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3.已知$\odot O$的半径为5，直线$l$与$\odot O$有两个公共点，则点$O$到直线$l$的距离可能是(
A.3
B.5
C.7
D.9
A
).A.3
B.5
C.7
D.9
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直线与圆的位置关系的判定规则：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，三种位置关系对应如下：①当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；②当d=r时，直线与圆相切，只有1个公共点；③当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。本题已知圆半径r=5，直线和圆有2个公共点，说明直线与圆相交，先求出d的取值范围，再对比选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题可知$r=5$，直线$l$与$\odot O$有两个公共点，说明直线$l$与$\odot O$相交，根据相交的判定条件可得：
$d＜r$，即$d＜5$。
对比选项：
A选项$3＜5$，符合条件；
B选项$d=5=r$，此时直线与圆相切，只有1个公共点，不符合；
C选项$7＞5$、D选项$9＞5$，此时直线与圆相离，无公共点，均不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础的位置关系判定题，解题核心是熟记直线与圆不同位置下，圆心到直线的距离与半径的大小关系、对应公共点的个数，结合题意列简单不等式即可判断。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆直线与圆的位置关系的判定规则：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，三种位置关系对应如下：①当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；②当d=r时，直线与圆相切，只有1个公共点；③当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。本题已知圆半径r=5，直线和圆有2个公共点，说明直线与圆相交，先求出d的取值范围，再对比选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题可知$r=5$，直线$l$与$\odot O$有两个公共点，说明直线$l$与$\odot O$相交，根据相交的判定条件可得：
$d＜r$，即$d＜5$。
对比选项：
A选项$3＜5$，符合条件；
B选项$d=5=r$，此时直线与圆相切，只有1个公共点，不符合；
C选项$7＞5$、D选项$9＞5$，此时直线与圆相离，无公共点，均不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础的位置关系判定题，解题核心是熟记直线与圆不同位置下，圆心到直线的距离与半径的大小关系、对应公共点的个数，结合题意列简单不等式即可判断。
【难度系数】
0.9
4.已知$\odot O$的半径等于5，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为5，那么直线l与$\odot O$的位置关系是(
A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切
D
).A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切
答案
4. D
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。本题已知圆心$O$到直线$l$上一点$P$的距离为5（等于半径），需注意$OP$是点到点的距离，不等同于圆心到直线的距离$d$。根据垂线段最短的性质，$d≤ OP=5$，因此分两种情况讨论即可得出结论。
【解析】
设圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，$\odot O$的半径$r=5$。
已知点$P$在直线$l$上，且$OP=5$，根据垂线段最短的性质，可得$d≤ OP=5$，即$d≤ r$：
① 当$d=r=5$时，此时$OP⊥ l$，直线$l$与$\odot O$相切；
② 当$d＜r=5$时，此时$OP$不垂直于$l$，直线$l$与$\odot O$相交。
因此直线$l$与$\odot O$的位置关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.垂线段的性质
【点评】
本题易误将圆心到直线上点的距离当成圆心到直线的距离，错选相切的结论。解题关键是明确点到点的距离和点到直线的距离的区别，结合分类讨论思想分析两种可能的位置关系。
【难度系数】
0.7
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。本题已知圆心$O$到直线$l$上一点$P$的距离为5（等于半径），需注意$OP$是点到点的距离，不等同于圆心到直线的距离$d$。根据垂线段最短的性质，$d≤ OP=5$，因此分两种情况讨论即可得出结论。
【解析】
设圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，$\odot O$的半径$r=5$。
已知点$P$在直线$l$上，且$OP=5$，根据垂线段最短的性质，可得$d≤ OP=5$，即$d≤ r$：
① 当$d=r=5$时，此时$OP⊥ l$，直线$l$与$\odot O$相切；
