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9. (★)写出一个单项式.(要求:此单项式含有字母$a,b$,系数是3,次数是3)
答案
解：$3a^2b$（答案不唯一）
解析
【分析】
要写出符合要求的单项式，首先明确单项式的系数和次数的定义：第一步，系数是单项式的数字因数，题目要求系数为3，因此先确定数字部分为3；第二步，单项式需要同时含有字母a、b；第三步，单项式的次数是所有字母的指数之和，题目要求次数为3，因此只需让a和b的指数相加等于3即可，比如a的指数取2、b的指数取1，或者a的指数取1、b的指数取2，都满足要求。
【解析】
根据单项式系数和次数的定义逐步推导：
1. 确定数字部分：题目要求系数为3，因此单项式的数字因数为3；
2. 确定字母组成：要求单项式含有字母a、b，所以字母部分要同时包含a和b；
3. 确定字母指数：单项式的次数是所有字母的指数和，要求次数为3，因此a的指数与b的指数之和等于3即可，例如取a的指数为2、b的指数为1，就能得到符合要求的单项式$3a^2b$，同理$3ab^2$也符合要求，因此答案不唯一。
【答案】
$3a^2b$（答案不唯一）
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对单项式系数和次数两个概念的准确理解，解题时要注意单项式的次数仅计算所有字母的指数和，和数字系数无关，熟练掌握相关概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要写出符合要求的单项式，首先明确单项式的系数和次数的定义：第一步，系数是单项式的数字因数，题目要求系数为3，因此先确定数字部分为3；第二步，单项式需要同时含有字母a、b；第三步，单项式的次数是所有字母的指数之和，题目要求次数为3，因此只需让a和b的指数相加等于3即可，比如a的指数取2、b的指数取1，或者a的指数取1、b的指数取2，都满足要求。
【解析】
根据单项式系数和次数的定义逐步推导：
1. 确定数字部分：题目要求系数为3，因此单项式的数字因数为3；
2. 确定字母组成：要求单项式含有字母a、b，所以字母部分要同时包含a和b；
3. 确定字母指数：单项式的次数是所有字母的指数和，要求次数为3，因此a的指数与b的指数之和等于3即可，例如取a的指数为2、b的指数为1，就能得到符合要求的单项式$3a^2b$，同理$3ab^2$也符合要求，因此答案不唯一。
【答案】
$3a^2b$（答案不唯一）
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对单项式系数和次数两个概念的准确理解，解题时要注意单项式的次数仅计算所有字母的指数和，和数字系数无关，熟练掌握相关概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10. (★)填表：
| 单项式 | $-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$ | $-3ab$ | $\dfrac{4}{3}π r^3$ | $-2^2a^3b^5$ | $-x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | | |
| | |
| 次数 | | | | | |
| 单项式 | $-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$ | $-3ab$ | $\dfrac{4}{3}π r^3$ | $-2^2a^3b^5$ | $-x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | | |
| | || 次数 | | | | | |
答案
解：
| 单项式 | $-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$ | $-3ab$ | $\dfrac{4}{3}π r^3$ | $-2^2a^3b^5$ | $-x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | $-\dfrac{3}{2}$ | $-3$ | $\dfrac{4}{3}π$ | $-4$ | $-1$ |
| 次数 | $6$ | $2$ | $3$ | $8$ | $1$ |
| 单项式 | $-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$ | $-3ab$ | $\dfrac{4}{3}π r^3$ | $-2^2a^3b^5$ | $-x$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | $-\dfrac{3}{2}$ | $-3$ | $\dfrac{4}{3}π$ | $-4$ | $-1$ |
| 次数 | $6$ | $2$ | $3$ | $8$ | $1$ |
解析
【分析】
