登录
1. (2025·广西)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=7$，$AC=3$，则$\sin B$的值为（）
A.$\dfrac{7}{10}$
B.$\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{3}{10}$
D.$\dfrac{1}{7}$
A.$\dfrac{7}{10}$
B.$\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{3}{10}$
D.$\dfrac{1}{7}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。接下来明确所求角是∠B，先找∠B的对边：在Rt△ABC中，∠C是直角，所以∠B的对边是AC，斜边是AB，题目已经直接给出了AC和AB的长度，直接代入比值计算即可，注意不要混淆对边、邻边，也不要写反分子分母。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可知，锐角的正弦值为对边与斜边的比值，即$\sin B=\frac{∠B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$。
其中∠B的对边为$AC=3$，斜边为$AB=7$，代入得：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{7}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查锐角正弦的定义，解题的关键是准确识别直角三角形中所求锐角对应的对边和斜边，计算量小，只要掌握基础定义即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。接下来明确所求角是∠B，先找∠B的对边：在Rt△ABC中，∠C是直角，所以∠B的对边是AC，斜边是AB，题目已经直接给出了AC和AB的长度，直接代入比值计算即可，注意不要混淆对边、邻边，也不要写反分子分母。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可知，锐角的正弦值为对边与斜边的比值，即$\sin B=\frac{∠B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$。
其中∠B的对边为$AC=3$，斜边为$AB=7$，代入得：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{7}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查锐角正弦的定义，解题的关键是准确识别直角三角形中所求锐角对应的对边和斜边，计算量小，只要掌握基础定义即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$. 已知$a=6,b=8,c=10$,则$\cos A$的值为 （）
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
C
解析
【分析】
首先观察题目给出的三角形三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形形状：由于6、8、10是常见勾股数，满足两短边的平方和等于长边的平方，可确定该三角形是直角三角形，且最长边c对应的角∠C为直角。再根据锐角余弦的定义，锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值，找到∠A的邻边和斜边，计算化简即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC三边a=6，b=8，c=10，
先验证勾股定理逆定理：
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$c^2 = 10^2 = 100$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$，即△ABC为直角三角形，且∠C=90°（最长边对应直角）。
根据锐角余弦的定义：$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}$，
∠A的邻边为AC，长度是b=8，斜边为AB，长度是c=10，
∴$\cos A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，余弦的定义
【点评】
本题考查直角三角形的判定和锐角三角函数的基础应用，解题核心是先确定三角形为直角三角形，再准确对应锐角三角函数的边的关系，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的三角形三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形形状：由于6、8、10是常见勾股数，满足两短边的平方和等于长边的平方，可确定该三角形是直角三角形，且最长边c对应的角∠C为直角。再根据锐角余弦的定义，锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值，找到∠A的邻边和斜边，计算化简即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC三边a=6，b=8，c=10，
先验证勾股定理逆定理：
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$c^2 = 10^2 = 100$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$，即△ABC为直角三角形，且∠C=90°（最长边对应直角）。
根据锐角余弦的定义：$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}$，
∠A的邻边为AC，长度是b=8，斜边为AB，长度是c=10，
∴$\cos A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，余弦的定义
【点评】
本题考查直角三角形的判定和锐角三角函数的基础应用，解题核心是先确定三角形为直角三角形，再准确对应锐角三角函数的边的关系，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,作$BC$的垂直平分线交$AC$于点$D$,延长$AC$至点$E$,使$CE=AB$.
(1)若$AE=1$,求$△ ABD$的周长;
(2)若$AD=\frac{1}{3}BD$,求$\tan∠ ABC$的值.
(1)若$AE=1$,求$△ ABD$的周长;
(2)若$AD=\frac{1}{3}BD$,求$\tan∠ ABC$的值.