② 当$d＜r=5$时，此时$OP$不垂直于$l$，直线$l$与$\odot O$相交。
因此直线$l$与$\odot O$的位置关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.垂线段的性质
【点评】
本题易误将圆心到直线上点的距离当成圆心到直线的距离，错选相切的结论。解题关键是明确点到点的距离和点到直线的距离的区别，结合分类讨论思想分析两种可能的位置关系。
【难度系数】
0.7
5.在平面直角坐标系中，以点$A(4,3)$为圆心，以$R$为半径作$\odot A$与$x$轴相交，且原点$O$在$\odot A$的外部，那么半径$R$的取值范围是(
A.$0＜R＜5$
B.$3＜R＜4$
C.$3＜R＜5$
D.$4＜R＜5$
C
).A.$0＜R＜5$
B.$3＜R＜4$
C.$3＜R＜5$
D.$4＜R＜5$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时需结合两个限制条件分别推导R的取值范围，再取公共部分：首先回忆直线与圆相交的判定规则：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可先求出圆心A到x轴的距离，得到R的第一个取值范围；再回忆点在圆外的判定规则：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，利用勾股定理求出点A到原点O的距离，得到R的第二个取值范围，最后合并两个范围即可得到答案。
【解析】
解：1. 由点A的坐标为$(4,3)$，可知点A到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，即$d_1=3$。
因为$\odot A$与x轴相交，根据直线与圆相交的条件：$R＞d_1$，可得$R＞3$。
2. 利用勾股定理计算点A到原点O的距离：$OA=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$。
因为原点O在$\odot A$的外部，根据点在圆外的条件：$OA＞R$，可得$R＜5$。
3. 综合两个条件，可得R的取值范围为$3＜R＜5$。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，同时考查了直线和圆、点和圆的位置关系的判定方法，解题时要注意区分圆心到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，避免混淆导致取值范围计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合两个限制条件分别推导R的取值范围，再取公共部分：首先回忆直线与圆相交的判定规则：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可先求出圆心A到x轴的距离，得到R的第一个取值范围；再回忆点在圆外的判定规则：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，利用勾股定理求出点A到原点O的距离，得到R的第二个取值范围，最后合并两个范围即可得到答案。
【解析】
解：1. 由点A的坐标为$(4,3)$，可知点A到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，即$d_1=3$。
因为$\odot A$与x轴相交，根据直线与圆相交的条件：$R＞d_1$，可得$R＞3$。
2. 利用勾股定理计算点A到原点O的距离：$OA=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$。
因为原点O在$\odot A$的外部，根据点在圆外的条件：$OA＞R$，可得$R＜5$。
3. 综合两个条件，可得R的取值范围为$3＜R＜5$。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，同时考查了直线和圆、点和圆的位置关系的判定方法，解题时要注意区分圆心到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，避免混淆导致取值范围计算错误。
【难度系数】
0.7
6.(教材 P150 练习 T2 变式)如图，P 为∠AOB 的边 OA 上一点，∠AOB = 45°，OP = 4 cm，以点 P 为圆心，2 cm 长为半径的圆与直线 OB 的位置关系是(
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
A
).A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
答案
6. A
解析
【分析】
要判断圆与直线OB的位置关系，核心方法是比较圆心P到直线OB的距离d与圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。因此首先需要过点P作OB的垂线段，求出该垂线段的长度，再与半径2cm比较即可得出结论。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，此时PD的长度就是圆心P到直线OB的距离d。
在Rt△OPD中，∠PDO=90°，∠AOB=45°，OP=4cm，
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ O=\frac{PD}{OP}$，
所以$PD=OP·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\approx2.828\ \mathrm{cm}$。
已知圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，可得$PD=2\sqrt{2}＞2$，即$d＞r$，
