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1. 圆的切线
垂直于
过切点
的半径。答案
1. 垂直于 切点
解析
【分析】
这道题考查圆的切线性质定理的基础识记，解题时首先明确考点为切线与半径的位置关系，回忆课本中切线的核心性质：切线和圆只有唯一公共点即切点，圆心到切线的距离等于半径，连接圆心和切点的线段就是对应的半径，由此可直接对应定理内容补全空缺。
【解析】
根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此第一个空填“垂直于”，第二个空填“切点”。
【答案】
垂直于；切点
【知识点】
圆的切线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对切线核心性质的记忆掌握，牢记基础定理内容即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查圆的切线性质定理的基础识记，解题时首先明确考点为切线与半径的位置关系，回忆课本中切线的核心性质：切线和圆只有唯一公共点即切点，圆心到切线的距离等于半径，连接圆心和切点的线段就是对应的半径，由此可直接对应定理内容补全空缺。
【解析】
根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此第一个空填“垂直于”，第二个空填“切点”。
【答案】
垂直于；切点
【知识点】
圆的切线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对切线核心性质的记忆掌握，牢记基础定理内容即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
•练习1 如图，$△ ABC$ 内接于$\odot O$，$∠ ACB=90°$，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P，$∠ P=28°$，则$∠ CAB=$(
A.$62°$
B.$31°$
C.$28°$
D.$56°$
归纳总结 当已知圆的切线和切点时，通常需要连接圆心和切点，可以得到切线与半径垂直，即“见切线，连半径，得垂线”。
B
)。A.$62°$
B.$31°$
C.$28°$
D.$56°$
归纳总结 当已知圆的切线和切点时，通常需要连接圆心和切点，可以得到切线与半径垂直，即“见切线，连半径，得垂线”。
答案
练习1 B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，看到圆的切线PC、切点为C，根据常用辅助线技巧，优先连接OC，由切线性质可得OC⊥PC，得到直角三角形OCP，结合已知∠P=28°可求出∠COP的度数；第二步，由∠ACB=90°可知AB是⊙O的直径，因此OA=OC，△AOC为等腰三角形，可得∠CAB=∠OCA；第三步，利用三角形外角的性质，∠COP是△AOC的外角，等于两个不相邻内角的和，即可推出∠CAB的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
在Rt△OCP中，∠P=28°，
∴∠COP=90°-∠P=90°-28°=62°，
∵OA和OC都是⊙O的半径，即OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
又
∵∠COP是△AOC的外角，
∴∠COP=∠CAB+∠OCA=2∠CAB，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠COP=$\frac{1}{2}$×62°=31°。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线构造方法，结合三角形的相关性质即可求解，属于圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，看到圆的切线PC、切点为C，根据常用辅助线技巧，优先连接OC，由切线性质可得OC⊥PC，得到直角三角形OCP，结合已知∠P=28°可求出∠COP的度数；第二步，由∠ACB=90°可知AB是⊙O的直径，因此OA=OC，△AOC为等腰三角形，可得∠CAB=∠OCA；第三步，利用三角形外角的性质，∠COP是△AOC的外角，等于两个不相邻内角的和，即可推出∠CAB的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
在Rt△OCP中，∠P=28°，
∴∠COP=90°-∠P=90°-28°=62°，
∵OA和OC都是⊙O的半径，即OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
又
∵∠COP是△AOC的外角，
∴∠COP=∠CAB+∠OCA=2∠CAB，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠COP=$\frac{1}{2}$×62°=31°。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线构造方法，结合三角形的相关性质即可求解，属于圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
2.经过半径的
外端
并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线。答案
2. 外端 垂直于
解析
【分析】
本题考查圆的切线判定定理的识记，解题时需回忆切线判定的两个核心条件：一是直线要和半径的端点位置匹配，二是直线和半径的角度关系要满足要求，两个条件同时具备才能判定直线是圆的切线，缺少任意一个都不符合切线判定的要求。
【解析】
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此两个空依次填入外端、垂直于。
【答案】
外端 垂直于
【知识点】
圆的切线判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对切线判定定理内容的准确记忆，两个判定条件缺一不可，牢固掌握该定理是解决切线证明、切线相关计算等题型的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的切线判定定理的识记，解题时需回忆切线判定的两个核心条件：一是直线要和半径的端点位置匹配，二是直线和半径的角度关系要满足要求，两个条件同时具备才能判定直线是圆的切线，缺少任意一个都不符合切线判定的要求。
【解析】
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此两个空依次填入外端、垂直于。
【答案】
外端 垂直于
【知识点】
圆的切线判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对切线判定定理内容的准确记忆，两个判定条件缺一不可，牢固掌握该定理是解决切线证明、切线相关计算等题型的前提。
【难度系数】
0.9
•练习2 如图，$\odot O$是$△ ACD$的外接圆，$CD$是$\odot O$的直径，$B$为$\odot O$外一点，且$∠ BAD=∠ C$. 求证：$AB$是$\odot O$的切线. 
