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16. (★★)已知$(a-2)x^2y^{|a|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，试求下列代数式的值：
(1)$a^3 -1$；
(2)$(a-1)(a^2 + a + 1)$。
(1)$a^3 -1$；
(2)$(a-1)(a^2 + a + 1)$。
答案
解：
因为$(a-2)x^2y^{|a|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，
所以系数不为0，且$x,y$的指数和为5，可得：
$\begin{cases}a - 2 ≠ 0 \\2 + |a| + 1 = 5\end{cases}$
由$2 + |a| + 1 = 5$，得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$，
结合$a - 2 ≠ 0$，得$a ≠ 2$，因此$a=-2$。
(1) 将$a=-2$代入$a^3 - 1$：
$a^3 - 1 = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$。
(2) 将$a=-2$代入$(a-1)(a^2 + a + 1)$：
当$a=-2$时，$a-1=-2-1=-3$，$a^2 + a + 1 = (-2)^2 + (-2) + 1 = 3$，
所以$(a-1)(a^2 + a + 1) = -3 × 3 = -9$。
因为$(a-2)x^2y^{|a|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，
所以系数不为0，且$x,y$的指数和为5，可得：
$\begin{cases}a - 2 ≠ 0 \\2 + |a| + 1 = 5\end{cases}$
由$2 + |a| + 1 = 5$，得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$，
结合$a - 2 ≠ 0$，得$a ≠ 2$，因此$a=-2$。
(1) 将$a=-2$代入$a^3 - 1$：
$a^3 - 1 = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$。
(2) 将$a=-2$代入$(a-1)(a^2 + a + 1)$：
当$a=-2$时，$a-1=-2-1=-3$，$a^2 + a + 1 = (-2)^2 + (-2) + 1 = 3$，
所以$(a-1)(a^2 + a + 1) = -3 × 3 = -9$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，同时要注意单项式的系数不能为0，否则原式就不是有效单项式。解题时第一步先根据“五次单项式”的条件列出关于a的方程和不等式，求出符合要求的a的值，再将a的值分别代入两个待求代数式计算即可。
【解析】
因为$(a-2)x^2y^{|a|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，所以需同时满足系数不为0、字母指数和为5两个条件，列关系式如下：
$\begin{cases}a - 2 ≠ 0 \\2 + |a| + 1 = 5\end{cases}$
先解方程$2 + |a| + 1 = 5$，化简可得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$；
结合不等式$a-2≠0$，即$a≠2$，因此符合条件的$a=-2$。
(1) 将$a=-2$代入$a^3 - 1$：
$a^3 - 1 = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$
(2) 将$a=-2$代入$(a-1)(a^2 + a + 1)$：
先计算两个因式的值：$a-1=-2-1=-3$，$a^2 + a + 1 = (-2)^2 + (-2) + 1 = 4-2+1=3$
因此$(a-1)(a^2 + a + 1) = -3 × 3 = -9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
单项式的次数；代数式求值；绝对值运算
【点评】
本题主要考查单项式概念的应用，易错点是容易忽略系数不为0的隐含条件，误将$a=2$代入计算导致出错，解题时要结合定义全面考虑限制条件，同时两个式子的计算结果一致，也能为后续立方差公式的学习铺垫认知基础。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，同时要注意单项式的系数不能为0，否则原式就不是有效单项式。解题时第一步先根据“五次单项式”的条件列出关于a的方程和不等式，求出符合要求的a的值，再将a的值分别代入两个待求代数式计算即可。
【解析】
因为$(a-2)x^2y^{|a|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，所以需同时满足系数不为0、字母指数和为5两个条件，列关系式如下：
$\begin{cases}a - 2 ≠ 0 \\2 + |a| + 1 = 5\end{cases}$
先解方程$2 + |a| + 1 = 5$，化简可得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$；
结合不等式$a-2≠0$，即$a≠2$，因此符合条件的$a=-2$。
(1) 将$a=-2$代入$a^3 - 1$：
$a^3 - 1 = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$
(2) 将$a=-2$代入$(a-1)(a^2 + a + 1)$：
先计算两个因式的值：$a-1=-2-1=-3$，$a^2 + a + 1 = (-2)^2 + (-2) + 1 = 4-2+1=3$
因此$(a-1)(a^2 + a + 1) = -3 × 3 = -9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
单项式的次数；代数式求值；绝对值运算
【点评】
本题主要考查单项式概念的应用，易错点是容易忽略系数不为0的隐含条件，误将$a=2$代入计算导致出错，解题时要结合定义全面考虑限制条件，同时两个式子的计算结果一致，也能为后续立方差公式的学习铺垫认知基础。
【难度系数】
0.7
17. (★★)【观察与发现】
$x^2y, -3x^2y^2,5x^2y^3,-7x^2y^4,9x^2y^5,-11x^2y^6,\dots$
(1)直接写出:第7个单项式是，第8个单项式是.