因此以P为圆心、2cm为半径的圆与直线OB相离。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，通过作垂线求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要判断圆与直线OB的位置关系，核心方法是比较圆心P到直线OB的距离d与圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。因此首先需要过点P作OB的垂线段，求出该垂线段的长度，再与半径2cm比较即可得出结论。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，此时PD的长度就是圆心P到直线OB的距离d。
在Rt△OPD中，∠PDO=90°，∠AOB=45°，OP=4cm，
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ O=\frac{PD}{OP}$，
所以$PD=OP·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\approx2.828\ \mathrm{cm}$。
已知圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，可得$PD=2\sqrt{2}＞2$，即$d＞r$，
因此以P为圆心、2cm为半径的圆与直线OB相离。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，通过作垂线求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得到结果。
【难度系数】
0.7
7.已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^2 -7x +12=0$的一个根，圆心O到直线l的距离$d=3$，则直线l与$\odot O$的位置关系是（
A.相交
B.相切
C.相离或相切
D.相交或相切
D
）。A.相交
B.相切
C.相离或相切
D.相交或相切
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这道题我们可按两步思考：第一步先求解一元二次方程，得到圆半径的所有可能取值；第二步根据直线与圆位置关系的判定规则，将不同的半径取值分别与圆心到直线的距离d比较，判断对应情况下的位置关系，最后综合所有情况得出最终结论。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得：
$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即$\odot O$的半径$r$为3或4。
根据直线与圆的位置关系判定规则：
1. 当$r=3$时，$d=3=r$，此时直线l与$\odot O$相切；
2. 当$r=4$时，$d=3＜r$，此时直线l与$\odot O$相交。
综上，直线l与$\odot O$的位置关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意半径有两个取值，要分情况讨论后再综合结论，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题我们可按两步思考：第一步先求解一元二次方程，得到圆半径的所有可能取值；第二步根据直线与圆位置关系的判定规则，将不同的半径取值分别与圆心到直线的距离d比较，判断对应情况下的位置关系，最后综合所有情况得出最终结论。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得：
$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即$\odot O$的半径$r$为3或4。
根据直线与圆的位置关系判定规则：
1. 当$r=3$时，$d=3=r$，此时直线l与$\odot O$相切；
2. 当$r=4$时，$d=3＜r$，此时直线l与$\odot O$相交。
综上，直线l与$\odot O$的位置关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意半径有两个取值，要分情况讨论后再综合结论，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】
0.7
8.在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$AB=5$，以点$C$为圆心，$R$为半径画圆.若$\odot C$与边$AB$只有一个公共点，则$R$的取值范围是(
A.$R=\dfrac{12}{5}$
B.$3≤ R≤ 4$
C.$0＜R＜3$或$R＞4$
D.$3＜R≤ 4$或$R=\dfrac{12}{5}$
D
).A.$R=\dfrac{12}{5}$
B.$3≤ R≤ 4$
C.$0＜R＜3$或$R＞4$
D.$3＜R≤ 4$或$R=\dfrac{12}{5}$
答案
8. D
解析
【分析】
解决本题首先需要先求出直角三角形ABC的各边长以及斜边AB上的高，再分两种情况讨论⊙C与边AB只有一个公共点的情形：一是圆与AB所在直线相切，此时仅有一个公共点；二是圆与线段AB相交，且仅与线段交于一点，此时需要结合点A、B到圆心C的距离判断半径的取值范围，注意排除临界值下有两个公共点的情况。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
过点C作CD⊥AB于点D，
由三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数据得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
分两种情况讨论：