要解决这个填表题，首先要明确单项式的两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，包含数字前的符号，注意π是常数，属于系数部分，不是字母；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，常数的指数不参与计算。接下来我们逐个分析每个单项式，分别计算对应的系数和次数即可。
【解析】
我们逐个分析每个单项式：
1. 对于$-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$：
数字因数为$-\dfrac{3}{2}$，即系数是$-\dfrac{3}{2}$；
字母的指数分别为$a:2$、$b:3$、$c:1$，次数为$2+3+1=6$。
2. 对于$-3ab$：
数字因数为$-3$，即系数是$-3$；
字母的指数分别为$a:1$、$b:1$，次数为$1+1=2$。
3. 对于$\dfrac{4}{3}π r^3$：
$π$是常数，数字因数为$\dfrac{4}{3}π$，即系数是$\dfrac{4}{3}π$；
只有字母$r$，指数为3，次数为3。
4. 对于$-2^2a^3b^5$：
先计算数字部分：$-2^2=-4$，即系数是$-4$；
字母的指数分别为$a:3$、$b:5$，次数为$3+5=8$。
5. 对于$-x$：
省略的数字因数为$-1$，即系数是$-1$；
只有字母$x$，指数为1，次数为1。
将上述结果填入对应表格即可。
【答案】
系数依次为：$\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$、$\boldsymbol{-3}$、$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}π}$、$\boldsymbol{-4}$、$\boldsymbol{-1}$；
次数依次为：$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{8}$、$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是整式部分的基础题型，核心考查对单项式系数和次数概念的理解，解题时要注意几个易错点：不要把π误认为是字母，单独字母的系数为±1、次数为1，系数部分的乘方要先计算出最终数值再作为系数。
【难度系数】
0.8
要解决这个填表题，首先要明确单项式的两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，包含数字前的符号，注意π是常数，属于系数部分，不是字母；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，常数的指数不参与计算。接下来我们逐个分析每个单项式，分别计算对应的系数和次数即可。
【解析】
我们逐个分析每个单项式：
1. 对于$-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$：
数字因数为$-\dfrac{3}{2}$，即系数是$-\dfrac{3}{2}$；
字母的指数分别为$a:2$、$b:3$、$c:1$，次数为$2+3+1=6$。
2. 对于$-3ab$：
数字因数为$-3$，即系数是$-3$；
字母的指数分别为$a:1$、$b:1$，次数为$1+1=2$。
3. 对于$\dfrac{4}{3}π r^3$：
$π$是常数，数字因数为$\dfrac{4}{3}π$，即系数是$\dfrac{4}{3}π$；
只有字母$r$，指数为3，次数为3。
4. 对于$-2^2a^3b^5$：
先计算数字部分：$-2^2=-4$，即系数是$-4$；
字母的指数分别为$a:3$、$b:5$，次数为$3+5=8$。
5. 对于$-x$：
省略的数字因数为$-1$，即系数是$-1$；
只有字母$x$，指数为1，次数为1。
将上述结果填入对应表格即可。
【答案】
系数依次为：$\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$、$\boldsymbol{-3}$、$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}π}$、$\boldsymbol{-4}$、$\boldsymbol{-1}$；
次数依次为：$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{8}$、$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是整式部分的基础题型，核心考查对单项式系数和次数概念的理解，解题时要注意几个易错点：不要把π误认为是字母，单独字母的系数为±1、次数为1，系数部分的乘方要先计算出最终数值再作为系数。
【难度系数】
0.8
11. (★)有下列四个单项式:①$π x^2$, ②$-10x^3$,③$-\frac{1}{2}xy^3$,④$3^5$,将它们按次数由低到高的顺序排列为(只填序号).
