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3. 下列运算不正确的是 （
A.$a^{-3} · a^{7}=a^{4}$
B.$(a^{-3})^{-2}=a^{6}$
C.$a^{2} ÷ a × \frac{1}{a}=a^{2}$
D.$a · a^{3}+a^{2} · a^{2}=2a^{4}$
C
）A.$a^{-3} · a^{7}=a^{4}$
B.$(a^{-3})^{-2}=a^{6}$
C.$a^{2} ÷ a × \frac{1}{a}=a^{2}$
D.$a · a^{3}+a^{2} · a^{2}=2a^{4}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题时需逐个选项运用整数指数幂的运算法则计算结果，再与选项给出的结果对比，即可找出运算不正确的选项。解题前要明确核心法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③同级乘除运算需按照从左到右的顺序计算，也可统一为乘法后利用同底数幂的除法法则计算。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：根据同底数幂乘法法则，$a^{-3} · a^{7}=a^{-3+7}=a^4$，运算正确，不符合题意；
B选项：根据幂的乘方法则，$(a^{-3})^{-2}=a^{(-3)×(-2)}=a^6$，运算正确，不符合题意；
C选项：乘除为同级运算，从左到右依次计算：$a^2 ÷ a × \frac{1}{a}=a^{2-1} × \frac{1}{a}=a × \frac{1}{a}=1$，计算结果为1，不是$a^2$，运算错误，符合题意；
D选项：先分别计算同底数幂乘法，再合并同类项：$a · a^3=a^{1+3}=a^4$，$a^2 · a^2=a^{2+2}=a^4$，相加得$a^4+a^4=2a^4$，运算正确，不符合题意。
综上，运算不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除运算；幂的乘方运算；整式同级运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是进行乘除混合运算时违背从左到右的运算顺序，错误先计算后两项的乘积，只要熟练掌握整数指数幂的运算法则和运算顺序即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的相关运算，解题时需逐个选项运用整数指数幂的运算法则计算结果，再与选项给出的结果对比，即可找出运算不正确的选项。解题前要明确核心法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③同级乘除运算需按照从左到右的顺序计算，也可统一为乘法后利用同底数幂的除法法则计算。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：根据同底数幂乘法法则，$a^{-3} · a^{7}=a^{-3+7}=a^4$，运算正确，不符合题意；
B选项：根据幂的乘方法则，$(a^{-3})^{-2}=a^{(-3)×(-2)}=a^6$，运算正确，不符合题意；
C选项：乘除为同级运算，从左到右依次计算：$a^2 ÷ a × \frac{1}{a}=a^{2-1} × \frac{1}{a}=a × \frac{1}{a}=1$，计算结果为1，不是$a^2$，运算错误，符合题意；
D选项：先分别计算同底数幂乘法，再合并同类项：$a · a^3=a^{1+3}=a^4$，$a^2 · a^2=a^{2+2}=a^4$，相加得$a^4+a^4=2a^4$，运算正确，不符合题意。
综上，运算不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除运算；幂的乘方运算；整式同级运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是进行乘除混合运算时违背从左到右的运算顺序，错误先计算后两项的乘积，只要熟练掌握整数指数幂的运算法则和运算顺序即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
4. 计算：$(3x^{-3}y)^{-2} ÷ (x^2 y^{-3})^{-2} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\dfrac{x^{10}}{9y^8}$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的混合运算，解题思路如下：第一步，先根据积的乘方和幂的乘方法则，分别计算被除式和除式的乘方结果，运算时要遵循负整数指数幂的转化规则（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数），幂的乘方运算做到底数不变、指数相乘；第二步，将除法运算转化为乘法运算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最终整理为只含正整数指数幂的形式即可。
【解析】
解：按运算顺序先计算乘方部分，再计算除法：
1. 计算被除式$(3x^{-3}y)^{-2}$：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3x^{-3}y)^{-2}=3^{-2}· (x^{-3})^{-2}· y^{-2}=\frac{1}{9}x^{6}y^{-2}=\frac{x^6}{9y^2}$
2. 计算除式$(x^2 y^{-3})^{-2}$：
同理可得：
