亲爱的同学,我们经常见到像桌面、窗户、屏风、书本、镜框等四边形,四边形有许多性质,其中有一些可能尚未引起你的注意.今天,我们一起来探究四边形的性质.
请你准备几张卡纸和一把剪刀,然后再阅读下文.
性质一 用任何一种四边形都可以既不重叠又无空隙地覆盖整个平面(如图1).
将四张卡纸叠在一起,用剪刀剪出四张完全一样的四边形,顶点标上字母A,B,C,D,然后按图1方式放置,由四边形四个内角之和等于$360°$就可以发现这个性质是成立的.
探究:用正五边形或正六边形能覆盖平面吗? 用任意三角形呢?
性质二 四边形对角线的交点到四个顶点的距离之和小于其他任一点到四个顶点的距离之和.
如图2,O是四边形ABCD对角线的交点,它到四个顶点的距离之和正好等于两条对角线长之和,而其他任一点$O'$到A,C两点距离之和大于AC的长;到B,D两点距离之和大于BD的长.(如果点$O'$在某一条对角线上呢?)
探究:如图2,A,B,C,D是农村的四个居民点,商业点选在何处,可使它到四个居民点的距离之和最短?


性质三 设四边形ABCD为任意四边形,AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,则四边形ABCD的面积$≤ EG· HF$.
如图3,将(1)绕点E旋转$180°$得[1],将(2)绕点H旋转$180°$得[2],将(3)平移至[3],因为线段EG与FH互相平分,所以$OO_1=O_2O_3=EG$,$OO_2=O_1O_3=FH$,则四边形$OO_2O_3O_1$是平行四边形.它的面积$≤ OO_1· OO_2=EG· FH$(当$EG⊥ FH$时取等号).
任务:以上的探索学习,对你有何启发? 把你的收获与思考概括总结一下吧!

解：
性质一探究
正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，不存在正整数$n$使得$n×108°=360°$，因此正五边形不能覆盖平面；
正六边形每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$3×120°=360°$，因此正六边形可以覆盖平面；
任意三角形的内角和为$180°$，将6个全等的任意三角形的不同内角汇聚到同一点，可凑出$360°$，因此任意三角形可以覆盖平面。
性质二探究
根据三角形两边之和大于第三边，对任意异于对角线交点的点$O'$，有$O'A+O'C\ge AC$，$O'B+O'D\ge BD$，仅当点同时在$AC$和$BD$上时两个等号同时成立，此时距离和等于$AC+BD$，为最小值。因此商业点选在四边形$ABCD$两条对角线的交点处，可使它到四个居民点的距离之和最短。
收获与思考
1. 平面密铺的核心条件是：拼接在同一点的多个多边形的内角和恰好为$360°$，利用已学的多边形内角和知识就可以判断图形能否单独完成无空隙无重叠的平面覆盖；
2. 借助三角形三边不等关系，可以将实际选址的最值问题转化为几何模型求解，得到最优方案；
3. 平移、旋转等全等变换是重要的几何研究工具，可以把陌生的任意四边形面积问题，转化为熟悉的平行四边形面积问题推导，大幅降低探究难度；
4. 很多拓展的四边形性质，都可以用最基础的内角和定理、三边关系、平行四边形性质等已学知识推导验证，动手拼接操作也能直观验证几何结论，加深对性质的理解。