(2)第$n$($n$为大于0的整数)个单项式是什么？
(3)第$2n$($n$为大于0的整数)个单项式是什么？指出它的系数和次数.
$x^2y, -3x^2y^2,5x^2y^3,-7x^2y^4,9x^2y^5,-11x^2y^6,\dots$
(1)直接写出:第7个单项式是，第8个单项式是.
(2)第$n$($n$为大于0的整数)个单项式是什么？
(3)第$2n$($n$为大于0的整数)个单项式是什么？指出它的系数和次数.
答案
解：
(1) 第7个单项式是$\boldsymbol{13x^2y^7}$，第8个单项式是$\boldsymbol{-15x^2y^8}$。
(2) 观察规律：
符号：奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号；
系数的绝对值：第n个对应的绝对值为$2n-1$；
所有单项式中$x$的次数恒为2，$y$的次数等于项数$n$。
因此第$n$个单项式是$(-1)^{n+1}(2n-1)x^2y^n$。
(3) 把项数替换为$2n$，代入上述通项公式：
$(-1)^{2n+1}(2× 2n -1)x^2y^{2n}=-(4n-1)x^2y^{2n}$
即第$2n$个单项式是$-(4n-1)x^2y^{2n}$，它的系数是$-(4n-1)$（或$1-4n$），次数是$2+2n=2n+2$。
(1) 第7个单项式是$\boldsymbol{13x^2y^7}$，第8个单项式是$\boldsymbol{-15x^2y^8}$。
(2) 观察规律：
符号：奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号；
系数的绝对值：第n个对应的绝对值为$2n-1$；
所有单项式中$x$的次数恒为2，$y$的次数等于项数$n$。
因此第$n$个单项式是$(-1)^{n+1}(2n-1)x^2y^n$。
(3) 把项数替换为$2n$，代入上述通项公式：
$(-1)^{2n+1}(2× 2n -1)x^2y^{2n}=-(4n-1)x^2y^{2n}$
即第$2n$个单项式是$-(4n-1)x^2y^{2n}$，它的系数是$-(4n-1)$（或$1-4n$），次数是$2+2n=2n+2$。
解析
【分析】
解决这道单项式规律题，我们可以拆分单项式的各个构成要素分别找规律：首先看符号，奇数项为正、偶数项为负；其次看系数的绝对值，是连续的奇数，符合“2×项数-1”的规律；再看字母部分，所有项的x的次数固定为2，y的次数和项数相等。分别找到各部分规律后，再合并就能得到通用的通项公式，最后代入对应项数即可求解。
【解析】
(1) 第7个是奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×7-1=13$，x的次数为2，y的次数为7，因此第7个单项式为$13x^2y^7$；
第8个是偶数项，符号为负，系数绝对值为$2×8-1=15$，x的次数为2，y的次数为8，因此第8个单项式为$-15x^2y^8$。
(2) 符号规律可表示为$(-1)^{n+1}$（n为奇数时结果为正，n为偶数时结果为负），系数绝对值为$2n-1$，x的次数固定为2，y的次数为n，因此第n个单项式为$(-1)^{n+1}(2n-1)x^2y^n$。
(3) 将项数替换为$2n$代入第n个单项式的表达式：
符号部分：$(-1)^{2n+1}=-1$
系数绝对值部分：$2×2n-1=4n-1$
y的次数为$2n$，x的次数仍为2
合并得第2n个单项式为$-(4n-1)x^2y^{2n}$；
它的系数是$-(4n-1)$（或写为$1-4n$），次数是x的次数加y的次数，即$2+2n=2n+2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13x^2y^7}$，$\boldsymbol{-15x^2y^8}$
(2) $\boldsymbol{(-1)^{n+1}(2n-1)x^2y^n}$
(3) 第2n个单项式是$\boldsymbol{-(4n-1)x^2y^{2n}}$，系数是$\boldsymbol{-(4n-1)}$（或$\boldsymbol{1-4n}$），次数是$\boldsymbol{2n+2}$
【知识点】
1. 单项式的相关概念 2. 规律探究 3. 单项式的系数与次数
【点评】
本题是整式章节的典型规律类习题，核心解题思路是拆分单项式的各独立要素分别找规律再整合，能够有效考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这道单项式规律题，我们可以拆分单项式的各个构成要素分别找规律：首先看符号，奇数项为正、偶数项为负；其次看系数的绝对值，是连续的奇数，符合“2×项数-1”的规律；再看字母部分，所有项的x的次数固定为2，y的次数和项数相等。分别找到各部分规律后，再合并就能得到通用的通项公式，最后代入对应项数即可求解。
【解析】
(1) 第7个是奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×7-1=13$，x的次数为2，y的次数为7，因此第7个单项式为$13x^2y^7$；