$(x^2 y^{-3})^{-2}=(x^2)^{-2}· (y^{-3})^{-2}=x^{-4}y^{6}=\frac{y^6}{x^4}$
3. 计算除法运算：
除以一个不为0的式子等于乘以它的倒数，因此：
$\frac{x^6}{9y^2} ÷ \frac{y^6}{x^4} = \frac{x^6}{9y^2} × \frac{x^4}{y^6}$
根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加，计算得：
$=\frac{x^{6+4}}{9y^{2+6}}=\frac{x^{10}}{9y^8}$
【答案】
$\dfrac{x^{10}}{9y^8}$
【知识点】
整数指数幂运算、积的乘方、同底数幂乘除
【点评】
本题侧重考察整数指数幂相关运算法则的灵活应用，运算过程中要格外注意负指数的符号变化，熟练掌握各类幂的运算规则是正确解题的关键，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的混合运算，解题思路如下：第一步，先根据积的乘方和幂的乘方法则，分别计算被除式和除式的乘方结果，运算时要遵循负整数指数幂的转化规则（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数），幂的乘方运算做到底数不变、指数相乘；第二步，将除法运算转化为乘法运算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最终整理为只含正整数指数幂的形式即可。
【解析】
解：按运算顺序先计算乘方部分，再计算除法：
1. 计算被除式$(3x^{-3}y)^{-2}$：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3x^{-3}y)^{-2}=3^{-2}· (x^{-3})^{-2}· y^{-2}=\frac{1}{9}x^{6}y^{-2}=\frac{x^6}{9y^2}$
2. 计算除式$(x^2 y^{-3})^{-2}$：
同理可得：
$(x^2 y^{-3})^{-2}=(x^2)^{-2}· (y^{-3})^{-2}=x^{-4}y^{6}=\frac{y^6}{x^4}$
3. 计算除法运算：
除以一个不为0的式子等于乘以它的倒数，因此：
$\frac{x^6}{9y^2} ÷ \frac{y^6}{x^4} = \frac{x^6}{9y^2} × \frac{x^4}{y^6}$
根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加，计算得：
$=\frac{x^{6+4}}{9y^{2+6}}=\frac{x^{10}}{9y^8}$
【答案】
$\dfrac{x^{10}}{9y^8}$
【知识点】
整数指数幂运算、积的乘方、同底数幂乘除
【点评】
本题侧重考察整数指数幂相关运算法则的灵活应用，运算过程中要格外注意负指数的符号变化，熟练掌握各类幂的运算规则是正确解题的关键，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.7
5. 计算：
(1)$a^{-2} ÷ a^{5}$； (2)$(\dfrac{b^3}{a^2})^{-2}$； (3)$(a^{-1}b^2)^3$.
(1)$a^{-2} ÷ a^{5}$； (2)$(\dfrac{b^3}{a^2})^{-2}$； (3)$(a^{-1}b^2)^3$.
答案
解:(1)$a^{-2}÷a^{5}=a^{-2-5}=a^{-7}=\dfrac{1}{a^7}.$
(2)$(\dfrac{b^3}{a^2})^{-2}=\dfrac{b^{-6}}{a^{-4}}=a^4b^{-6}=\dfrac{a^4}{b^6}.$
(3)$(a^{-1}b^2)^3=a^{-3}b^6=\dfrac{b^6}{a^3}.$
(2)$(\dfrac{b^3}{a^2})^{-2}=\dfrac{b^{-6}}{a^{-4}}=a^4b^{-6}=\dfrac{a^4}{b^6}.$
(3)$(a^{-1}b^2)^3=a^{-3}b^6=\dfrac{b^6}{a^3}.$
解析
【分析】
这三道题均考查整数指数幂的运算法则，解题时先明确每道题对应的运算类型，再套用对应法则计算即可：(1)属于同底数幂的除法运算，可直接运用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则计算，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式；(2)属于分式的负整数指数幂运算，先运用分式乘方法则，将指数分别乘到分子、分母的各个因式上，再利用负整数指数幂的性质化简；(3)属于积的乘方运算，先运用“积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的法则计算，最后整理负指数即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数）：
$a^{-2}÷a^{5}=a^{-2-5}=a^{-7}$，再根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），化简得$\dfrac{1}{a^7}$。
(2) 根据分式乘方法则$(\dfrac{A}{B})^n=\dfrac{A^n}{B^n}$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(\dfrac{b^3}{a^2})^{-2}=\dfrac{(b^3)^{-2}}{(a^2)^{-2}}=\dfrac{b^{-6}}{a^{-4}}$，将负指数转化为正指数，即$a^{-4}$移到分子变为$a^4$，$b^{-6}$移到分母变为$b^6$，得$\dfrac{a^4}{b^6}$。