答案
$\boldsymbol{④①②③}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数，特别地，单独的数字（常数项）的次数为0，注意π是常数，不属于字母。解题步骤为：先分别计算四个单项式的次数，再按照次数从小到大的顺序对序号进行排列即可。
【解析】
我们逐个计算每个单项式的次数：
1. 单项式④$3^5$：是单独的常数，没有字母，因此次数为0；
2. 单项式①$π x^2$：π是常数，仅含字母x，x的指数为2，因此次数为2；
3. 单项式②$-10x^3$：仅含字母x，x的指数为3，因此次数为3；
4. 单项式③$-\frac{1}{2}xy^3$：含字母x和y，x的指数为1，y的指数为3，次数为$1+3=4$。
将次数按由低到高排序为：$0＜2＜3＜4$，对应序号排列为④①②③。
【答案】
$\boldsymbol{④①②③}$
【知识点】
1. 单项式的次数
2. 常数项的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握单项式次数的定义，易错点是容易误将π当作字母计算次数，或遗忘常数项的次数为0，牢记相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数，特别地，单独的数字（常数项）的次数为0，注意π是常数，不属于字母。解题步骤为：先分别计算四个单项式的次数，再按照次数从小到大的顺序对序号进行排列即可。
【解析】
我们逐个计算每个单项式的次数：
1. 单项式④$3^5$：是单独的常数，没有字母，因此次数为0；
2. 单项式①$π x^2$：π是常数，仅含字母x，x的指数为2，因此次数为2；
3. 单项式②$-10x^3$：仅含字母x，x的指数为3，因此次数为3；
4. 单项式③$-\frac{1}{2}xy^3$：含字母x和y，x的指数为1，y的指数为3，次数为$1+3=4$。
将次数按由低到高排序为：$0＜2＜3＜4$，对应序号排列为④①②③。
【答案】
$\boldsymbol{④①②③}$
【知识点】
1. 单项式的次数
2. 常数项的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握单项式次数的定义，易错点是容易误将π当作字母计算次数，或遗忘常数项的次数为0，牢记相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12. (★)若单项式$-x^{3n}y^{n+5}$的次数是9，则n的值为.
答案
解：
由单项式的次数定义，可得该单项式中所有字母的指数和为9，列方程：
$3n + (n + 5) = 9$
合并同类项，得：
$4n + 5 = 9$
移项计算，得：
$4n = 4$
系数化为1，得：
$n = 1$
由单项式的次数定义，可得该单项式中所有字母的指数和为9，列方程：
$3n + (n + 5) = 9$
合并同类项，得：
$4n + 5 = 9$
移项计算，得：
$4n = 4$
系数化为1，得：
$n = 1$
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。本题已知单项式的次数是9，我们只需要找到这个单项式中x、y的指数，将二者相加等于9列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可得到n的值。
【解析】
根据单项式次数的定义，该单项式中所有字母的指数和为9，据此列方程：
$3n + (n + 5) = 9$
合并同类项，得：
$4n + 5 = 9$
移项计算，得：
$4n = 4$
系数化为1，得：
$n = 1$
【答案】
1
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心是对单项式次数概念的掌握，只要准确理解定义即可正确列方程求解，是整式章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。本题已知单项式的次数是9，我们只需要找到这个单项式中x、y的指数，将二者相加等于9列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可得到n的值。
【解析】
根据单项式次数的定义，该单项式中所有字母的指数和为9，据此列方程：
$3n + (n + 5) = 9$
合并同类项，得：
$4n + 5 = 9$
移项计算，得：
$4n = 4$
系数化为1，得：
$n = 1$
【答案】
1
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心是对单项式次数概念的掌握，只要准确理解定义即可正确列方程求解，是整式章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
13. (★★)在抄写单项式时,小明把其中一个字母的指数漏掉了,抄成了$-\dfrac{4}{5}xyz$,他只知道这个单项式是四次单项式,你能帮他写出这个单项式吗?这样的单项式有几个?不妨都写出来.
