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16. (★★★)已知有理数 $a, b, c$ 的积为负数，和为正数，且 $x = \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{ab}{|ab|} + \frac{ac}{|ac|} + \frac{bc}{|bc|}$，则 $x$ 的值为
【】
A.0
B.0或1
C.0或-2或1
D.0或1或-2或6
【】
A.0
B.0或1
C.0或-2或1
D.0或1或-2或6
答案
A
解析
【分析】
首先根据有理数乘法的符号规律：几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时积为负，可知a、b、c中负数的个数为1个或3个；再结合三个数的和为正数，可排除3个都是负数的情况（三个负数相加和必为负数，不符合和为正数的条件），因此确定a、b、c中只有1个负数，2个正数。接下来利用“正数除以它的绝对值等于1，负数除以它的绝对值等于-1”的规律，代入x的表达式计算即可，无论哪个数是负数，最终计算结果都一致。
【解析】
解：
∵ 有理数a、b、c的积为负数，即$abc＜0$，
∴ a、b、c中负因数的个数为奇数，即1个负数或3个负数。
又
∵ $a+b+c＞0$，
∴ 不可能三个数都是负数（若三个均为负数，和必为负数，与和为正数矛盾），
∴ a、b、c中只有1个负数，2个正数。
不妨设$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，代入x的表达式计算：
$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$，$\frac{b}{|b|}=\frac{b}{b}=1$，$\frac{c}{|c|}=\frac{c}{c}=1$，
$\frac{ab}{|ab|}=\frac{ab}{-ab}=-1$，$\frac{ac}{|ac|}=\frac{ac}{-ac}=-1$，$\frac{bc}{|bc|}=\frac{bc}{bc}=1$，
则$x=-1+1+1+(-1)+(-1)+1=0$。
（无论哪个数为负数，计算结果均为0）
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法符号法则，绝对值的性质，有理数加法法则
【点评】
本题解题的关键是先结合积与和的符号准确判断三个数中负数的个数，排除不符合题意的情况，再利用绝对值的性质代入计算，避免因忽略和为正数的条件导致错选多解的选项。
【难度系数】
0.65
首先根据有理数乘法的符号规律：几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时积为负，可知a、b、c中负数的个数为1个或3个；再结合三个数的和为正数，可排除3个都是负数的情况（三个负数相加和必为负数，不符合和为正数的条件），因此确定a、b、c中只有1个负数，2个正数。接下来利用“正数除以它的绝对值等于1，负数除以它的绝对值等于-1”的规律，代入x的表达式计算即可，无论哪个数是负数，最终计算结果都一致。
【解析】
解：
∵ 有理数a、b、c的积为负数，即$abc＜0$，
∴ a、b、c中负因数的个数为奇数，即1个负数或3个负数。
又
∵ $a+b+c＞0$，
∴ 不可能三个数都是负数（若三个均为负数，和必为负数，与和为正数矛盾），
∴ a、b、c中只有1个负数，2个正数。
不妨设$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，代入x的表达式计算：
$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$，$\frac{b}{|b|}=\frac{b}{b}=1$，$\frac{c}{|c|}=\frac{c}{c}=1$，
$\frac{ab}{|ab|}=\frac{ab}{-ab}=-1$，$\frac{ac}{|ac|}=\frac{ac}{-ac}=-1$，$\frac{bc}{|bc|}=\frac{bc}{bc}=1$，
则$x=-1+1+1+(-1)+(-1)+1=0$。
（无论哪个数为负数，计算结果均为0）
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法符号法则，绝对值的性质，有理数加法法则
【点评】
本题解题的关键是先结合积与和的符号准确判断三个数中负数的个数，排除不符合题意的情况，再利用绝对值的性质代入计算，避免因忽略和为正数的条件导致错选多解的选项。
【难度系数】
0.65
17. (★★★)阅读下面解题过程:
计算：$(-\dfrac{7}{8})÷(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})$.
解:原式的倒数$=(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{7}{8})$
$=(\dfrac{7}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})×(-\dfrac{8}{7})$
$=\dfrac{7}{4}×(-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{8}×(-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{12}×(-\dfrac{8}{7})$
$=-2+1+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$,
所以原式$=-3$.
根据上面的解题过程,计算:$-\dfrac{1}{42}÷(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})$.
计算：$(-\dfrac{7}{8})÷(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})$.
解:原式的倒数$=(1\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{7}{8})$
$=(\dfrac{7}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{7}{12})×(-\dfrac{8}{7})$
$=\dfrac{7}{4}×(-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{8}×(-\dfrac{8}{7})-\dfrac{7}{12}×(-\dfrac{8}{7})$
$=-2+1+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$,
所以原式$=-3$.
根据上面的解题过程,计算:$-\dfrac{1}{42}÷(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})$.
答案
解：原式的倒数$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})×(-42)$
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)$
$=-7-28+12+9$
$=-14$
所以原式$=-\dfrac{1}{14}$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})×(-42)$
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)$
$=-7-28+12+9$
$=-14$
所以原式$=-\dfrac{1}{14}$
解析
【分析】
观察题目给出的解题示例，可知当直接计算有理数除法运算较为繁琐时，可先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算，最后对计算结果取倒数即可得到原式的值。本题直接计算括号内的分数加减需要多次通分，计算量大，因此仿照示例采用倒数法求解。
【解析】
解：先求原式的倒数：
$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})÷(-\dfrac{1}{42})$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，转化为：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})×(-42)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)$
分别计算每一项的乘积：
$=-7-28+12+9$
合并计算得：
$=-14$
根据倒数的性质，倒数的倒数为原数，因此原式$=-\dfrac{1}{14}$
【答案】
$-\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法法则、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题通过巧妙运用倒数法，将原本复杂的除法运算转化为便于使用乘法分配律的乘法运算，大大降低了计算量。解题时要注意除法没有分配律，不能直接将被除数拆分给除数的各项运算，先求倒数转化为乘法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
观察题目给出的解题示例，可知当直接计算有理数除法运算较为繁琐时，可先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算，最后对计算结果取倒数即可得到原式的值。本题直接计算括号内的分数加减需要多次通分，计算量大，因此仿照示例采用倒数法求解。
【解析】
解：先求原式的倒数：
$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})÷(-\dfrac{1}{42})$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，转化为：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{14})×(-42)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)$
分别计算每一项的乘积：
$=-7-28+12+9$
合并计算得：
$=-14$
根据倒数的性质，倒数的倒数为原数，因此原式$=-\dfrac{1}{14}$
【答案】
$-\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法法则、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题通过巧妙运用倒数法，将原本复杂的除法运算转化为便于使用乘法分配律的乘法运算，大大降低了计算量。解题时要注意除法没有分配律，不能直接将被除数拆分给除数的各项运算，先求倒数转化为乘法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