(3) 根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则：
$(a^{-1}b^2)^3=(a^{-1})^3· (b^2)^3=a^{-3}b^6$，转化负指数得$\dfrac{b^6}{a^3}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a^7}$；(2)$\dfrac{a^4}{b^6}$；(3)$\dfrac{b^6}{a^3}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规基础题，核心考查整数指数幂相关运算法则的灵活应用，运算时需注意指数的符号变化，将负整数指数转化为正整数指数时，要准确调换对应因式在分子、分母的位置，避免符号和位置混淆出错。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查整数指数幂的运算法则，解题时先明确每道题对应的运算类型，再套用对应法则计算即可：(1)属于同底数幂的除法运算，可直接运用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则计算，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式；(2)属于分式的负整数指数幂运算，先运用分式乘方法则，将指数分别乘到分子、分母的各个因式上，再利用负整数指数幂的性质化简；(3)属于积的乘方运算，先运用“积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的法则计算，最后整理负指数即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数）：
$a^{-2}÷a^{5}=a^{-2-5}=a^{-7}$，再根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），化简得$\dfrac{1}{a^7}$。
(2) 根据分式乘方法则$(\dfrac{A}{B})^n=\dfrac{A^n}{B^n}$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(\dfrac{b^3}{a^2})^{-2}=\dfrac{(b^3)^{-2}}{(a^2)^{-2}}=\dfrac{b^{-6}}{a^{-4}}$，将负指数转化为正指数，即$a^{-4}$移到分子变为$a^4$，$b^{-6}$移到分母变为$b^6$，得$\dfrac{a^4}{b^6}$。
(3) 根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则：
$(a^{-1}b^2)^3=(a^{-1})^3· (b^2)^3=a^{-3}b^6$，转化负指数得$\dfrac{b^6}{a^3}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a^7}$；(2)$\dfrac{a^4}{b^6}$；(3)$\dfrac{b^6}{a^3}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规基础题，核心考查整数指数幂相关运算法则的灵活应用，运算时需注意指数的符号变化，将负整数指数转化为正整数指数时，要准确调换对应因式在分子、分母的位置，避免符号和位置混淆出错。
【难度系数】
0.85
6. 计算：
(1) $4a^2b^3 · (-\frac{1}{2}ab^{-2})^3 · (\frac{1}{2})^{-2} · (2025)^0$；
(2) $(a^{-2}b^{-1})^{-3} · (2ab^2)^{-2}$；
(3) $(3 × 10^{-3})^3 ÷ (2 × 10^{-2})^2$。
(1) $4a^2b^3 · (-\frac{1}{2}ab^{-2})^3 · (\frac{1}{2})^{-2} · (2025)^0$；
(2) $(a^{-2}b^{-1})^{-3} · (2ab^2)^{-2}$；
(3) $(3 × 10^{-3})^3 ÷ (2 × 10^{-2})^2$。
答案
6. 解:(1)原式$=-4a^2b^3 · \dfrac{1}{8}a^3b^{-6} · 4 · 1=-2a^5b^{-3}=-\dfrac{2a^5}{b^3}.$
(2)原式$=a^6b^3 · \dfrac{1}{4}a^{-2}b^{-4}=\dfrac{1}{4}a^4b^{-1}=\dfrac{a^4}{4b}.$
(3)原式$=27×10^{-9}÷(4×10^{-4})=6.75×10^{-5}.$
(2)原式$=a^6b^3 · \dfrac{1}{4}a^{-2}b^{-4}=\dfrac{1}{4}a^4b^{-1}=\dfrac{a^4}{4b}.$
(3)原式$=27×10^{-9}÷(4×10^{-4})=6.75×10^{-5}.$
解析
【分析】
这三道题均考查整数指数幂的相关运算，解题遵循“先算乘方（含零指数、负整数指数幂运算），再算乘除，最后化简为正整数指数幂形式”的顺序。第一步先根据幂的乘方、积的乘方法则计算所有乘方项，其中非零数的零指数幂结果为1，负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；第二步将系数相乘除，同底数幂按照“底数不变，指数相加（乘法）/相减（除法）”的规则运算；第三步将结果中负指数化为正指数形式，科学记数法的运算单独处理系数和10的幂部分即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：
