1. 分式方程的概念
分母中含有的方程叫作分式方程。

1. 未知数

【分析】
本题考查分式方程的基础定义，解题时先回忆整式方程与分式方程的核心区别：整式方程的分母中不含未知数，分式方程的判定核心就是看分母中是否存在未知数，结合教材给出的分式方程概念即可直接得出答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，可知此处应填写“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，只需准确记忆分式方程的定义，区分开分式方程与整式方程的差异就能快速作答，属于送分题。
【难度系数】
0.9

【例1】(威海模拟)已知下列方程:①$\frac{x}{5}=2$；②$\frac{5}{x}=2$；③$y=\frac{2}{3}x$；④$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$；⑤$y+1=\frac{2}{y}$；⑥$1+3(x-2)=7-x$.其中是分式方程的是 ()

A.①②③④⑤
B.②③④
C.②④⑤
D.②④
规律总结 分式方程的分母中含有未知数,而整式方程的分母中不含有未知数或方程中无分母.

【例1】 C

【分析】
解决本题首先要明确分式方程的判定核心标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分母不含未知数或没有分母的方程属于整式方程。解题时只需逐个检查每个方程的分母是否含有未知数，筛选出符合定义的分式方程即可对应选出正确选项。
【解析】
解：根据分式方程的定义，逐个判断如下：
①$\frac{x}{5}=2$：分母为常数5，不含未知数，是整式方程；
②$\frac{5}{x}=2$：分母为未知数$x$，是分式方程；
③$y=\frac{2}{3}x$：分母为常数3，不含未知数，是整式方程；
④$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$：分母为$5+x$，含未知数$x$，是分式方程；
⑤$y+1=\frac{2}{y}$：分母为未知数$y$，是分式方程；
⑥$1+3(x-2)=7-x$：无分母，所有项均为整式，是整式方程。
综上，分式方程为②④⑤，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义；整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程“分母中含有未知数”的核心特征，判断时注意不要误将分子含未知数、分母为常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.7

【变式1】(上海模拟)下列方程中，不是分式方程的是（）

A.$\frac{3x+1}{3}=\frac{5x+3}{6}$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$-5x=\frac{1}{7x}$
D.$\frac{5x+3}{x}=7$

【变式1】 A

【分析】
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一分析每个选项的方程分母是否含有未知数，找到分母不含未知数的选项即可。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母里含有未知数的方程是分式方程，反之分母不含未知数的是整式方程。
逐个分析选项：
A. 方程$\frac{3x+1}{3}=\frac{5x+3}{6}$的分母是3和6，均为常数，不含有未知数，属于整式方程，不是分式方程；
B. 方程$x+\frac{1}{x}=2$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
C. 方程$-5x=\frac{1}{7x}$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
D. 方程$\frac{5x+3}{x}=7$的分母含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，不是分式方程的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是抓住分式方程的本质特征：分母中是否含有未知数，注意不要混淆分子含未知数和分母含未知数的情况。
【难度系数】
0.9

【变式2】在方程①$\frac{1}{x+1}=\frac{3}{y-2}$；②$3+\frac{1}{x}=2$；③$\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=0$；④$\frac{5}{x}=\frac{2}{x}+3$中，分式方程有个。

【变式2】 3

【分析】
判断分式方程的核心依据是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需依次检查每个方程的分母是否含有未知数，排除分母为常数的整式方程，就能统计出分式方程的个数。
【解析】
首先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程，对4个方程逐一判断：
1. 方程①$\frac{1}{x+1}=\frac{3}{y-2}$：分母分别为$x+1$、$y-2$，均含有未知数，属于分式方程；
2. 方程②$3+\frac{1}{x}=2$：分母为$x$，含有未知数，属于分式方程；
3. 方程③$\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=0$：分母为3和2，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
4. 方程④$\frac{5}{x}=\frac{2}{x}+3$：分母为$x$，含有未知数，属于分式方程。
综上，分式方程共有3个。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是抓住分式方程“分母含未知数”的核心特征，注意不要把分母仅含常数的整式方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.8

【例2】解下列方程：
(1)$\frac{3}{x-4}=5-\frac{2}{x-4}$；
(2)$\frac{1-x}{x-3}=\frac{x}{2x-6}-1$。
易错提醒 解分式方程常犯的四种错误:(1)去分母时漏乘;(2)忽视分数线的括号作用;(3)漏掉检验;(4)丢解。

解:(1)去分母,得 3=5(x-4)-2，
整理,得 3=5x-22，
解得 x=5。
检验:当 x=5 时,x-4≠0，
所以 x=5 是原分式方程的解。
(2)去分母,得 2(1-x)=x-(2x-6)，
去括号,得 2-2x=x-2x+6，
移项,得-2x-x+2x=6-2，
合并同类项,得-x=4，
系数化为1,得 x=-4。
检验:当 x=-4 时,x-3≠0，
所以 x=-4 是原分式方程的解。

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分母的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，注意不要漏乘不含分母的项，若分子是多项式，去分母后要给分子加括号；③解得到的整式方程；④检验所得的根是否使原方程分母为0（即是否为增根），最后确定原方程的解。
第(1)题分母都是$x-4$，最简公分母为$x-4$，去分母时常数项5也要乘$x-4$，不能漏乘；第(2)题先把$2x-6$因式分解为$2(x-3)$，可得最简公分母为$2(x-3)$，去分母时右边的常数项-1也要乘$2(x-3)$，同时注意分子是整体，去分母后要加括号。
【解析】
(1) 去分母，得 $3=5(x-4)-2$，
整理，得 $3=5x-22$，
解得 $x=5$。
检验：当 $x=5$ 时，$x-4≠0$，
所以 $x=5$ 是原分式方程的解。
(2) 去分母，得 $2(1-x)=x-(2x-6)$，
去括号，得 $2-2x=x-2x+6$，
移项，得 $-2x-x+2x=6-2$，
合并同类项，得 $-x=4$，
系数化为1，得 $x=-4$。
检验：当 $x=-4$ 时，$x-3≠0$，
所以 $x=-4$ 是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=5}$；(2) $\boldsymbol{x=-4}$
【知识点】
分式方程的解法、去分母法则、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程解法的基础训练题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，分子为多项式时要主动添加括号避免符号错误，最后必须检验根的有效性，是掌握分式方程解法的必练题型。
【难度系数】
0.8