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3.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，D是$\odot O$外一点，过点A作$AE ⊥ CD$，垂足为E，连接OC。若使CD切$\odot O$于点C，添加的下列条件中，不正确的是(
A.$OC // AE$
B.$∠ OAC = ∠ CAE$
C.$∠ OCA = ∠ CAE$
D.$OA = AC$
D
).A.$OC // AE$
B.$∠ OAC = ∠ CAE$
C.$∠ OCA = ∠ CAE$
D.$OA = AC$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断CD是否为⊙O的切线，已知点C在⊙O上，根据切线的判定定理，只需证明OC⊥CD即可。已知AE⊥CD，可得∠E=90°，因此只需判断各选项能否推出OC//AE，进而得到OC⊥CD，即可确定条件是否成立。
【解析】
已知AE⊥CD，故∠AEC=90°。
选项A：若OC//AE，根据平行线的性质，∠OCE=∠AEC=90°，即OC⊥CD，又C在⊙O上，因此CD是⊙O的切线，A不符合题意；
选项B：若∠OAC=∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，等量代换得∠OCA=∠CAE，可推出OC//AE，同理得∠OCE=90°，OC⊥CD，CD是⊙O的切线，B不符合题意；
选项C：若∠OCA=∠CAE，可直接推出OC//AE，同理得∠OCE=90°，OC⊥CD，CD是⊙O的切线，C不符合题意；
选项D：若OA=AC，结合OA=OC，可得△OAC是等边三角形，仅能得到∠OAC=60°，无法推出∠CAE与∠OCA的关系，不能证明OC⊥CD，因此无法判定CD是⊙O的切线，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕切线的判定条件展开，结合了等腰三角形、平行线的性质考查，解题的核心是将切线判定问题转化为证明OC与CD垂直的问题，再结合选项逐一推导验证即可。
【难度系数】
0.7
要判断CD是否为⊙O的切线，已知点C在⊙O上，根据切线的判定定理，只需证明OC⊥CD即可。已知AE⊥CD，可得∠E=90°，因此只需判断各选项能否推出OC//AE，进而得到OC⊥CD，即可确定条件是否成立。
【解析】
已知AE⊥CD，故∠AEC=90°。
选项A：若OC//AE，根据平行线的性质，∠OCE=∠AEC=90°，即OC⊥CD，又C在⊙O上，因此CD是⊙O的切线，A不符合题意；
选项B：若∠OAC=∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，等量代换得∠OCA=∠CAE，可推出OC//AE，同理得∠OCE=90°，OC⊥CD，CD是⊙O的切线，B不符合题意；
选项C：若∠OCA=∠CAE，可直接推出OC//AE，同理得∠OCE=90°，OC⊥CD，CD是⊙O的切线，C不符合题意；
选项D：若OA=AC，结合OA=OC，可得△OAC是等边三角形，仅能得到∠OAC=60°，无法推出∠CAE与∠OCA的关系，不能证明OC⊥CD，因此无法判定CD是⊙O的切线，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕切线的判定条件展开，结合了等腰三角形、平行线的性质考查，解题的核心是将切线判定问题转化为证明OC与CD垂直的问题，再结合选项逐一推导验证即可。
【难度系数】
0.7
4.如图,射线AB与⊙O相切于点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D,C,连接BC.若∠A=40°,则∠ACB=
25
°.答案
4. 25
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质特征，遇到切线可连接切点与圆心构造垂直关系，因此先连接OB，得到OB⊥AB；接下来在直角三角形ABO中利用直角三角形两锐角互余求出∠AOB的度数；再结合同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵射线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠A=40°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB，
又
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB÷2=50°÷2=25°。
【答案】
25
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是掌握切线的性质，通过连接切点与圆心构造直角三角形，再结合三角形的相关性质求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据切线的性质特征，遇到切线可连接切点与圆心构造垂直关系，因此先连接OB，得到OB⊥AB；接下来在直角三角形ABO中利用直角三角形两锐角互余求出∠AOB的度数；再结合同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵射线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠A=40°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB，
又
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB÷2=50°÷2=25°。
【答案】
25
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是掌握切线的性质，通过连接切点与圆心构造直角三角形，再结合三角形的相关性质求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
5.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切,切点为A.若∠MAB=30°,则∠B的度数为
60
°。答案
5. 60
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：MN是⊙O的切线、A为切点，BC是⊙O的直径，∠MAB=30°。首先根据切线相关的弦切角定理，可得到∠MAB和它所夹弧对应的圆周角∠ACB相等；再结合直径所对圆周角是直角的性质，可知△ABC是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵MN与⊙O相切，切点为A，根据弦切角定理，弦切角等于其夹弧所对的圆周角
∴∠ACB = ∠MAB = 30°
又
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC = 90°（直径所对的圆周角为直角）
在Rt△ABC中，两锐角互余，即∠B + ∠ACB = 90°
∴∠B = 90° - 30° = 60°
【答案】
60
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的切线、圆周角相关定理，能快速建立已知角和未知角的等量关系，只要牢记基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：MN是⊙O的切线、A为切点，BC是⊙O的直径，∠MAB=30°。首先根据切线相关的弦切角定理，可得到∠MAB和它所夹弧对应的圆周角∠ACB相等；再结合直径所对圆周角是直角的性质，可知△ABC是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵MN与⊙O相切，切点为A，根据弦切角定理，弦切角等于其夹弧所对的圆周角
∴∠ACB = ∠MAB = 30°
又
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC = 90°（直径所对的圆周角为直角）
在Rt△ABC中，两锐角互余，即∠B + ∠ACB = 90°
∴∠B = 90° - 30° = 60°
【答案】
60
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的切线、圆周角相关定理，能快速建立已知角和未知角的等量关系，只要牢记基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，A，B是$\odot O$上的两点，AC是过点A的一条直线，如果$∠ AOB=120°$，那么当$∠ CAB$的度数为________时，AC与$\odot O$相切.