$(-\frac{1}{2}ab^{-2})^3 = (-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^{-2})^3 = -\frac{1}{8}a^3b^{-6}$
$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=4$
$(2025)^0=1$（非零数的0次幂为1）
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4a^2b^3 · (-\frac{1}{8}a^3b^{-6}) · 4 · 1\\&=(4 × (-\frac{1}{8}) × 4 × 1) · a^{2+3} · b^{3+(-6)}\\&=-2a^5b^{-3}\\&=-\frac{2a^5}{b^3}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方项：
$(a^{-2}b^{-1})^{-3} = a^{(-2)×(-3)} · b^{(-1)×(-3)} = a^6b^3$
$(2ab^2)^{-2} = 2^{-2} · a^{-2} · (b^2)^{-2} = \frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a^6b^3 · \frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}\\&=\frac{1}{4} · a^{6+(-2)} · b^{3+(-4)}\\&=\frac{1}{4}a^4b^{-1}\\&=\frac{a^4}{4b}\end{aligned}$
(3) 先计算乘方项：
$(3 × 10^{-3})^3 = 3^3 × (10^{-3})^3 = 27 × 10^{-9}$
$(2 × 10^{-2})^2 = 2^2 × (10^{-2})^2 = 4 × 10^{-4}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(27 × 10^{-9}) ÷ (4 × 10^{-4})\\&=(27 ÷ 4) × (10^{-9} ÷ 10^{-4})\\&=6.75 × 10^{-9 - (-4)}\\&=6.75 × 10^{-5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2a^5}{b^3}$
(2) $\dfrac{a^4}{4b}$
(3) $6.75×10^{-5}$
【知识点】
整数指数幂运算，零指数幂，负整数指数幂
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考查各类幂运算规则的灵活运用，解题时要注意指数的符号变化，尤其是负指数、幂的乘方运算中指数的计算不要出错，最终结果通常要化为正整数指数幂的形式，涉及科学记数法的运算可分开计算系数和幂的部分提高准确率。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查整数指数幂的相关运算，解题遵循“先算乘方（含零指数、负整数指数幂运算），再算乘除，最后化简为正整数指数幂形式”的顺序。第一步先根据幂的乘方、积的乘方法则计算所有乘方项，其中非零数的零指数幂结果为1，负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；第二步将系数相乘除，同底数幂按照“底数不变，指数相加（乘法）/相减（除法）”的规则运算；第三步将结果中负指数化为正指数形式，科学记数法的运算单独处理系数和10的幂部分即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：
$(-\frac{1}{2}ab^{-2})^3 = (-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^{-2})^3 = -\frac{1}{8}a^3b^{-6}$
$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=4$
$(2025)^0=1$（非零数的0次幂为1）
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4a^2b^3 · (-\frac{1}{8}a^3b^{-6}) · 4 · 1\\&=(4 × (-\frac{1}{8}) × 4 × 1) · a^{2+3} · b^{3+(-6)}\\&=-2a^5b^{-3}\\&=-\frac{2a^5}{b^3}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方项：
$(a^{-2}b^{-1})^{-3} = a^{(-2)×(-3)} · b^{(-1)×(-3)} = a^6b^3$
$(2ab^2)^{-2} = 2^{-2} · a^{-2} · (b^2)^{-2} = \frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a^6b^3 · \frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}\\&=\frac{1}{4} · a^{6+(-2)} · b^{3+(-4)}\\&=\frac{1}{4}a^4b^{-1}\\&=\frac{a^4}{4b}\end{aligned}$
(3) 先计算乘方项：