答案
解：单项式的次数是所有字母的指数之和。
已知抄得的式子中x、y、z的指数均为1，当前指数和为$1+1+1=3$，而原单项式是四次单项式，因此被漏掉的字母的指数为2。
这样的单项式共有3个，分别是：
$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$，$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$，$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
已知抄得的式子中x、y、z的指数均为1，当前指数和为$1+1+1=3$，而原单项式是四次单项式，因此被漏掉的字母的指数为2。
这样的单项式共有3个，分别是：
$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$，$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$，$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式次数的定义：单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。首先计算抄错的单项式$-\dfrac{4}{5}xyz$中现有字母的总指数：x、y、z的指数均为1，总和为3，已知原单项式是四次单项式，说明有一个字母的指数被漏写，实际应为2（比抄错的1多1，刚好补上总次数差的1）。接下来分别讨论x、y、z中哪个字母的指数为2，即可列举出所有符合要求的单项式，同时统计个数。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式的次数是所有字母的指数之和。
1. 计算抄错的单项式的现有字母指数和：x、y、z的指数均为1，因此指数和为$1+1+1=3$。
2. 原单项式为四次单项式，总次数为4，因此被漏写指数的字母的实际指数为2。
3. 分情况列举所有可能：
① 若x的指数为2，可得单项式：$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$；
② 若y的指数为2，可得单项式：$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$；
③ 若z的指数为2，可得单项式：$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
综上，符合要求的单项式共有3个。
【答案】
共有3个，分别是$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$，$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$，$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
【知识点】
单项式的次数；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查对单项式次数概念的理解，解题时需注意单项式的次数仅与所含字母的指数有关，与系数无关，同时要全面考虑所有可能的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆单项式次数的定义：单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。首先计算抄错的单项式$-\dfrac{4}{5}xyz$中现有字母的总指数：x、y、z的指数均为1，总和为3，已知原单项式是四次单项式，说明有一个字母的指数被漏写，实际应为2（比抄错的1多1，刚好补上总次数差的1）。接下来分别讨论x、y、z中哪个字母的指数为2，即可列举出所有符合要求的单项式，同时统计个数。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式的次数是所有字母的指数之和。
1. 计算抄错的单项式的现有字母指数和：x、y、z的指数均为1，因此指数和为$1+1+1=3$。
2. 原单项式为四次单项式，总次数为4，因此被漏写指数的字母的实际指数为2。
3. 分情况列举所有可能：
① 若x的指数为2，可得单项式：$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$；
② 若y的指数为2，可得单项式：$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$；
③ 若z的指数为2，可得单项式：$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
综上，符合要求的单项式共有3个。
【答案】
共有3个，分别是$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$，$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$，$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
【知识点】
单项式的次数；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查对单项式次数概念的理解，解题时需注意单项式的次数仅与所含字母的指数有关，与系数无关，同时要全面考虑所有可能的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
14. (★★)已知单项式$6x^2y^4$与$yz^{m+2}$的次数相同,求$3m-2$的值.
答案
解：
单项式$6x^2y^4$的次数为$2+4=6$，
单项式$yz^{m+2}$的次数为$1+(m+2)=m+3$。
由两个单项式次数相同，可得：
$m+3=6$
解得$m=3$。
将$m=3$代入$3m-2$，得：
$3m-2=3×3 -2=7$。
单项式$6x^2y^4$的次数为$2+4=6$，
单项式$yz^{m+2}$的次数为$1+(m+2)=m+3$。
由两个单项式次数相同，可得：
$m+3=6$
解得$m=3$。
将$m=3$代入$3m-2$，得：
$3m-2=3×3 -2=7$。
解析
【分析】
解题时首先要回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。第一步先分别求出两个单项式的次数，再根据“两个单项式次数相同”这一条件列出关于m的方程，解出m的值后，代入代数式3m-2即可算出最终结果。
【解析】
先计算单项式$6x^2y^4$的次数：该单项式包含x、y两个字母，指数分别为2和4，因此次数为$2+4=6$。
再计算单项式$yz^{m+2}$的次数：该单项式包含y、z两个字母，y的指数是1，z的指数是$m+2$，因此次数为$1+(m+2)=m+3$。
已知两个单项式次数相同，可列方程：
$m+3=6$
解得：$m=3$
将$m=3$代入$3m-2$，得：
$3m-2=3×3 -2=7$
【答案】
$7$
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题属于整式章节的基础题型，核心考查对单项式次数概念的理解，解题的关键是准确计算每个单项式的次数，根据等量关系列方程求解，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。第一步先分别求出两个单项式的次数，再根据“两个单项式次数相同”这一条件列出关于m的方程，解出m的值后，代入代数式3m-2即可算出最终结果。
【解析】
先计算单项式$6x^2y^4$的次数：该单项式包含x、y两个字母，指数分别为2和4，因此次数为$2+4=6$。
再计算单项式$yz^{m+2}$的次数：该单项式包含y、z两个字母，y的指数是1，z的指数是$m+2$，因此次数为$1+(m+2)=m+3$。
已知两个单项式次数相同，可列方程：
$m+3=6$
解得：$m=3$
将$m=3$代入$3m-2$，得：
$3m-2=3×3 -2=7$
【答案】
$7$
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题属于整式章节的基础题型，核心考查对单项式次数概念的理解，解题的关键是准确计算每个单项式的次数，根据等量关系列方程求解，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
15. (★★)若$3ax^2y^{|2 - b|}$是关于$x,y$的单项式，且系数为$-\dfrac{1}{3}$，次数是3，求$a$和$b$的值.