答案
证明：连接OA，
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CAD = 90°，即∠C + ∠D = 90°，
∵ OA = OD，
∴ ∠D = ∠OAD，
又∵ ∠BAD = ∠C，
∴ ∠BAD + ∠OAD = ∠C + ∠D = 90°，
即∠OAB = 90°，
∴ OA⊥AB，
又∵ OA是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线。
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CAD = 90°，即∠C + ∠D = 90°，
∵ OA = OD，
∴ ∠D = ∠OAD，
又∵ ∠BAD = ∠C，
∴ ∠BAD + ∠OAD = ∠C + ∠D = 90°，
即∠OAB = 90°，
∴ OA⊥AB，
又∵ OA是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明AB垂直于过切点的半径，因此首先连接OA，目标为证明$∠ OAB=90°$。已知CD是直径，由直径所对的圆周角为直角可得$∠ CAD=90°$，即$∠ C+∠ D=90°$；再结合等腰三角形$OAD$的性质得$∠ D=∠ OAD$，搭配题目给出的$∠ BAD=∠ C$，通过角度等量代换即可推出$∠ OAB=90°$，完成证明。
【解析】
证明：连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD = 90°$，即$∠ C + ∠ D = 90°$，
∵ OA = OD，
∴ $∠ D = ∠ OAD$，
又
∵ $∠ BAD = ∠ C$，
∴ $∠ BAD + ∠ OAD = ∠ C + ∠ D = 90°$，
即$∠ OAB = 90°$，
∴ OA⊥AB，
又
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ AB是$\odot O$的切线。
【答案】
AB是$\odot O$的切线，证明过程如上。
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是切线判定的基础常规题，解题核心是掌握切线证明的常用思路“连半径，证垂直”，结合圆的相关性质和等腰三角形性质完成角度代换即可求解，是圆类证明题的基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明AB垂直于过切点的半径，因此首先连接OA，目标为证明$∠ OAB=90°$。已知CD是直径，由直径所对的圆周角为直角可得$∠ CAD=90°$，即$∠ C+∠ D=90°$；再结合等腰三角形$OAD$的性质得$∠ D=∠ OAD$，搭配题目给出的$∠ BAD=∠ C$，通过角度等量代换即可推出$∠ OAB=90°$，完成证明。
【解析】
证明：连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD = 90°$，即$∠ C + ∠ D = 90°$，
∵ OA = OD，
∴ $∠ D = ∠ OAD$，
又
∵ $∠ BAD = ∠ C$，
∴ $∠ BAD + ∠ OAD = ∠ C + ∠ D = 90°$，
即$∠ OAB = 90°$，
∴ OA⊥AB，
又
∵ OA是$\odot O$的半径，
∴ AB是$\odot O$的切线。
【答案】
AB是$\odot O$的切线，证明过程如上。
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是切线判定的基础常规题，解题核心是掌握切线证明的常用思路“连半径，证垂直”，结合圆的相关性质和等腰三角形性质完成角度代换即可求解，是圆类证明题的基础题型。
【难度系数】
0.8
1.如图，直线$l$是$\odot O$的切线，$A$为切点，$B$为直线$l$上一点，连接$OB$交$\odot O$于点$C$。若$AB=12$，$OA=5$，则$BC$的长为（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
1. D
解析
【分析】
首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥AB，即△OAB是直角三角形。已知直角边OA和AB的长度，可通过勾股定理求出斜边OB的长度；又因为OC是⊙O的半径，长度等于OA，最后用OB的长度减去OC的长度，即可得到BC的长。
【解析】
∵直线$l$是$\odot O$的切线，$A$为切点，
∴$OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$OA=5$，$AB=12$，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
∵$OC$是$\odot O$的半径，
∴$OC=OA=5$，
∴$BC=OB-OC=13-5=8$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；勾股定理；圆的半径性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的关键是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理和圆的半径相等的特点计算线段长度。
【难度系数】
0.8