答案
解：
(1) ∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ BD = CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC。
∵ CE = AB，
∴ AB + AC = CE + AC = AE。
∵ AE = 1，
∴ △ABD的周长为1。
(2) 设 AD = x，由 $AD=\frac{1}{3}BD$，得 $BD = 3x$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = 2\sqrt{2}x$。
又∵ BD = CD = 3x，
∴ AC = AD + CD = x + 3x = 4x。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，
$\tan∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{4x}{2\sqrt{2}x} = \sqrt{2}$。
综上，(1) $△ ABD$的周长为$\boldsymbol{1}$；(2) $\tan∠ ABC$的值为$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
(1) ∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ BD = CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC。
∵ CE = AB，
∴ AB + AC = CE + AC = AE。
∵ AE = 1，
∴ △ABD的周长为1。
(2) 设 AD = x，由 $AD=\frac{1}{3}BD$，得 $BD = 3x$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = 2\sqrt{2}x$。
又∵ BD = CD = 3x，
∴ AC = AD + CD = x + 3x = 4x。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，
$\tan∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{4x}{2\sqrt{2}x} = \sqrt{2}$。
综上，(1) $△ ABD$的周长为$\boldsymbol{1}$；(2) $\tan∠ ABC$的值为$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
(1) 求△ABD的周长时，首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=CD，将△ABD的周长转化为AB+AC，再结合CE=AB的条件，把AB+AC等量替换为AE，代入已知AE的数值即可求解。
(2) 求tan∠ABC的值，先明确正切的定义是直角三角形中角的对边与邻边的比值，即$\tan∠ABC=\frac{AC}{AB}$。根据AD和BD的比例关系设参数，先用勾股定理求出AB的长度，再结合BD=CD求出AC的长度，最后代入正切公式化简即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ BD = CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC。
∵ CE = AB，
∴ AB + AC = CE + AC = AE。
∵ AE = 1，
∴ △ABD的周长为1。
(2) 设 AD = x，由 $AD=\frac{1}{3}BD$，得 $BD = 3x$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = 2\sqrt{2}x$。
又
∵ BD = CD = 3x，
∴ AC = AD + CD = x + 3x = 4x。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，
$\tan∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{4x}{2\sqrt{2}x} = \sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，第二问通过设参数的方法简化了计算，很好地考查了转化思想和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求△ABD的周长时，首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=CD，将△ABD的周长转化为AB+AC，再结合CE=AB的条件，把AB+AC等量替换为AE，代入已知AE的数值即可求解。
(2) 求tan∠ABC的值，先明确正切的定义是直角三角形中角的对边与邻边的比值，即$\tan∠ABC=\frac{AC}{AB}$。根据AD和BD的比例关系设参数，先用勾股定理求出AB的长度，再结合BD=CD求出AC的长度，最后代入正切公式化简即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ BD = CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC。
∵ CE = AB，
∴ AB + AC = CE + AC = AE。
∵ AE = 1，
∴ △ABD的周长为1。
(2) 设 AD = x，由 $AD=\frac{1}{3}BD$，得 $BD = 3x$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = 2\sqrt{2}x$。
又
∵ BD = CD = 3x，
∴ AC = AD + CD = x + 3x = 4x。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，
$\tan∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{4x}{2\sqrt{2}x} = \sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，第二问通过设参数的方法简化了计算，很好地考查了转化思想和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图2,在平面直角坐标系中,有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则$\sin∠ BAC$的值为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要求∠BAC的正弦值，需先将该角放入直角三角形中结合三角函数定义求解。首先观察点坐标特征：A(0,1)和B(4,1)纵坐标相同，可知AB边平行于x轴，∠BAC就是直线AC与水平方向的夹角。接下来可过点C向AB所在直线作垂线，构造含∠BAC的直角三角形，再通过坐标计算直角三角形各边长度，最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。
∵点A、B的纵坐标均为1，
∴AB所在直线的解析式为y=1，因此垂足D的坐标为(5,1)。
∴AD的长度为5-0=5，CD的长度为6-1=5。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAC=\sin∠ DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
据此，本题选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的计算，解题的关键是利用坐标特征快速构造合适的直角三角形，再结合相关公式计算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要求∠BAC的正弦值，需先将该角放入直角三角形中结合三角函数定义求解。首先观察点坐标特征：A(0,1)和B(4,1)纵坐标相同，可知AB边平行于x轴，∠BAC就是直线AC与水平方向的夹角。接下来可过点C向AB所在直线作垂线，构造含∠BAC的直角三角形，再通过坐标计算直角三角形各边长度，最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。
∵点A、B的纵坐标均为1，
∴AB所在直线的解析式为y=1，因此垂足D的坐标为(5,1)。
∴AD的长度为5-0=5，CD的长度为6-1=5。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAC=\sin∠ DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
据此，本题选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的计算，解题的关键是利用坐标特征快速构造合适的直角三角形，再结合相关公式计算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