① 当⊙C与AB所在直线相切时，圆与AB只有1个公共点，此时半径$R=CD=\frac{12}{5}$，符合要求；
② 当$\odot C$与线段AB相交，且只有1个公共点时，需满足点B在圆内、点A在圆上或圆外，即$BC＜R≤AC$，代入得$3＜R≤4$，此时线段AB与圆只有1个公共点，符合要求。
综上，R的取值范围是$3＜R≤4$或$R=\frac{12}{5}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题易错点在于只考虑相切的情况，忽略线段与圆相交仅一个交点的情形，同时要注意R=3时圆与线段AB有两个公共点，不符合要求，解题时要注意区分直线与圆、线段与圆位置关系的差异。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要先求出直角三角形ABC的各边长以及斜边AB上的高，再分两种情况讨论⊙C与边AB只有一个公共点的情形：一是圆与AB所在直线相切，此时仅有一个公共点；二是圆与线段AB相交，且仅与线段交于一点，此时需要结合点A、B到圆心C的距离判断半径的取值范围，注意排除临界值下有两个公共点的情况。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
过点C作CD⊥AB于点D，
由三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数据得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
分两种情况讨论：
① 当⊙C与AB所在直线相切时，圆与AB只有1个公共点，此时半径$R=CD=\frac{12}{5}$，符合要求；
② 当$\odot C$与线段AB相交，且只有1个公共点时，需满足点B在圆内、点A在圆上或圆外，即$BC＜R≤AC$，代入得$3＜R≤4$，此时线段AB与圆只有1个公共点，符合要求。
综上，R的取值范围是$3＜R≤4$或$R=\frac{12}{5}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题易错点在于只考虑相切的情况，忽略线段与圆相交仅一个交点的情形，同时要注意R=3时圆与线段AB有两个公共点，不符合要求，解题时要注意区分直线与圆、线段与圆位置关系的差异。
【难度系数】
0.6
9.两同心圆的半径分别是10和6，大圆的弦AB长16，则AB与小圆的位置关系是
相切
.答案
9. 相切
解析
【分析】
要判断弦AB与小圆的位置关系，核心是求出同心圆的圆心到AB的距离，再将该距离与小圆半径对比：若距离等于半径则相切，大于半径则相离，小于半径则相交。解题时先过圆心作AB的垂线，结合垂径定理得到垂线段对应的直角边长，再用勾股定理算出圆心到AB的距离，最后和小圆半径比较即可得出结论。
【解析】
设两同心圆的圆心为O，过点O作$OC⊥ AB$于点C。
根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$
在$Rt△ OAC$中，OA为大圆半径，即$OA=10$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$
已知小圆半径为6，即圆心O到AB的距离等于小圆半径，因此AB与小圆相切。
【答案】
相切
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，结合圆的性质和勾股定理计算出圆心到直线的距离即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断弦AB与小圆的位置关系，核心是求出同心圆的圆心到AB的距离，再将该距离与小圆半径对比：若距离等于半径则相切，大于半径则相离，小于半径则相交。解题时先过圆心作AB的垂线，结合垂径定理得到垂线段对应的直角边长，再用勾股定理算出圆心到AB的距离，最后和小圆半径比较即可得出结论。
【解析】
设两同心圆的圆心为O，过点O作$OC⊥ AB$于点C。
根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$
在$Rt△ OAC$中，OA为大圆半径，即$OA=10$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$
已知小圆半径为6，即圆心O到AB的距离等于小圆半径，因此AB与小圆相切。
【答案】
相切
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，结合圆的性质和勾股定理计算出圆心到直线的距离即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的$\odot P$的圆心$P$的坐标为$(-3,0)$,将$\odot P$沿$x$轴正方向平移,使$\odot P$与$y$轴相切,则平移的距离为
1或5
。答案
10. 1或5
解析
【分析】
解题的核心依据是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P沿x轴正方向平移，平移过程中圆心纵坐标始终为0，当⊙P与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径2，即平移后圆心横坐标的绝对值为2，需分两种情况讨论：一是⊙P在y轴左侧与y轴相切，二是⊙P在y轴右侧与y轴相切，分别计算对应平移距离即可。
【解析】
已知⊙P初始圆心坐标为$(-3,0)$，半径$r=2$，设沿x轴正方向平移的距离为$d$（$d＞0$），则平移后圆心坐标为$(-3+d,0)$。
当⊙P与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径，即$\left|-3+d\right|=2$，分两种情况求解：
1. 若⊙P在y轴左侧与y轴相切，此时圆心横坐标为负，即$-3+d=-2$，解得$d=1$；