第8个是偶数项，符号为负，系数绝对值为$2×8-1=15$，x的次数为2，y的次数为8，因此第8个单项式为$-15x^2y^8$。
(2) 符号规律可表示为$(-1)^{n+1}$（n为奇数时结果为正，n为偶数时结果为负），系数绝对值为$2n-1$，x的次数固定为2，y的次数为n，因此第n个单项式为$(-1)^{n+1}(2n-1)x^2y^n$。
(3) 将项数替换为$2n$代入第n个单项式的表达式：
符号部分：$(-1)^{2n+1}=-1$
系数绝对值部分：$2×2n-1=4n-1$
y的次数为$2n$，x的次数仍为2
合并得第2n个单项式为$-(4n-1)x^2y^{2n}$；
它的系数是$-(4n-1)$（或写为$1-4n$），次数是x的次数加y的次数，即$2+2n=2n+2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13x^2y^7}$，$\boldsymbol{-15x^2y^8}$
(2) $\boldsymbol{(-1)^{n+1}(2n-1)x^2y^n}$
(3) 第2n个单项式是$\boldsymbol{-(4n-1)x^2y^{2n}}$，系数是$\boldsymbol{-(4n-1)}$（或$\boldsymbol{1-4n}$），次数是$\boldsymbol{2n+2}$
【知识点】
1. 单项式的相关概念 2. 规律探究 3. 单项式的系数与次数
【点评】
本题是整式章节的典型规律类习题，核心解题思路是拆分单项式的各独立要素分别找规律再整合，能够有效考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
18. (★★)给出以下七个代数式：
$-2a,3ab^{2},\dfrac{2}{3},3a^{2}b,-3a^{3},5^{2},-\dfrac{3b}{4}.$
请按要求进行分类.
(1)分成两类,分类方法是分成含字母与不含字母两类.
①含字母的有；
②不含字母的有.
(2)模仿(1)的分类方式,分成三类,分类方法是.
①的有；
②的有；
③的有.
$-2a,3ab^{2},\dfrac{2}{3},3a^{2}b,-3a^{3},5^{2},-\dfrac{3b}{4}.$
请按要求进行分类.
(1)分成两类,分类方法是分成含字母与不含字母两类.
①含字母的有；
②不含字母的有.
(2)模仿(1)的分类方式,分成三类,分类方法是.
①的有；
②的有；
③的有.
答案
解：
(1) ①含字母的有 $\boldsymbol{-2a,3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3},-\dfrac{3b}{4}}$；
②不含字母的有 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$。
(2) 分类方法是 按单项式的次数分为0次、1次、3次三类（或按单项式的次数分为常数项、一次单项式、三次单项式）。
① 次数为0（或为常数项） 的有 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$；
② 次数为1（或为一次单项式） 的有 $\boldsymbol{-2a,-\dfrac{3b}{4}}$；
③ 次数为3（或为三次单项式） 的有 $\boldsymbol{3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3}}$。
(1) ①含字母的有 $\boldsymbol{-2a,3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3},-\dfrac{3b}{4}}$；
②不含字母的有 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$。
(2) 分类方法是 按单项式的次数分为0次、1次、3次三类（或按单项式的次数分为常数项、一次单项式、三次单项式）。
① 次数为0（或为常数项） 的有 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$；
② 次数为1（或为一次单项式） 的有 $\boldsymbol{-2a,-\dfrac{3b}{4}}$；
③ 次数为3（或为三次单项式） 的有 $\boldsymbol{3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3}}$。
解析
【分析】
对于(1)，解题思路是逐个判断7个代数式中是否包含字母，将包含字母的归为一类，不包含字母的常数归为另一类，分类时注意不重不漏。对于(2)，结合单项式的相关概念，可按单项式的次数分类：首先明确单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，常数项的次数为0，再分别计算每个单项式的次数，发现共有0次、1次、3次三类次数，因此可以按次数分为三类。
【解析】
(1) 逐个分析七个代数式：
$-2a$含字母$a$，$3ab^2$含字母$a、b$，$\dfrac{2}{3}$不含字母，$3a^2b$含字母$a、b$，$-3a^3$含字母$a$，$5^2=25$不含字母，$-\dfrac{3b}{4}$含字母$b$。
