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8.「2026北京首都师大附中期末，★☆」在一次知识竞赛中，共设置了20道选择题，每题必答.下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况.
(1)在这次比赛中,答对一道题得
(2)同学G说他得了82分,你认为可能吗?通过列方程计算说明理由.
(1)在这次比赛中,答对一道题得
5
分,答错一道题扣2
分.(2)同学G说他得了82分,你认为可能吗?通过列方程计算说明理由.
答案
(1)5;2.
详解:设答对一道题得x分,答错一道题扣y分,根据题意,得$\begin{cases}20x=100,\\19x-y=93,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=2,\end{cases}$
所以答对一道题得5分,答错一道题扣2分.
(2)同学G不可能得82分,理由如下:
假设同学G得了82分,
设同学G答对了m道题,答错了n道题,
根据题意,得$\begin{cases}m+n=20,\\5m-2n=82,\end{cases}$
解得$m=17\frac{3}{7}$,因为m为非负整数,
所以$m=17\frac{3}{7}$不符合题意,所以假设不成立,
即同学G不可能得82分.
详解:设答对一道题得x分,答错一道题扣y分,根据题意,得$\begin{cases}20x=100,\\19x-y=93,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=2,\end{cases}$
所以答对一道题得5分,答错一道题扣2分.
(2)同学G不可能得82分,理由如下:
假设同学G得了82分,
设同学G答对了m道题,答错了n道题,
根据题意,得$\begin{cases}m+n=20,\\5m-2n=82,\end{cases}$
解得$m=17\frac{3}{7}$,因为m为非负整数,
所以$m=17\frac{3}{7}$不符合题意,所以假设不成立,
即同学G不可能得82分.
解析
【分析】
(1) 求解答对、答错的单题分值：先从参赛者A全答对的得分情况可直接算出答对1题的得分；再结合参赛者B答对19题、答错1题的得分，就能算出答错1题扣的分值，也可通过列二元一次方程组求解更清晰。
(2) 判断82分是否可能：先假设得分情况成立，根据总题数固定、得分规则列方程，若解得的答对题数为非负整数则可能，否则不可能，因为答题数量只能是整数，这是本题的隐含判断条件。
【解析】
(1) 设答对一道题得$x$分，答错一道题扣$y$分，根据题意列方程组：
$\begin{cases}20x=100\\19x-y=93\end{cases}$
解第一个方程得$x=100÷20=5$，将$x=5$代入第二个方程：
$19×5 - y=93$，解得$y=95-93=2$
因此答对一道题得5分，答错一道题扣2分。
(2) 同学G不可能得82分，理由如下：
假设同学G得了82分，设他答对了$m$道题，答错了$n$道题，根据总题数和得分规则列方程组：
$\begin{cases}m+n=20\\5m-2n=82\end{cases}$
将$n=20-m$代入第二个方程得：$5m-2(20-m)=82$
整理得$7m=122$，解得$m=17\frac{3}{7}$
由于答题数量$m$必须为非负整数，$m=17\frac{3}{7}$不符合实际意义，因此假设不成立，同学G不可能得82分。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；$\boxed{2}$
(2) 不可能，理由见解析。
【知识点】
比赛积分问题、二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题以知识竞赛积分为背景，考查方程在实际问题中的应用，解题时需注意答题数量为非负整数这一隐含条件，能很好地锻炼学生的逻辑思维和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求解答对、答错的单题分值：先从参赛者A全答对的得分情况可直接算出答对1题的得分；再结合参赛者B答对19题、答错1题的得分，就能算出答错1题扣的分值，也可通过列二元一次方程组求解更清晰。
(2) 判断82分是否可能：先假设得分情况成立，根据总题数固定、得分规则列方程，若解得的答对题数为非负整数则可能，否则不可能，因为答题数量只能是整数，这是本题的隐含判断条件。
【解析】
(1) 设答对一道题得$x$分，答错一道题扣$y$分，根据题意列方程组：
$\begin{cases}20x=100\\19x-y=93\end{cases}$
解第一个方程得$x=100÷20=5$，将$x=5$代入第二个方程：
$19×5 - y=93$，解得$y=95-93=2$
因此答对一道题得5分，答错一道题扣2分。
(2) 同学G不可能得82分，理由如下：
假设同学G得了82分，设他答对了$m$道题，答错了$n$道题，根据总题数和得分规则列方程组：
$\begin{cases}m+n=20\\5m-2n=82\end{cases}$
将$n=20-m$代入第二个方程得：$5m-2(20-m)=82$
整理得$7m=122$，解得$m=17\frac{3}{7}$
由于答题数量$m$必须为非负整数，$m=17\frac{3}{7}$不符合实际意义，因此假设不成立，同学G不可能得82分。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；$\boxed{2}$
(2) 不可能，理由见解析。
【知识点】
比赛积分问题、二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题以知识竞赛积分为背景，考查方程在实际问题中的应用，解题时需注意答题数量为非负整数这一隐含条件，能很好地锻炼学生的逻辑思维和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
9.「2026江苏南通海安期中，★☆」李明和刘伟分别从A，B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，分别到达B，A两地时停止，出发24分钟时两人相遇，此时李明比刘伟多行进4.8千米，相遇后6分钟李明到达B地.
