6.(月考·天津汇文中学)如图,在$△ ABC$中,BE是角平分线,AD⊥BE,垂足为D,求证:$∠2=∠1+∠ C$.

【证明】如图,延长 AD 交 BC 于点 F.
$\because BE$是角平分线，$AD⊥BE,$
$\therefore ∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90^{\circ }.$
在$△ADB$与$△FDB$中,$\begin{cases} ∠ABD=∠FBD,\\ BD=BD,\\ ∠ADB=∠FDB, \end{cases}$
$\therefore △ADB≌△FDB(ASA),\therefore AB=FB,$
$\therefore △ABF$是等腰三角形，且$∠2=∠AFB.$
又$\because ∠AFB=∠1+∠C,\therefore ∠2=∠1+∠C.$

7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$BD$ 是$∠ ABC$的平分线,过点 $C$ 作 $CE$ 垂直 $BD$ 的延长线于点 $E$.求证:$BD=2CE$.

7. 【证明】如图,延长 BA,CE 相交于点 F.
$\because BD$平分$∠ABC,BE⊥CF,$
$\therefore ∠FBE=∠CBE,∠BEF=∠BEC.$
又$\because BE=BE,$
$\therefore △BEC≌△BEF(SAS).$
$\therefore BF=BC,\therefore CE=EF,\therefore CF=2CE.$
$\because ∠BAC=90^{\circ }$,且$AB=AC,$
$\therefore ∠FAC=∠BAC=90^{\circ },∠ABC=∠ACB=45^{\circ },$
$\therefore ∠FBE=∠CBE=22.5^{\circ },\therefore ∠F=∠ADB=67.5^{\circ }.$
在$△ABD$和$△ACF$中,$\begin{cases} ∠ADB=∠F,\\ ∠DAB=∠FAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ABD≌△ACF(AAS),\therefore BD=CF,\therefore BD=2CE.$