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14. 如图,直线$y=ax+a(a≠0)$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$交于$C,D$两点,与$x$轴交于点$A$.
(1)①填空:点$A$的坐标是
②过点$C$作$CB⊥y$轴,垂足为$B$.若$S_{△ABC}=2$,求双曲线的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,若$AB=\sqrt{17}$,求点$C$和点$D$的坐标.
(1)①填空:点$A$的坐标是
$(-1,0)$
;②过点$C$作$CB⊥y$轴,垂足为$B$.若$S_{△ABC}=2$,求双曲线的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,若$AB=\sqrt{17}$,求点$C$和点$D$的坐标.
答案
【解】(1)①$(-1,0)$ 【点拨】将$y=0$代入$y=ax+a(a≠0)$,得$ax+a=0$,解得$x=-1$,$\therefore A(-1,0)$.
②设$C(m,\frac{k}{m})$(其中$m＞0$),则$B(0,\frac{k}{m})$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(m-0)×(0-\frac{k}{m})=2$,解得$k=-4$.$\therefore$双曲线的函数表达式为$y=-\frac{4}{x}$.
(2)由(1)知$A(-1,0)$,$B(0,-\frac{4}{m})$,则$OA=1$,$OB=\frac{4}{m}$.
$\therefore$由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+(\frac{4}{m})^2}=\sqrt{17}$,解得$m=1$或$m=-1$(舍去).
$\therefore C(1,-4)$.
将$C(1,-4)$的坐标代入$y=ax+a(a≠0)$,得$a+a=-4$,解得$a=-2$.
$\therefore$直线$CD$的函数表达式为$y=-2x-2$.
联立,得$\begin{cases}y=-2x-2,\\y=-\frac{4}{x},\end{cases}$整理得$x^2+x-2=0$,
解得$x=-2$或$x=1$.
将$x=-2$代入$y=-\frac{4}{x}$,得$y=-\frac{4}{-2}=2$.$\therefore D(-2,2)$.
②设$C(m,\frac{k}{m})$(其中$m＞0$),则$B(0,\frac{k}{m})$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(m-0)×(0-\frac{k}{m})=2$,解得$k=-4$.$\therefore$双曲线的函数表达式为$y=-\frac{4}{x}$.
(2)由(1)知$A(-1,0)$,$B(0,-\frac{4}{m})$,则$OA=1$,$OB=\frac{4}{m}$.
$\therefore$由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+(\frac{4}{m})^2}=\sqrt{17}$,解得$m=1$或$m=-1$(舍去).
$\therefore C(1,-4)$.
将$C(1,-4)$的坐标代入$y=ax+a(a≠0)$,得$a+a=-4$,解得$a=-2$.
$\therefore$直线$CD$的函数表达式为$y=-2x-2$.
联立,得$\begin{cases}y=-2x-2,\\y=-\frac{4}{x},\end{cases}$整理得$x^2+x-2=0$,
解得$x=-2$或$x=1$.
将$x=-2$代入$y=-\frac{4}{x}$,得$y=-\frac{4}{-2}=2$.$\therefore D(-2,2)$.
15. 🎯 真实情境题 蔬菜大棚 某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜.通过调查得知,修建大棚平均每公顷需支架、农膜等材料开支2.7万元;购置滴灌设备的费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为0.9;另外,种植蔬菜每公顷需种子、化肥、农药等开支0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.
(1)该基地的菜农共修建大棚$x$公顷,当年收益(扣除修建和种植成本后)为$y$万元,写出$y$关于$x$的函数表达式.
(2)除种子、化肥、农药等投资只能当年使用外,其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用.如果按3年计算,是否修建大棚面积越大,收益就越大?如果不是,修建面积为多少时可以获得最大收益?请帮助工作组为基地修建大棚提一条合理化的建议.
(1)该基地的菜农共修建大棚$x$公顷,当年收益(扣除修建和种植成本后)为$y$万元,写出$y$关于$x$的函数表达式.
(2)除种子、化肥、农药等投资只能当年使用外,其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用.如果按3年计算,是否修建大棚面积越大,收益就越大?如果不是,修建面积为多少时可以获得最大收益?请帮助工作组为基地修建大棚提一条合理化的建议.
答案
【解】(1)$y=7.5x-(2.7x+0.9x^2+0.3x)=-0.9x^2+4.5x$.
(2)不是修建大棚面积越大,收益就越大.
设3年内每年的平均收益为$z$万元.
根据题意,得$z=7.5x-(0.9x+0.3x^2+0.3x)=-0.3x^2+6.3x=-0.3(x-10.5)^2+33.075$.
$\therefore$不是面积越大收益就越大,当修建面积为10.5公顷时可以获得最大收益.
建议略.
(2)不是修建大棚面积越大,收益就越大.
设3年内每年的平均收益为$z$万元.
根据题意,得$z=7.5x-(0.9x+0.3x^2+0.3x)=-0.3x^2+6.3x=-0.3(x-10.5)^2+33.075$.
$\therefore$不是面积越大收益就越大,当修建面积为10.5公顷时可以获得最大收益.
建议略.