2. 若⊙P在y轴右侧与y轴相切，此时圆心横坐标为正，即$-3+d=2$，解得$d=5$。
综上，平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切性质，平移的坐标特征，分类讨论
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略圆平移到y轴右侧相切的情况，需注意结合图形全面考虑所有相切的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P沿x轴正方向平移，平移过程中圆心纵坐标始终为0，当⊙P与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径2，即平移后圆心横坐标的绝对值为2，需分两种情况讨论：一是⊙P在y轴左侧与y轴相切，二是⊙P在y轴右侧与y轴相切，分别计算对应平移距离即可。
【解析】
已知⊙P初始圆心坐标为$(-3,0)$，半径$r=2$，设沿x轴正方向平移的距离为$d$（$d＞0$），则平移后圆心坐标为$(-3+d,0)$。
当⊙P与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径，即$\left|-3+d\right|=2$，分两种情况求解：
1. 若⊙P在y轴左侧与y轴相切，此时圆心横坐标为负，即$-3+d=-2$，解得$d=1$；
2. 若⊙P在y轴右侧与y轴相切，此时圆心横坐标为正，即$-3+d=2$，解得$d=5$。
综上，平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切性质，平移的坐标特征，分类讨论
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略圆平移到y轴右侧相切的情况，需注意结合图形全面考虑所有相切的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. $\odot O$的半径为$R$，点$O$到直线$l$的距离为$d$，$R$，$d$是方程$x^2 -4x +m=0$的两根，当直线$l$与$\odot O$相切时，$m$的值为________。
答案
11. 4
解析
【分析】
解题首先需要回忆直线与圆相切的性质：当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，也就是d=R。已知R和d是方程x²-4x+m=0的两根，说明方程的两个根相等，我们可以结合一元二次方程根与系数的关系，先求出R和d的取值，再计算m的值，也可以通过方程有两个相等实根时判别式为0直接求解。
【解析】
解：
∵ 直线l与⊙O相切
∴ 圆心O到直线l的距离等于圆的半径，即$d = R$
∵ $R$，$d$是方程$x^2 -4x +m=0$的两根
根据一元二次方程根与系数的关系，得：$R + d = 4$，$R · d = m$
将$d = R$代入$R + d = 4$，得$2R = 4$，解得$R = d = 2$
∴ $m = R · d = 2 × 2 = 4$
（也可利用判别式求解：方程有两个相等的实数根，则$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × m = 0$，解得$m = 4$）
【答案】
4
【知识点】
直线与圆相切的性质；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的核心是抓住直线与圆相切时d=R的关键条件，再结合一元二次方程根的相关性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题首先需要回忆直线与圆相切的性质：当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，也就是d=R。已知R和d是方程x²-4x+m=0的两根，说明方程的两个根相等，我们可以结合一元二次方程根与系数的关系，先求出R和d的取值，再计算m的值，也可以通过方程有两个相等实根时判别式为0直接求解。
【解析】
解：
∵ 直线l与⊙O相切
∴ 圆心O到直线l的距离等于圆的半径，即$d = R$
∵ $R$，$d$是方程$x^2 -4x +m=0$的两根
根据一元二次方程根与系数的关系，得：$R + d = 4$，$R · d = m$
将$d = R$代入$R + d = 4$，得$2R = 4$，解得$R = d = 2$
∴ $m = R · d = 2 × 2 = 4$
（也可利用判别式求解：方程有两个相等的实数根，则$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × m = 0$，解得$m = 4$）
【答案】
4
【知识点】
直线与圆相切的性质；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的核心是抓住直线与圆相切时d=R的关键条件，再结合一元二次方程根的相关性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$AC=5$.
(1)以点$A$为圆心，4为半径的$\odot A$与直线$BC$的位置关系是________；
(2)以点$B$为圆心的$\odot B$与直线$AC$相交，则$\odot B$的半径$r$的取值范围是________；
(3)以点$C$为圆心，$R$为半径的$\odot C$与直线$AB$相切，则$R$的值为________.
(1)以点$A$为圆心，4为半径的$\odot A$与直线$BC$的位置关系是________；
(2)以点$B$为圆心的$\odot B$与直线$AC$相交，则$\odot B$的半径$r$的取值范围是________；
(3)以点$C$为圆心，$R$为半径的$\odot C$与直线$AB$相切，则$R$的值为________.