(1)A，B两地间的距离是多少千米？
(2)刘伟有几次与李明相距6千米？相距6千米时的行进时间是多少分钟？
(1)A，B两地间的距离是多少千米？
(2)刘伟有几次与李明相距6千米？相距6千米时的行进时间是多少分钟？
答案
解析 (1)设李明骑自行车的速度为x 千米/分钟,刘伟步行的速度为 y 千米/分钟, 根据题意, 得$\begin{cases}24x-24y=4.8,\\24x+24y=30x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{4}{15},\\y=\frac{1}{15},\end{cases}$则$30x=30×\frac{4}{15}=8$,
所以 A,B 两地间的距离为 8 千米.
(2)刘伟有2次与李明相距6千米.
由(1)得,李明骑自行车的速度为$\frac{4}{15}$千米/分钟,刘伟步行的速度为$\frac{1}{15}$千米/分钟,
分情况讨论如下:
①若两人相遇前相距6千米,则行进时间为$(8-6)÷(\frac{4}{15}+\frac{1}{15})=6$(分钟);
②行进30分钟后,李明到达 B 地停止骑行,此时刘伟距 B 地$\frac{1}{15}×30=2$(千米),所以刘伟继续步行$(6-2)÷\frac{1}{15}=60$(分钟)后,两人相距6千米,此时行进时间是$30+60=90$(分钟).
综上,刘伟有2次与李明相距6千米,相距6千米时的行进时间分别是6分钟和90分钟.
所以 A,B 两地间的距离为 8 千米.
(2)刘伟有2次与李明相距6千米.
由(1)得,李明骑自行车的速度为$\frac{4}{15}$千米/分钟,刘伟步行的速度为$\frac{1}{15}$千米/分钟,
分情况讨论如下:
①若两人相遇前相距6千米,则行进时间为$(8-6)÷(\frac{4}{15}+\frac{1}{15})=6$(分钟);
②行进30分钟后,李明到达 B 地停止骑行,此时刘伟距 B 地$\frac{1}{15}×30=2$(千米),所以刘伟继续步行$(6-2)÷\frac{1}{15}=60$(分钟)后,两人相距6千米,此时行进时间是$30+60=90$(分钟).
综上,刘伟有2次与李明相距6千米,相距6千米时的行进时间分别是6分钟和90分钟.
