，列方程：$8x + 9y = 60$
联立得方程组：$\begin{cases} 4x+3y=24 \\ 8x+9y=60 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边同乘2得$8x + 6y = 48$，用第二个方程减去该式可得$3y=12$，解得$y=4$；把$y=4$代入$4x+3y=24$，得$4x+12=24$，解得$x=3$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷。
【答案】
A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题核心是从题干和表格信息中提取有效等量关系，准确设未知数、列方程组求解，解题时注意结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
5.「2025安徽合肥包河二模」某超市销售山核桃的售价为40元/千克，精品苹果的售价为20元/千克，九月份这两种产品的销售总额达到20 000元。十月份时，山核桃的单价保持不变，销量比九月份增加了20%，苹果的单价降低10%，销量比九月份增加了50%。设九月份山核桃的销量为x千克，苹果的销量为y千克。
(1)十月份山核桃的销售额为
(2)若十月份两种农产品的销售总额比九月份的销售总额增加了5 200元，求x,y的值。
(1)十月份山核桃的销售额为
48x
元，苹果的销售额为27y
元。(2)若十月份两种农产品的销售总额比九月份的销售总额增加了5 200元，求x,y的值。
答案
(1)48x;27y.
详解:十月份山核桃的销售额为40×(1+20%)x=48x(元),十月份苹果的销售额为20(1-10%)(1+50%)y=27y(元).
(2)根据题意,得$\begin{cases} 40x+20y=20\ 000, \\ 48x+27y=20\ 000+5\ 200, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=300, \\ y=400, \end{cases}$
所以x的值为300,y的值为400.
详解:十月份山核桃的销售额为40×(1+20%)x=48x(元),十月份苹果的销售额为20(1-10%)(1+50%)y=27y(元).
(2)根据题意,得$\begin{cases} 40x+20y=20\ 000, \\ 48x+27y=20\ 000+5\ 200, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=300, \\ y=400, \end{cases}$
所以x的值为300,y的值为400.
解析
【分析】
(1) 解题先牢记“销售额=单价×销售量”的基本公式。十月份山核桃单价仍为40元/千克，销量是九月份的(1+20%)即1.2x千克，代入公式即可求出山核桃的销售额；十月份苹果单价是原单价的(1-10%)，销量是九月份的(1+50%)即1.5y千克，代入公式即可求出苹果的销售额。
(2) 先找两个等量关系：①九月份山核桃销售额+九月份苹果销售额=20000元；②十月份两种商品销售总额=九月份总额+5200元。根据两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法求解即可得到x、y的值。
【解析】
(1) 十月份山核桃的销售额：$40×(1+20\%)x=40×1.2x=48x$（元）
十月份苹果的销售额：$20×(1-10\%)×(1+50\%)y=20×0.9×1.5y=27y$（元）
(2) 根据题意列方程组：
$\begin{cases}40x+20y=20000&①\\48x+27y=20000+5200&②\end{cases}$
化简方程①：两边同时除以20得$2x+y=1000$，变形为$y=1000-2x$ ③
将③代入方程②：$48x+27×(1000-2x)=25200$
展开计算得：$48x+27000-54x=25200$
合并同类项得：$-6x=-1800$
解得$x=300$，将$x=300$代入③得$y=1000-2×300=400$
【答案】
(1) $48x$；$27y$
(2) $x=300$，$y=400$
【知识点】
列代数式；二元一次方程组的应用；销售问题数量关系
【点评】
本题属于销售类常规应用题，核心是准确把握销售额、单价、销售量三者的数量关系，能够根据题干条件正确列代数式、找准等量关系列方程组即可解题，计算难度较低，注意百分比对应的单位“1”不要混淆。
【难度系数】
0.7
(1) 解题先牢记“销售额=单价×销售量”的基本公式。十月份山核桃单价仍为40元/千克，销量是九月份的(1+20%)即1.2x千克，代入公式即可求出山核桃的销售额；十月份苹果单价是原单价的(1-10%)，销量是九月份的(1+50%)即1.5y千克，代入公式即可求出苹果的销售额。
(2) 先找两个等量关系：①九月份山核桃销售额+九月份苹果销售额=20000元；②十月份两种商品销售总额=九月份总额+5200元。根据两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法求解即可得到x、y的值。
【解析】
(1) 十月份山核桃的销售额：$40×(1+20\%)x=40×1.2x=48x$（元）
十月份苹果的销售额：$20×(1-10\%)×(1+50\%)y=20×0.9×1.5y=27y$（元）
(2) 根据题意列方程组：
$\begin{cases}40x+20y=20000&①\\48x+27y=20000+5200&②\end{cases}$
化简方程①：两边同时除以20得$2x+y=1000$，变形为$y=1000-2x$ ③
将③代入方程②：$48x+27×(1000-2x)=25200$
展开计算得：$48x+27000-54x=25200$
合并同类项得：$-6x=-1800$
解得$x=300$，将$x=300$代入③得$y=1000-2×300=400$
【答案】
(1) $48x$；$27y$
(2) $x=300$，$y=400$
【知识点】
列代数式；二元一次方程组的应用；销售问题数量关系
【点评】
本题属于销售类常规应用题，核心是准确把握销售额、单价、销售量三者的数量关系，能够根据题干条件正确列代数式、找准等量关系列方程组即可解题，计算难度较低，注意百分比对应的单位“1”不要混淆。
【难度系数】
0.7
6.「2025安徽池州四模，★☆」一家广告公司为某学校制作文艺活动所需的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍.广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表：
产品 | 展板 | 宣传册 | 横幅
时间/时 |
| 0.2 | 0.5
利润/元 | 60 | 3.5 | 20
已知制作三种产品共需要25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为
产品 | 展板 | 宣传册 | 横幅
时间/时 |
| 0.2 | 0.5利润/元 | 60 | 3.5 | 20
已知制作三种产品共需要25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为
70
.答案
答案 70
解析 设广告公司制作展板x件,横幅y件,则制作宣传册5x件,根据题意得
$\begin{cases} x+0.2×5x+0.5y=25, \\ 60x+3.5×5x+20y=975, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=10, \\ y=10, \end{cases}$ 所以5x=50,
所以这三种产品的件数之和为10+50+10=70.