因此含字母的代数式为$-2a,3ab^2,3a^2b,-3a^3,-\dfrac{3b}{4}$，不含字母的代数式为$\dfrac{2}{3},5^2$。
(2) 先明确单项式次数的计算规则：单项式中所有字母的指数和为该单项式的次数，不含字母的常数项次数为0。
计算各单项式的次数：
$\dfrac{2}{3}、5^2$是常数，次数为0；
$-2a$中$a$的指数为1，$-\dfrac{3b}{4}$中$b$的指数为1，二者次数均为1；
$3ab^2$次数为$1+2=3$，$3a^2b$次数为$2+1=3$，$-3a^3$次数为3，三者次数均为3。
因此分类方法为：按单项式的次数分为常数项、一次单项式、三次单项式三类。
① 次数为0（常数项）的有$\dfrac{2}{3},5^2$；
② 次数为1（一次单项式）的有$-2a,-\dfrac{3b}{4}$；
③ 次数为3（三次单项式）的有$3ab^2,3a^2b,-3a^3$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{-2a,3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3},-\dfrac{3b}{4}}$；②$\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$
(2) 按单项式的次数分为常数项、一次单项式、三次单项式三类（合理即可）；
① 次数为0（或常数项）；$\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$
② 次数为1（或一次单项式）；$\boldsymbol{-2a,-\dfrac{3b}{4}}$
③ 次数为3（或三次单项式）；$\boldsymbol{3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3}}$
【知识点】
代数式识别、单项式的次数、分类讨论
【点评】
本题考查代数式的基础概念，重点是单项式次数的计算方法，解题时分类要做到不重不漏，熟练掌握基础概念是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.85
对于(1)，解题思路是逐个判断7个代数式中是否包含字母，将包含字母的归为一类，不包含字母的常数归为另一类，分类时注意不重不漏。对于(2)，结合单项式的相关概念，可按单项式的次数分类：首先明确单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，常数项的次数为0，再分别计算每个单项式的次数，发现共有0次、1次、3次三类次数，因此可以按次数分为三类。
【解析】
(1) 逐个分析七个代数式：
$-2a$含字母$a$，$3ab^2$含字母$a、b$，$\dfrac{2}{3}$不含字母，$3a^2b$含字母$a、b$，$-3a^3$含字母$a$，$5^2=25$不含字母，$-\dfrac{3b}{4}$含字母$b$。
因此含字母的代数式为$-2a,3ab^2,3a^2b,-3a^3,-\dfrac{3b}{4}$，不含字母的代数式为$\dfrac{2}{3},5^2$。
(2) 先明确单项式次数的计算规则：单项式中所有字母的指数和为该单项式的次数，不含字母的常数项次数为0。
计算各单项式的次数：
$\dfrac{2}{3}、5^2$是常数，次数为0；
$-2a$中$a$的指数为1，$-\dfrac{3b}{4}$中$b$的指数为1，二者次数均为1；
$3ab^2$次数为$1+2=3$，$3a^2b$次数为$2+1=3$，$-3a^3$次数为3，三者次数均为3。
因此分类方法为：按单项式的次数分为常数项、一次单项式、三次单项式三类。
① 次数为0（常数项）的有$\dfrac{2}{3},5^2$；
② 次数为1（一次单项式）的有$-2a,-\dfrac{3b}{4}$；
③ 次数为3（三次单项式）的有$3ab^2,3a^2b,-3a^3$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{-2a,3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3},-\dfrac{3b}{4}}$；②$\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$
(2) 按单项式的次数分为常数项、一次单项式、三次单项式三类（合理即可）；
① 次数为0（或常数项）；$\boldsymbol{\dfrac{2}{3},5^{2}}$
② 次数为1（或一次单项式）；$\boldsymbol{-2a,-\dfrac{3b}{4}}$
③ 次数为3（或三次单项式）；$\boldsymbol{3ab^{2},3a^{2}b,-3a^{3}}$
【知识点】
代数式识别、单项式的次数、分类讨论
【点评】
本题考查代数式的基础概念，重点是单项式次数的计算方法，解题时分类要做到不重不漏，熟练掌握基础概念是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.85