解析
【分析】
(1) 要计算A、B两地的距离，可先求出两人的行进速度。题干给出两个核心等量关系：①出发24分钟相遇时，李明比刘伟多行进4.8千米；②相遇后李明6分钟到达B地，说明李明走完全程共需24+6=30分钟，且两人24分钟走的路程和等于李明30分钟走的路程。据此设两人速度为未知数列二元一次方程组求解，再用李明的速度乘全程用时即可得到总路程。
(2) 求相距6千米的时间需分阶段讨论：第一阶段是两人相遇前，两人共同走的路程和为总路程减6千米，用路程和除以速度和即可得对应时间；第二阶段是李明到达B地停止运动后，刘伟继续步行，直到两人距离为6千米，计算对应总时间即可。注意相遇后到李明到达B地前，两人的最大距离小于6千米，无符合条件的情况。
【解析】
(1) 设李明骑自行车的速度为$x$千米/分钟，刘伟步行的速度为$y$千米/分钟。
根据题意，得$\begin{cases}24x-24y=4.8,\\24x+24y=30x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{4}{15},\\y=\frac{1}{15},\end{cases}$
则A、B两地间的距离为$30x=30×\frac{4}{15}=8$（千米）。
(2) 刘伟共有2次与李明相距6千米，分情况讨论：
① 两人相遇前相距6千米：此时两人路程和为$8-6=2$千米，两人速度和为$\frac{4}{15}+\frac{1}{15}=\frac{1}{3}$千米/分钟，行进时间为$2÷\frac{1}{3}=6$（分钟）；
② 李明到达B地后相距6千米：李明走完全程用时30分钟，此时刘伟走的路程为$\frac{1}{15}×30=2$千米，即刘伟距B地还有2千米，要使两人相距6千米，刘伟还需步行$6-2=4$千米，所需时间为$4÷\frac{1}{15}=60$（分钟），总行进时间为$30+60=90$（分钟）。
综上，相距6千米时的行进时间分别为6分钟和90分钟。
【答案】
(1) A，B两地间的距离是8千米；
(2) 刘伟有2次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间分别是6分钟和90分钟。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，分类讨论
【点评】
本题以相向行程问题为背景，考查方程的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的等量关系列方程求解，第二问需结合两人的运动阶段分类讨论，避免遗漏或多算不符合条件的情况。
【难度系数】
0.65
(1) 要计算A、B两地的距离，可先求出两人的行进速度。题干给出两个核心等量关系：①出发24分钟相遇时，李明比刘伟多行进4.8千米；②相遇后李明6分钟到达B地，说明李明走完全程共需24+6=30分钟，且两人24分钟走的路程和等于李明30分钟走的路程。据此设两人速度为未知数列二元一次方程组求解，再用李明的速度乘全程用时即可得到总路程。
(2) 求相距6千米的时间需分阶段讨论：第一阶段是两人相遇前，两人共同走的路程和为总路程减6千米，用路程和除以速度和即可得对应时间；第二阶段是李明到达B地停止运动后，刘伟继续步行，直到两人距离为6千米，计算对应总时间即可。注意相遇后到李明到达B地前，两人的最大距离小于6千米，无符合条件的情况。
【解析】
(1) 设李明骑自行车的速度为$x$千米/分钟，刘伟步行的速度为$y$千米/分钟。
根据题意，得$\begin{cases}24x-24y=4.8,\\24x+24y=30x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{4}{15},\\y=\frac{1}{15},\end{cases}$
则A、B两地间的距离为$30x=30×\frac{4}{15}=8$（千米）。
(2) 刘伟共有2次与李明相距6千米，分情况讨论：
① 两人相遇前相距6千米：此时两人路程和为$8-6=2$千米，两人速度和为$\frac{4}{15}+\frac{1}{15}=\frac{1}{3}$千米/分钟，行进时间为$2÷\frac{1}{3}=6$（分钟）；
② 李明到达B地后相距6千米：李明走完全程用时30分钟，此时刘伟走的路程为$\frac{1}{15}×30=2$千米，即刘伟距B地还有2千米，要使两人相距6千米，刘伟还需步行$6-2=4$千米，所需时间为$4÷\frac{1}{15}=60$（分钟），总行进时间为$30+60=90$（分钟）。
综上，相距6千米时的行进时间分别为6分钟和90分钟。
【答案】
(1) A，B两地间的距离是8千米；
(2) 刘伟有2次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间分别是6分钟和90分钟。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，分类讨论
【点评】
本题以相向行程问题为背景，考查方程的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的等量关系列方程求解，第二问需结合两人的运动阶段分类讨论，避免遗漏或多算不符合条件的情况。
【难度系数】
0.65
10. 核心素养应用意识 周末,小明和爸爸来到环形运动场(如图)进行跑步锻炼,绕环形运动场一圈的路程为400米.