解析 设广告公司制作展板x件,横幅y件,则制作宣传册5x件,根据题意得
$\begin{cases} x+0.2×5x+0.5y=25, \\ 60x+3.5×5x+20y=975, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=10, \\ y=10, \end{cases}$ 所以5x=50,
所以这三种产品的件数之和为10+50+10=70.
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系：已知宣传册数量是展板的5倍，我们可以先设展板的数量为x件，那么宣传册的数量就是5x件，再设横幅的数量为y件。接下来找两个核心等量关系：一是制作三种产品的总耗时为25小时，二是三种产品的总利润为975元，分别根据表格给出的单位制作时间和单位利润列出方程，组成二元一次方程组，求解得到x、y的值后，再计算三种产品的总件数即可。
【解析】
设广告公司制作展板x件，横幅y件，则制作宣传册5x件。
根据总耗时为25小时，列方程：
$x + 0.2×5x + 0.5y = 25$，化简得：$2x + 0.5y = 25$ ①
根据总利润为975元，列方程：
$60x + 3.5×5x + 20y = 975$，化简得：$77.5x + 20y = 975$ ②
将①式两边同时乘40，得：$80x + 20y = 1000$ ③
用③式减去②式：$(80x + 20y) - (77.5x + 20y) = 1000 - 975$，
解得$2.5x = 25$，即$x=10$。
把$x=10$代入①式，得$2×10 + 0.5y =25$，解得$y=10$。
所以宣传册数量为$5x=5×10=50$件，
三种产品总件数为$10+50+10=70$。
【答案】
70
【知识点】
二元一次方程组应用，配套数量关系，利润计算
【点评】
本题属于实际应用类常规题型，解题的核心是找准题目中的三类等量关系：产品数量的配套关系、总耗时的等量关系、总利润的等量关系，设出合适的未知数列方程组求解即可，计算量较小。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目中的数量关系：已知宣传册数量是展板的5倍，我们可以先设展板的数量为x件，那么宣传册的数量就是5x件，再设横幅的数量为y件。接下来找两个核心等量关系：一是制作三种产品的总耗时为25小时，二是三种产品的总利润为975元，分别根据表格给出的单位制作时间和单位利润列出方程，组成二元一次方程组，求解得到x、y的值后，再计算三种产品的总件数即可。
【解析】
设广告公司制作展板x件，横幅y件，则制作宣传册5x件。
根据总耗时为25小时，列方程：
$x + 0.2×5x + 0.5y = 25$，化简得：$2x + 0.5y = 25$ ①
根据总利润为975元，列方程：
$60x + 3.5×5x + 20y = 975$，化简得：$77.5x + 20y = 975$ ②
将①式两边同时乘40，得：$80x + 20y = 1000$ ③
用③式减去②式：$(80x + 20y) - (77.5x + 20y) = 1000 - 975$，
解得$2.5x = 25$，即$x=10$。
把$x=10$代入①式，得$2×10 + 0.5y =25$，解得$y=10$。
所以宣传册数量为$5x=5×10=50$件，
三种产品总件数为$10+50+10=70$。
【答案】
70
【知识点】
二元一次方程组应用，配套数量关系，利润计算
【点评】
本题属于实际应用类常规题型，解题的核心是找准题目中的三类等量关系：产品数量的配套关系、总耗时的等量关系、总利润的等量关系，设出合适的未知数列方程组求解即可，计算量较小。
【难度系数】
0.7
