9.(月考·天津二十五中改编)设$a=x-2025$，$b=x-2027$，$c=x-2026$。若$a^2+b^2=16$，则$c^2$的值是()

A.5
B.6
C.7
D.8

9. C 【解析】
∵ $a=x-2 025,b=x-2 027,c=x-2 026$,
∴ $a-1=x-2 026=c=b+1,a-b=2$.
∵ $a^2+b^2=16,∴ (a-b)^2+2ab=16,∴ ab=6$,
∴ $c^2=(a-1)(b+1)=ab+a-b-1=6+2-1=7$. 故选 C.

10.(期中·部分区)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=42°$,$∠ A=78°$,点$D$在边$AB$上,按照下列步骤作图:
①以点$C$为圆心,小于$CD$长为半径作弧,分别交$BC$,$DC$于点$E$,$F$;②以点$D$为圆心,$CF$长为半径作弧,交$DC$于点$G$;③以点$G$为圆心,$EF$长为半径作弧,与②中所作的弧相交于点$H$,作射线$DH$交$AC$于点$I$,则$∠ AID$的大小是()

A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$

10. C 【解析】由作图可知,$∠CDH=∠BCD,∴ DI// BC$,
∴ $∠AID=∠ACB$.
∵ $∠B=42°,∠A=78°,∠A+∠B+∠ACB=180°$,
∴ $∠ACB=60°,∴ ∠AID=∠ACB=60°$. 故选 C.

11.(期中·西青区)如图,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,则∠PED的度数是()

A.40°
B.45°
C.50°
D.55°

11. B 【解析】
∵ $△ABC$是等边三角形,
∴ $∠A=∠B=∠C=60°,AB=AC$.
∵ $DP⊥BC,∴ ∠BPD=90°,∴ ∠BDP=30°$.
∵ 把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,
∴ $∠DPE=∠A=60°,∴ ∠ADE=∠PDE=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$,
∴ $∠PED=180°-∠DPE-∠PDE=45°$. 故选 B.

12.(期末·和平区)如图，AD,CF分别是$△ ABC$的高和角平分线，AD与CF相交于点G，AE平分$∠ CAD$交BC于点E，交CF于点M，连接BM交AD于点H，且$BM⊥ AE$.有下列结论：
①$∠ AMC=135°$；②$△ ABC$是等边三角形；③$△ AMH≌△ BME$；④$BC=BH+2MH$；⑤$S_{△ AHM}+S_{△ AFM}+S_{△ CEM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.其中，正确的结论有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

12. B 【解析】
∵ $AD⊥BC,∴ ∠ADC=90°$,
∴ $∠DAC+∠ACD=90°$.
∵ AM,CM平分$∠CAD,∠ACD$,
∴ $∠CAE=∠DAE,∠ACM=∠DCM$.
在$△ACD$中,$90°+2∠CAE+2∠ACM=180°$,
∴ $∠CAE+∠ACM=45°$,
∴ $∠AMC=180°-45°=135°$,故①正确.
∴ $∠AMF=45°$.
∵ $AD⊥DC,BM⊥AE$,
∴ $∠AMH=∠BME=∠ADB=90°$.
∵ $∠AHM=∠BHD,∴ ∠DBH=∠DAE=∠CAM$.
在$△CMA$和$△CMB$中,$\begin{cases}∠CAM=∠CBM,\\∠ACM=∠BCM,\\CM=CM,\end{cases}$
∴ $△CMA≌△CMB(AAS),∴ AC=BC$.
当$∠ACB=60°$时,$△ABC$是等边三角形,而原题没有这个条件,故②错误.
∵ $△CMA≌△CMB$,
∴ $MB=MA$. 在$△AMH$和$△BME$中,
$\begin{cases}∠HAM=∠EBM,\\AM=BM,\\∠AMH=∠BME=90°,\end{cases}$
∴ $△AMH≌△BME(ASA)$,故③正确.
如图,延长BM交AC于点N.
∵ $BM⊥AE,∴ ∠AMH=∠AMN=90°$.
在$△AMH$和$△AMN$中,$\begin{cases}∠HAM=∠NAM,\\AM=AM,\\∠AMH=∠AMN,\end{cases}$
∴ $△AMH≌△AMN(ASA),∴ HM=MN$,
∴ $2MH=HN,∴ BH+2MH=BN＜BC$,故④错误.
∵ $△AMH≌△AMN,∴ AH=AN$.
∵ $△AHM≌△BEM,∴ BE=AH=AN$.
∵ $AC=BC,∴ CE=CN$.
∵ $∠ECM=∠NCM,CM=CM,∴ △ECM≌△NCM(SAS)$,
∴ $S_{△ECM}=S_{△NCM}$.
∵ $AC=BC,CF$平分$∠ACB$,
∴ $AF=BF,∴ S_{△ACF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$.
∵ $S_{△AHM}+S_{△AFM}+S_{△CEM}=S_{△AMN}+S_{△AFM}+S_{△NCM}=S_{△ACF}$,
∴ $S_{△AHM}+S_{△AFM}+S_{△CEM}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$,故⑤正确.
∴ 正确的结论是①③⑤,共3个. 故选 B.

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(期中·河西区)在$△ ABC$中,$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:5$,则$∠ C=$°.

13. 90 【解析】
∵ $∠A:∠B:∠C=2:3:5$,
∴ 可设$∠A=2x,∠B=3x,∠C=5x$.
由$2x+3x+5x=180°$,解得$x=18°$,
∴ $∠C=5x=90°$. 故答案为 90.

14.小亮与小明做游戏，两人各报一个整式，使得商式是$2xy$，小明报的被除式是$x^3y - 2xy^2$，则小亮报的除式是。
y
x
y

14. $\frac{1}{2}x^2 - y$ 【解析】$(x^3y-2xy^2)÷2xy=\frac{1}{2}x^2-y$.
故答案为$\frac{1}{2}x^2-y$.

15.(期末·河北区)计算:$98^2 - 99 × 97 =$.

15. 1 【解析】原式$=98^2-(98+1)×(98-1)=98^2-(98^2-1)=98^2-98^2+1=1$. 故答案为 1.

16.(期末·和平区)用4张长为$x$,宽为$y(x＞y)$的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为$(x+y)$的正方形,图中空白部分的面积为$S_1$,阴影部分的面积为$S_2$,$S_2=2S_1$.若$x=\dfrac{5}{2}$,则$y=$.

16. $\frac{5}{4}$ 【解析】由题意可知,$S_2=2×\frac{1}{2}y·(x+y)+2×\frac{1}{2}xy+(x-y)^2=x^2+2y^2$,
$S_1=(x+y)^2-(x^2+2y^2)=2xy-y^2$.
∵ $S_2=2S_1,∴ x^2+2y^2=2(2xy-y^2)$,
∴ $x^2-4xy+4y^2=0$,
∴ $(x-2y)^2=0,∴ x-2y=0$.
∵ $x=\frac{5}{2},∴ y=\frac{5}{4}$. 故答案为$\frac{5}{4}$.