答案
(1) 相离
(2) $r＞12$
(3) $\dfrac{60}{13}$
(2) $r＞12$
(3) $\dfrac{60}{13}$
解析
【分析】
解决本题的核心依据是直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的边长，再分别计算每个小问中圆心到对应直线的距离，结合上述判定规则即可求解。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
(1) 求点A到直线BC的距离：
∵$∠ C=90°$，
∴$AC⊥ BC$，即点A到直线BC的距离$d_1=AC=5$
已知$\odot A$的半径$r_1=4$，
∵$5＞4$，即$d_1＞r_1$，
∴$\odot A$与直线BC相离。
(2) 求点B到直线AC的距离：
∵$∠ C=90°$，
∴$BC⊥ AC$，即点B到直线AC的距离$d_2=BC=12$
若$\odot B$与直线AC相交，则需半径$r＞d_2$，即$r＞12$。
(3) 过点C作$CD⊥ AB$于点D，CD即为点C到直线AB的距离。
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CD$
解得$CD=\frac{60}{13}$
∵$\odot C$与直线AB相切，
∴$R=CD=\frac{60}{13}$。
【答案】
(1) 相离
(2) $r＞12$
(3) $\dfrac{60}{13}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用类题目，解题的关键是准确求出圆心到对应直线的距离，结合判定规则即可作答，其中利用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的简便计算技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心依据是直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。首先利用勾股定理求出Rt△ABC中BC的边长，再分别计算每个小问中圆心到对应直线的距离，结合上述判定规则即可求解。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
(1) 求点A到直线BC的距离：
∵$∠ C=90°$，
∴$AC⊥ BC$，即点A到直线BC的距离$d_1=AC=5$
已知$\odot A$的半径$r_1=4$，
∵$5＞4$，即$d_1＞r_1$，
∴$\odot A$与直线BC相离。
(2) 求点B到直线AC的距离：
∵$∠ C=90°$，
∴$BC⊥ AC$，即点B到直线AC的距离$d_2=BC=12$
若$\odot B$与直线AC相交，则需半径$r＞d_2$，即$r＞12$。
(3) 过点C作$CD⊥ AB$于点D，CD即为点C到直线AB的距离。
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CD$
解得$CD=\frac{60}{13}$
∵$\odot C$与直线AB相切，
∴$R=CD=\frac{60}{13}$。
【答案】
(1) 相离
(2) $r＞12$
(3) $\dfrac{60}{13}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用类题目，解题的关键是准确求出圆心到对应直线的距离，结合判定规则即可作答，其中利用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的简便计算技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
13.如图，已知$\odot P$的半径为3，圆心$P$在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -1$上运动，当$\odot P$与$y$轴相切时，圆心$P$的坐标为
$(3,2)$或$(-3,2)$
.答案
13. $(3,2)$或$(-3,2)$
解析
【分析】
解题时先回忆直线和圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与y轴相切，半径为3，因此圆心P到y轴的距离为3，即点P的横坐标的绝对值等于3，得到x的两个取值后，再将x的值代入抛物线解析式，即可求出对应的纵坐标，得到圆心P的坐标。
【解析】
∵ ⊙P与y轴相切，且半径为3
∴ 圆心P到y轴的距离等于半径3，即点P的横坐标满足$\left|x\right|=3$，解得$x=3$或$x=-3$
又
∵ 圆心P在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -1$上
① 当$x=3$时，代入解析式得：$y=\frac{1}{3}× 3^2 -1 = 3 -1 = 2$
② 当$x=-3$时，代入解析式得：$y=\frac{1}{3}× (-3)^2 -1 = 3 -1 = 2$
∴ 圆心P的坐标为$(3,2)$或$(-3,2)$
【答案】
$(3,2)$或$(-3,2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是利用圆与y轴相切的条件确定圆心横坐标的取值，再结合二次函数解析式计算纵坐标，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆直线和圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与y轴相切，半径为3，因此圆心P到y轴的距离为3，即点P的横坐标的绝对值等于3，得到x的两个取值后，再将x的值代入抛物线解析式，即可求出对应的纵坐标，得到圆心P的坐标。
【解析】
∵ ⊙P与y轴相切，且半径为3
∴ 圆心P到y轴的距离等于半径3，即点P的横坐标满足$\left|x\right|=3$，解得$x=3$或$x=-3$
又
∵ 圆心P在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -1$上
① 当$x=3$时，代入解析式得：$y=\frac{1}{3}× 3^2 -1 = 3 -1 = 2$
② 当$x=-3$时，代入解析式得：$y=\frac{1}{3}× (-3)^2 -1 = 3 -1 = 2$
∴ 圆心P的坐标为$(3,2)$或$(-3,2)$
【答案】
$(3,2)$或$(-3,2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是利用圆与y轴相切的条件确定圆心横坐标的取值，再结合二次函数解析式计算纵坐标，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