答案
60°
解析
【分析】
要使AC与$\odot O$相切，根据切线的性质，过切点的半径与切线垂直，可得$OA⊥ AC$，即$∠ OAC=90°$。接下来只需求出$∠ OAB$的度数，用$∠ OAC$减去$∠ OAB$即可得到$∠ CAB$的度数。已知OA、OB都是$\odot O$的半径，$△ OAB$为等腰三角形，结合已知$∠ AOB=120°$，利用等腰三角形内角和性质即可求出$∠ OAB$。
【解析】
若AC与$\odot O$相切，根据切线的性质可得：$OA ⊥ AC$，即$∠ OAC=90°$。
$\because OA=OB$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OAB$是等腰三角形，$∠ OAB=∠ OBA$。
$\because ∠ AOB=120°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ OAB=\frac{180° - ∠ AOB}{2}=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
$\therefore ∠ CAB=∠ OAC - ∠ OAB=90° - 30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的关键是掌握切线垂直于过切点的半径这一核心性质，结合等腰三角形的角度计算即可求解，是切线相关知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
要使AC与$\odot O$相切，根据切线的性质，过切点的半径与切线垂直，可得$OA⊥ AC$，即$∠ OAC=90°$。接下来只需求出$∠ OAB$的度数，用$∠ OAC$减去$∠ OAB$即可得到$∠ CAB$的度数。已知OA、OB都是$\odot O$的半径，$△ OAB$为等腰三角形，结合已知$∠ AOB=120°$，利用等腰三角形内角和性质即可求出$∠ OAB$。
【解析】
若AC与$\odot O$相切，根据切线的性质可得：$OA ⊥ AC$，即$∠ OAC=90°$。
$\because OA=OB$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OAB$是等腰三角形，$∠ OAB=∠ OBA$。
$\because ∠ AOB=120°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ OAB=\frac{180° - ∠ AOB}{2}=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
$\therefore ∠ CAB=∠ OAC - ∠ OAB=90° - 30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的关键是掌握切线垂直于过切点的半径这一核心性质，结合等腰三角形的角度计算即可求解，是切线相关知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
7.以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC按如图所示方式摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P.若点P的读数为$40°$，则$∠ CBD$的度数是
40°
.答案
7. 40°
解析
【分析】
解题时首先根据“量角器与三角尺只有一个公共点P”，可判断AB是量角器所在圆的切线，结合切线性质得到OP⊥AB；再由直角三角尺的直角特征可得BC⊥AB，进而推出OP与BC平行；接下来根据量角器的读数得到∠POB的度数，最后利用平行线的同位角相等即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵量角器与三角尺ABC只有一个公共点P，
∴AB是量角器所在⊙O的切线，P为切点，
根据切线的性质可得：$OP⊥ AB$。
∵△ABC是直角三角尺，直角顶点为B，
∴$∠ ABC=90°$，即$BC⊥ AB$。
∵$OP⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
∴$OP// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵点P的读数为$40°$，
∴$∠ POB=40°$。
∵$OP// BC$，
∴$∠ CBD=∠ POB=40°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；量角器的读数
【点评】
本题结合实物操作场景考查几何基础知识点的应用，解题的关键是从“只有一个公共点”的条件挖掘出切线的隐含结论，再通过垂直关系推导平行线，进而转化角度求解，题目贴合实际，注重对基础概念和性质的理解应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“量角器与三角尺只有一个公共点P”，可判断AB是量角器所在圆的切线，结合切线性质得到OP⊥AB；再由直角三角尺的直角特征可得BC⊥AB，进而推出OP与BC平行；接下来根据量角器的读数得到∠POB的度数，最后利用平行线的同位角相等即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵量角器与三角尺ABC只有一个公共点P，
∴AB是量角器所在⊙O的切线，P为切点，
根据切线的性质可得：$OP⊥ AB$。
∵△ABC是直角三角尺，直角顶点为B，
∴$∠ ABC=90°$，即$BC⊥ AB$。
∵$OP⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
∴$OP// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵点P的读数为$40°$，
∴$∠ POB=40°$。
∵$OP// BC$，
∴$∠ CBD=∠ POB=40°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；量角器的读数
【点评】
本题结合实物操作场景考查几何基础知识点的应用，解题的关键是从“只有一个公共点”的条件挖掘出切线的隐含结论，再通过垂直关系推导平行线，进而转化角度求解，题目贴合实际，注重对基础概念和性质的理解应用。
【难度系数】
0.7
8.(2025·广东)如图,点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D.求证:AD平分$∠ BAC$.