(1)若两人同时同起点相向而跑,则经过36秒后首次相遇,若两人同时同起点同向而跑,则经过180秒后,爸爸首次从后面追上小明,问小明和爸爸的速度各为多少?
(2)假设爸爸的速度是6米/秒,小明的速度是5米/秒.两人进行400米赛跑,同时同起点同向出发,等爸爸跑到半圈时,故意降速为4米/秒.按此速度继续比赛,小明能否在400米终点前追上爸爸?若能,求追上时距离终点还有多少米;若不能,请说明理由.
(1)若两人同时同起点相向而跑,则经过36秒后首次相遇,若两人同时同起点同向而跑,则经过180秒后,爸爸首次从后面追上小明,问小明和爸爸的速度各为多少?
(2)假设爸爸的速度是6米/秒,小明的速度是5米/秒.两人进行400米赛跑,同时同起点同向出发,等爸爸跑到半圈时,故意降速为4米/秒.按此速度继续比赛,小明能否在400米终点前追上爸爸?若能,求追上时距离终点还有多少米;若不能,请说明理由.
答案
解析 (1)设小明的速度为 x 米/秒,爸爸的速度为y 米/秒,
根据题意得$\begin{cases}36x+36y=400,\\180y-180x=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{40}{9},\\y=\frac{20}{3}.\end{cases}$
答:小明的速度为$\frac{40}{9}$米/秒,爸爸的速度为$\frac{20}{3}$米/秒.
(2)因为小明到 400 米终点需要的时间为$400÷5=80$(秒),爸爸到 400 米终点需要的时间为$\frac{200}{6}+\frac{200}{4}=83\frac{1}{3}$(秒),因为$80＜83\frac{1}{3}$,所以小明能在 400 米终点前追上爸爸,设小明追上爸爸需要的时间为 m 秒,则追上时距离终点还有$(400-5m)$米,
由题意得$5m=200+4(m-\frac{200}{6})$,解得$m=\frac{200}{3}$,
所以$400-5m=400-5×\frac{200}{3}=\frac{200}{3}$.
答:小明能在 400 米终点前追上爸爸,追上时距离终点还有$\frac{200}{3}$米.
根据题意得$\begin{cases}36x+36y=400,\\180y-180x=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{40}{9},\\y=\frac{20}{3}.\end{cases}$
答:小明的速度为$\frac{40}{9}$米/秒,爸爸的速度为$\frac{20}{3}$米/秒.
(2)因为小明到 400 米终点需要的时间为$400÷5=80$(秒),爸爸到 400 米终点需要的时间为$\frac{200}{6}+\frac{200}{4}=83\frac{1}{3}$(秒),因为$80＜83\frac{1}{3}$,所以小明能在 400 米终点前追上爸爸,设小明追上爸爸需要的时间为 m 秒,则追上时距离终点还有$(400-5m)$米,
由题意得$5m=200+4(m-\frac{200}{6})$,解得$m=\frac{200}{3}$,
所以$400-5m=400-5×\frac{200}{3}=\frac{200}{3}$.
答:小明能在 400 米终点前追上爸爸,追上时距离终点还有$\frac{200}{3}$米.