答案
解：
因为单项式$3ax^2y^{|2 - b|}$的系数为$-\dfrac{1}{3}$，
所以$3a = -\dfrac{1}{3}$，
解得$a = -\dfrac{1}{9}$。
又因为该单项式的次数是3，
所以$2 + |2 - b| = 3$，
即$|2 - b| = 1$，
可得$2 - b = 1$或$2 - b = -1$，
解得$b = 1$或$b = 3$。
综上，$a$的值为$-\dfrac{1}{9}$，$b$的值为1或3。
因为单项式$3ax^2y^{|2 - b|}$的系数为$-\dfrac{1}{3}$，
所以$3a = -\dfrac{1}{3}$，
解得$a = -\dfrac{1}{9}$。
又因为该单项式的次数是3，
所以$2 + |2 - b| = 3$，
即$|2 - b| = 1$，
可得$2 - b = 1$或$2 - b = -1$，
解得$b = 1$或$b = 3$。
综上，$a$的值为$-\dfrac{1}{9}$，$b$的值为1或3。
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式的系数和次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。第一步先根据系数的已知条件列关于a的方程，求出a的值；第二步根据次数的已知条件列关于b的含绝对值的方程，求解绝对值方程时要注意绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
因为单项式$3ax^2y^{|2 - b|}$的系数为$-\dfrac{1}{3}$，
所以$3a = -\dfrac{1}{3}$，
解得$a = -\dfrac{1}{9}$。
又因为该单项式的次数是3，
所以$2 + |2 - b| = 3$，
即$|2 - b| = 1$，
可得$2 - b = 1$或$2 - b = -1$，
解得$b = 1$或$b = 3$。
【答案】
$a=-\dfrac{1}{9}$，$b=1$或$b=3$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数，绝对值方程求解
【点评】
本题是整式部分的基础题型，核心是对单项式系数、次数概念的准确理解，求解含绝对值的方程时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆单项式的系数和次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。第一步先根据系数的已知条件列关于a的方程，求出a的值；第二步根据次数的已知条件列关于b的含绝对值的方程，求解绝对值方程时要注意绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
因为单项式$3ax^2y^{|2 - b|}$的系数为$-\dfrac{1}{3}$，
所以$3a = -\dfrac{1}{3}$，
解得$a = -\dfrac{1}{9}$。
又因为该单项式的次数是3，
所以$2 + |2 - b| = 3$，
即$|2 - b| = 1$，
可得$2 - b = 1$或$2 - b = -1$，
解得$b = 1$或$b = 3$。
【答案】
$a=-\dfrac{1}{9}$，$b=1$或$b=3$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数，绝对值方程求解
【点评】
本题是整式部分的基础题型，核心是对单项式系数、次数概念的准确理解，求解含绝对值的方程时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