答案
证明：
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
又∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠ODA = ∠OAD，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
又∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠ODA = ∠OAD，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是要证∠OAD=∠DAB。首先遇到圆的切线问题，常用辅助线是连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系：连接OD后可得OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°即AB⊥BC，可推出OD//AB，根据平行线的内错角相等可得∠ODA=∠DAB；再利用同圆半径相等得到OA=OD，由等腰三角形两底角相等得∠ODA=∠OAD，最后通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
又
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠ODA = ∠OAD，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础证明题，解题关键是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点得到垂直关系，再结合平行线、等腰三角形的性质进行角的等量代换即可得证，是切线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，本质是要证∠OAD=∠DAB。首先遇到圆的切线问题，常用辅助线是连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系：连接OD后可得OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°即AB⊥BC，可推出OD//AB，根据平行线的内错角相等可得∠ODA=∠DAB；再利用同圆半径相等得到OA=OD，由等腰三角形两底角相等得∠ODA=∠OAD，最后通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
又
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠ODA = ∠OAD，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础证明题，解题关键是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点得到垂直关系，再结合平行线、等腰三角形的性质进行角的等量代换即可得证，是切线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
9.如图，AB是$\odot O$的弦，$OA⊥ OD$，AB，OD相交于点C，且$CD=BD$。
（1）判断BD与$\odot O$的位置关系，并证明你的结论；
（2）当$OA=3$，$OC=1$时，求线段BD的长。
（1）判断BD与$\odot O$的位置关系，并证明你的结论；
（2）当$OA=3$，$OC=1$时，求线段BD的长。
答案
9. (1) BD 与$\odot O$相切.证明略.
(2) 4
(2) 4
解析
【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系时，若直线过圆上已知点，优先采用“连半径，证垂直”的思路：连接半径OB，结合等腰三角形等边对等角的性质、OA⊥OD的直角关系，通过对顶角相等做等量代换，推导得出∠OBD=90°即可证明BD是切线。
（2）求线段长可采用方程思想，设BD为x，由CD=BD可表示出OD的长度，在Rt△OBD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）BD与$\odot O$相切，证明如下：
连接OB，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA$，
∵$OA⊥ OD$，
∴$∠ AOC=90°$，
∴$∠ OAC+∠ OCA=90°$，
∵$CD=BD$，
∴$∠ DCB=∠ DBC$，
又
∵$∠ OCA=∠ DCB$（对顶角相等），
∴$∠ OCA=∠ DBC$，
代入角的和差关系得：$∠ OBA+∠ DBC=∠ OAC+∠ OCA=90°$，即$∠ OBD=90°$，
∴$OB⊥ BD$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴BD与$\odot O$相切。
（2）设$BD=x$，
∵$CD=BD$，
∴$CD=x$，
∴$OD=OC+CD=1+x$，
已知$OB=OA=3$，且$∠ OBD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：$OB^2+BD^2=OD^2$，
代入数值：$3^2+x^2=(1+x)^2$，
展开化简：$9+x^2=1+2x+x^2$，$2x=8$，
解得$x=4$，即线段BD的长为4。
【答案】
(1) BD与$\odot O$相切；
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，是切线判定类的典型考法，解题的关键是掌握切线的判定逻辑，灵活运用角的等量代换和方程思想求解线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）判断直线与圆的位置关系时，若直线过圆上已知点，优先采用“连半径，证垂直”的思路：连接半径OB，结合等腰三角形等边对等角的性质、OA⊥OD的直角关系，通过对顶角相等做等量代换，推导得出∠OBD=90°即可证明BD是切线。
（2）求线段长可采用方程思想，设BD为x，由CD=BD可表示出OD的长度，在Rt△OBD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）BD与$\odot O$相切，证明如下：
连接OB，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA$，
∵$OA⊥ OD$，
∴$∠ AOC=90°$，
∴$∠ OAC+∠ OCA=90°$，
∵$CD=BD$，
∴$∠ DCB=∠ DBC$，
又
∵$∠ OCA=∠ DCB$（对顶角相等），
∴$∠ OCA=∠ DBC$，
代入角的和差关系得：$∠ OBA+∠ DBC=∠ OAC+∠ OCA=90°$，即$∠ OBD=90°$，
∴$OB⊥ BD$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴BD与$\odot O$相切。
（2）设$BD=x$，
∵$CD=BD$，
∴$CD=x$，
∴$OD=OC+CD=1+x$，
已知$OB=OA=3$，且$∠ OBD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：$OB^2+BD^2=OD^2$，
代入数值：$3^2+x^2=(1+x)^2$，
展开化简：$9+x^2=1+2x+x^2$，$2x=8$，
解得$x=4$，即线段BD的长为4。
【答案】
(1) BD与$\odot O$相切；
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，是切线判定类的典型考法，解题的关键是掌握切线的判定逻辑，灵活运用角的等量代换和方程思想求解线段长度。
【难度系数】
0.7