首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥AB，即△OAB是直角三角形。已知直角边OA和AB的长度，可通过勾股定理求出斜边OB的长度；又因为OC是⊙O的半径，长度等于OA，最后用OB的长度减去OC的长度，即可得到BC的长。
【解析】
∵直线$l$是$\odot O$的切线，$A$为切点，
∴$OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$OA=5$，$AB=12$，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
∵$OC$是$\odot O$的半径，
∴$OC=OA=5$，
∴$BC=OB-OC=13-5=8$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；勾股定理；圆的半径性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的关键是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理和圆的半径相等的特点计算线段长度。
【难度系数】
0.8
2.如图,点B在$\odot A$上,点C在$\odot A$外,以下条件不能判定BC是$\odot A$的切线的是(
A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B - ∠ C = ∠ A$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$\odot A$与AC的交点是AC的中点
D
).A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B - ∠ C = ∠ A$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$\odot A$与AC的交点是AC的中点
答案
2. D
解析
【分析】
要判定BC是⊙A的切线，已知点B在⊙A上，AB是⊙A的半径，因此只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。我们逐一分析每个选项是否能推出∠ABC=90°，进而判断能否判定BC是切线。
【解析】
已知点B在⊙A上，因此AB是⊙A的半径，若BC是⊙A的切线，则需满足AB⊥BC，即△ABC中∠ABC=90°。
选项A：已知∠A=50°，∠C=40°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-50°-40°=90°，即AB⊥BC，能判定BC是⊙A的切线，不符合题意。
选项B：已知∠B - ∠C = ∠A，即∠B=∠A+∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠B+∠B=180°，解得∠B=90°，即AB⊥BC，能判定BC是⊙A的切线，不符合题意。
选项C：由AB²+BC²=AC²，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠B=90°，即AB⊥BC，能判定BC是⊙A的切线，不符合题意。
选项D：⊙A与AC的交点是AC的中点，仅能推出AC=2AB，无法证明∠B=90°，因此不能判定BC是⊙A的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定定理；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题围绕切线的判定条件设置，解题核心是明确“已知切点时，证明半径与直线垂直即可判定切线”，结合三角形的基础性质逐一排查选项即可，易错点是对D选项的分析，注意仅两边存在两倍关系无法直接推出三角形为直角三角形。
【难度系数】
0.7
要判定BC是⊙A的切线，已知点B在⊙A上，AB是⊙A的半径，因此只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。我们逐一分析每个选项是否能推出∠ABC=90°，进而判断能否判定BC是切线。
【解析】
已知点B在⊙A上，因此AB是⊙A的半径，若BC是⊙A的切线，则需满足AB⊥BC，即△ABC中∠ABC=90°。
选项A：已知∠A=50°，∠C=40°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-50°-40°=90°，即AB⊥BC，能判定BC是⊙A的切线，不符合题意。
选项B：已知∠B - ∠C = ∠A，即∠B=∠A+∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠B+∠B=180°，解得∠B=90°，即AB⊥BC，能判定BC是⊙A的切线，不符合题意。
选项C：由AB²+BC²=AC²，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠B=90°，即AB⊥BC，能判定BC是⊙A的切线，不符合题意。
选项D：⊙A与AC的交点是AC的中点，仅能推出AC=2AB，无法证明∠B=90°，因此不能判定BC是⊙A的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定定理；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题围绕切线的判定条件设置，解题核心是明确“已知切点时，证明半径与直线垂直即可判定切线”，结合三角形的基础性质逐一排查选项即可，易错点是对D选项的分析，注意仅两边存在两倍关系无法直接推出三角形为直角三角形。
【难度系数】
0.7