解析
【分析】
（1）本题属于环形跑道的相遇和追及问题：两人相向而跑首次相遇时，路程和恰好等于跑道一圈的长度400米；两人同向而跑爸爸首次追上小明时，爸爸比小明多跑了一圈的长度400米。我们可以设小明和爸爸的速度分别为x米/秒、y米/秒，根据上述两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到两人的速度。
（2）判断小明能否在终点前追上爸爸，可先分别计算两人跑完全程的总时间，若小明的总时间更短则说明可以追上。追上时两人的行驶路程相等，注意爸爸的运动分为两段：前200米速度为6米/秒，剩余路程速度为4米/秒，小明全程速度为5米/秒，根据路程相等列一元一次方程求出追上的时间，再计算此时距离终点的距离即可。
【解析】
(1) 设小明的速度为x米/秒，爸爸的速度为y米/秒。
根据相向跑相遇的路程关系，可得：$36x+36y=400$
根据同向跑追及的路程关系，可得：$180y-180x=400$
联立得方程组$\begin{cases}36x+36y=400\\180y-180x=400\end{cases}$
化简求解得$\begin{cases}x=\frac{40}{9}\\y=\frac{20}{3}\end{cases}$
(2) 先计算两人跑完全程的总时间：
小明跑完全程的时间：$400÷5=80$（秒）
爸爸跑完全程的时间：前200米用时$\frac{200}{6}$秒，后200米用时$\frac{200}{4}$秒，总时间为$\frac{200}{6}+\frac{200}{4}=83\frac{1}{3}$（秒）
因为$80＜83\frac{1}{3}$，所以小明能在400米终点前追上爸爸。
设小明追上爸爸需要的时间为m秒，此时两人行驶路程相等，列方程：
$5m=200+4(m-\frac{200}{6})$
解得$m=\frac{200}{3}$
此时距离终点的距离为：$400-5m=400-5×\frac{200}{3}=\frac{200}{3}$（米）
【答案】
(1) 小明的速度为$\frac{40}{9}$米/秒，爸爸的速度为$\frac{20}{3}$米/秒；
(2) 小明能在400米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有$\frac{200}{3}$米。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇追及问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合日常跑步的生活场景，考察行程问题的核心模型，解题关键是准确梳理不同运动状态下的路程等量关系，第二问要注意爸爸分段变速的时间节点，避免因忽略分段条件导致列式错误。
【难度系数】
0.6
（1）本题属于环形跑道的相遇和追及问题：两人相向而跑首次相遇时，路程和恰好等于跑道一圈的长度400米；两人同向而跑爸爸首次追上小明时，爸爸比小明多跑了一圈的长度400米。我们可以设小明和爸爸的速度分别为x米/秒、y米/秒，根据上述两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到两人的速度。
（2）判断小明能否在终点前追上爸爸，可先分别计算两人跑完全程的总时间，若小明的总时间更短则说明可以追上。追上时两人的行驶路程相等，注意爸爸的运动分为两段：前200米速度为6米/秒，剩余路程速度为4米/秒，小明全程速度为5米/秒，根据路程相等列一元一次方程求出追上的时间，再计算此时距离终点的距离即可。
【解析】
(1) 设小明的速度为x米/秒，爸爸的速度为y米/秒。
根据相向跑相遇的路程关系，可得：$36x+36y=400$
根据同向跑追及的路程关系，可得：$180y-180x=400$
联立得方程组$\begin{cases}36x+36y=400\\180y-180x=400\end{cases}$
化简求解得$\begin{cases}x=\frac{40}{9}\\y=\frac{20}{3}\end{cases}$
(2) 先计算两人跑完全程的总时间：
小明跑完全程的时间：$400÷5=80$（秒）
爸爸跑完全程的时间：前200米用时$\frac{200}{6}$秒，后200米用时$\frac{200}{4}$秒，总时间为$\frac{200}{6}+\frac{200}{4}=83\frac{1}{3}$（秒）
因为$80＜83\frac{1}{3}$，所以小明能在400米终点前追上爸爸。
设小明追上爸爸需要的时间为m秒，此时两人行驶路程相等，列方程：
$5m=200+4(m-\frac{200}{6})$
解得$m=\frac{200}{3}$
此时距离终点的距离为：$400-5m=400-5×\frac{200}{3}=\frac{200}{3}$（米）
【答案】
(1) 小明的速度为$\frac{40}{9}$米/秒，爸爸的速度为$\frac{20}{3}$米/秒；
(2) 小明能在400米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有$\frac{200}{3}$米。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇追及问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合日常跑步的生活场景，考察行程问题的核心模型，解题关键是准确梳理不同运动状态下的路程等量关系，第二问要注意爸爸分段变速的时间节点，避免因忽略分段条件导致列式错误。
【难度系数】
0.6
