16. [华师一附中自主招生] 已知二次函数$y=ax^2+1(a＞0)$的图象与双曲线$y=\frac{k}{x}$的交点A的横坐标为2，则关于x的不等式$\frac{k}{x}+ax^2+1＜0$的解集是（）

A.$x＜-2$
B.$-2＜x＜0$
C.$0＜x＜2$
D.$x＞2$

B
【点拨】如图,因为二次函数$y=ax^2+1(a＞0)$的图象与双曲线$y=\frac{k}{x}$交点的横坐标为2,所以二次函数$y=-ax^2-1(a＞0)$的图象与双曲线$y=\frac{k}{x}$交点的横坐标为$-2$.所以不等式$\frac{k}{x}+ax^2+1＜0$,即不等式$\frac{k}{x}＜-ax^2-1$的解集是$-2＜x＜0$.

17. 如图，二次函数$y=ax^2+bx+2(a≠0)$的图象与$x$轴交于$(-1,0),(x_1,0)$两点，其中$2＜x_1＜3$。结合图象给出下列结论：
①$ab＞0$；②$a-b=-2$；
③当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；
④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$的另一个根是$-\dfrac{2}{a}$；
⑤$b$的取值范围为$1＜b＜\dfrac{4}{3}$。
其中正确结论的个数是（）

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

C
【点拨】由题图可得$a＜0$,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＞0$.$\therefore ab＜0$.故①错误;$\because$图象经过点$(-1,0)$,$\therefore$将$(-1,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+2$,得$a-b+2=0$,$\therefore a-b=-2$,故②正确;$\because$该函数图象与$x$轴交于$(-1,0)$,$(x_1,0)$两点,且$2＜x_1＜3$,$\therefore \frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜1$.$\because$抛物线开口向下,$\therefore$当$x＞1$时,$y$随着$x$的增大而减小,故③正确;$\because$该函数图象与$x$轴交于$(-1,0)$,$(x_1,0)$两点,$\therefore -1,x_1$是方程$ax^2+bx+2=0$的两个根.$\therefore -1·x_1=\frac{2}{a}$.$\therefore x_1=-\frac{2}{a}$,故④正确;$\because a-b+2=0$,$\therefore a=b-2$.$\therefore y=(b-2)x^2+bx+2$.$\because 2＜x_1＜3$,$\therefore \begin{cases}4(b-2)+2b+2＞0,\\9(b-2)+3b+2＜0,\end{cases}$解得$1＜b＜\frac{4}{3}$,故⑤正确.综上,②③④⑤正确,共4个.故选C.

18. [2025镇江] 在平面直角坐标系中，过点 T(0，t)作 y 轴的垂线与二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2 + k$ (h,k为常数)的图象交于点 E,F(点 E 在点 F 的左侧)，点 P 在直线 EF 上，当点 P 满足 PE+PF=6 时，我们称点 P 是该二次函数图象的 T～6 生长点.
(1)二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象如图所示.
①在 t 的不同取值 $2,\frac{9}{2},5$ 中，使该函数图象有 T～6 生长点的 t 的值是 ；
②已知 P(m,n)是该函数图象的 T～6 生长点，猜想 n 的取值范围，并说明理由.
(2)二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2 + k$ (h,k为常数)的图象经过点(6,1)，若 P(3,5)是该函数图象的 T～6 生长点，求该函数的表达式.

【解】(1)①$2,\frac{9}{2}$ 【点拨】当$y=\frac{1}{2}x^2=t$时,$x=±\sqrt{2t}$,$\therefore E(-\sqrt{2t},t)$,$F(\sqrt{2t},t)$,$\therefore EF=2\sqrt{2t}$,$\therefore$当$t=2$时,$EF=4$,此时在线段$EF$的延长线上或线段$FE$的延长线上,存在点$P$使$PE+PF=6$,满足题意;当$t=\frac{9}{2}$时,$EF=2\sqrt{2×\frac{9}{2}}=6$,$\therefore$当点$P$在线段$EF$上时,$PE+PF=EF=6$,满足题意;当$t=5$时,$EF=2\sqrt{2×5}=2\sqrt{10}＞6$,$\therefore$直线$EF$上不存在点$P$使$PE+PF=6$,不满足题意.综上,使该函数图象有T～6生长点的的值是$2,\frac{9}{2}$.
②猜想$0＜n≤\frac{9}{2}$,理由如下:$\because$点$P$在直线$EF$上,$\therefore n=t$.易知$E(-\sqrt{2t},t)$,$F(\sqrt{2t},t)$.$\therefore EF=2\sqrt{2t}$.当$t=\frac{9}{2}$时,此时$EF=2\sqrt{2×\frac{9}{2}}=6$,$\therefore$当$t＞\frac{9}{2}$时,$EF＞6$,此时直线上不存在点$P$使$PE+PF=6$,$\therefore n≤\frac{9}{2}$.$\because y=\frac{1}{2}x^2$的最小值为$y=0$,$\therefore n＞0$.$\therefore 0＜n≤\frac{9}{2}$.
(2)$\because$二次函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$($h,k$为常数)的图象经过点$(6,1)$,$\therefore 1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$.
$\because P(3,5)$是该函数图象的T～6生长点,$\therefore t=5$,
当$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k=5$时,$(x-h)^2=2(5-k)$,
$\therefore x=h±\sqrt{2(5-k)}$,
$\therefore E(h-\sqrt{2(5-k)},5)$,$F(h+\sqrt{2(5-k)},5)$,
$\therefore EF=2\sqrt{2(5-k)}$,
①当点$P$在线段$EF$上时,则$PE+PF=EF=2\sqrt{2(5-k)}=6$,
$\therefore \sqrt{2(5-k)}=3$,解得$k=\frac{1}{2}$,
把$k=\frac{1}{2}$代入$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$,得$h=5$或$h=7$,
当$h=5$时,$E(2,5)$,$F(8,5)$满足题意;
当$h=7$时,$E(4,5)$,$F(10,5)$,此时点$P$不在线段$EF$上,不符合题意,舍去;
$\therefore y=\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{1}{2}$;
②当点$P$在点$E$的左侧时,则$PE=h-\sqrt{2(5-k)}-3$,$PF=h+\sqrt{2(5-k)}-3$.$\because PE+PF=6$,
$\therefore 2h-6=6$,即$2h=12$,$\therefore h=6$,
把$h=6$,代入$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$,得$k=1$,
此时$E(6-2\sqrt{2},5)$,$F(6+2\sqrt{2},5)$,符合题意;
$\therefore y=\frac{1}{2}(x-6)^2+1$;
③当点$P$在点$F$的右侧时,则$PE=3-h+\sqrt{2(5-k)}$,$PF=3-h-\sqrt{2(5-k)}$,$\therefore PE+PF=3-h+\sqrt{2(5-k)}+3-h-\sqrt{2(5-k)}=6$,$\therefore h=0$,
把$h=0$,代入$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$,得$k=-17$,
此时$E(-2\sqrt{11},5)$,$F(2\sqrt{11},5)$,点$P$不在点$F$的右侧,不符合题意,舍去;
综上,该函数的表达式是$y=\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{1}{2}$或$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+1$.