$(3 × 10^{-3})^3 = 3^3 × (10^{-3})^3 = 27 × 10^{-9}$
$(2 × 10^{-2})^2 = 2^2 × (10^{-2})^2 = 4 × 10^{-4}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(27 × 10^{-9}) ÷ (4 × 10^{-4})\\&=(27 ÷ 4) × (10^{-9} ÷ 10^{-4})\\&=6.75 × 10^{-9 - (-4)}\\&=6.75 × 10^{-5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2a^5}{b^3}$
(2) $\dfrac{a^4}{4b}$
(3) $6.75×10^{-5}$
【知识点】
整数指数幂运算，零指数幂，负整数指数幂
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考查各类幂运算规则的灵活运用，解题时要注意指数的符号变化，尤其是负指数、幂的乘方运算中指数的计算不要出错，最终结果通常要化为正整数指数幂的形式，涉及科学记数法的运算可分开计算系数和幂的部分提高准确率。
【难度系数】
0.7
7.某种花粉颗粒的直径约为$25 μm(1 μm=10^{-6} m)$，将这样的花粉颗粒紧密排成长为1 cm的一列，大约需要
400
颗。答案
7. 400
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心逻辑：需要的花粉颗粒数等于总长度除以单颗花粉的直径。由于题目给出的直径单位和总长度单位不统一，第一步必须先统一单位，再结合整数指数幂的运算法则进行计算，最终就能得到颗粒数。
【解析】
第一步：统一单位
已知$1μm=10^{-6}m$，因此单颗花粉直径为：
$25μm=25×10^{-6}m$
总长度$1cm$换算为米：
$1cm=10^{-2}m$
第二步：计算颗粒数
颗粒数$=$总长度$÷$单颗花粉直径，代入数值：
$\begin{aligned}n&=\frac{10^{-2}m}{25×10^{-6}m}\\&=\frac{10^{-2}}{25×10^{-6}}\\&=\frac{10^{-2}÷10^{-6}}{25}\\&=\frac{10^{4}}{25}\\&=400\end{aligned}$
【答案】
$400$
【知识点】
单位换算；整数指数幂运算
【点评】
本题结合生活场景考查基础运算能力，解题的关键是先统一单位，再根据除法的意义列式，计算时要注意整数指数幂的运算法则，避免指数运算出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确核心逻辑：需要的花粉颗粒数等于总长度除以单颗花粉的直径。由于题目给出的直径单位和总长度单位不统一，第一步必须先统一单位，再结合整数指数幂的运算法则进行计算，最终就能得到颗粒数。
【解析】
第一步：统一单位
已知$1μm=10^{-6}m$，因此单颗花粉直径为：
$25μm=25×10^{-6}m$
总长度$1cm$换算为米：
$1cm=10^{-2}m$
第二步：计算颗粒数
颗粒数$=$总长度$÷$单颗花粉直径，代入数值：
$\begin{aligned}n&=\frac{10^{-2}m}{25×10^{-6}m}\\&=\frac{10^{-2}}{25×10^{-6}}\\&=\frac{10^{-2}÷10^{-6}}{25}\\&=\frac{10^{4}}{25}\\&=400\end{aligned}$
【答案】
$400$
【知识点】
单位换算；整数指数幂运算
【点评】
本题结合生活场景考查基础运算能力，解题的关键是先统一单位，再根据除法的意义列式，计算时要注意整数指数幂的运算法则，避免指数运算出错。
【难度系数】
0.7
8. 若规定新的运算：$a@b=\frac{a}{b^2}$。那么$(4^{-1}xy^2)@(-2x^{-2}y)=$
$\dfrac{x^5}{16}$
。答案
8. $\dfrac{x^5}{16}$
解析
【分析】
本题是新定义运算结合整数指数幂的计算题，解题思路分三步：第一步先准确理解新运算“@”的规则：$a@b$等于$a$除以$b$的平方，明确本题中运算的$a$是$(4^{-1}xy^2)$，$b$是$(-2x^{-2}y)$；第二步将对应式子代入新运算公式，先计算$b$的平方，依据积的乘方、幂的乘方法则运算；第三步按照整数指数幂的除法法则计算，最后化简得到结果，注意负指数幂要转化为正指数幂，非零数的零指数幂结果为1。
【解析】
根据新运算规则$a@b=\frac{a}{b^2}$，代入对应代数式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4^{-1}xy^2}{(-2x^{-2}y)^2} \\&=\frac{4^{-1}xy^2}{(-2)^2· (x^{-2})^2· y^2} \quad \mathrm{（积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$）}\\&=\frac{\frac{1}{4}xy^2}{4x^{-4}y^2} \quad \mathrm{（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，负指数幂性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$）}\\&=\frac{1}{4} ÷ 4 · x^{1-(-4)} · y^{2-2} \quad \mathrm{（同底数幂除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0)$）}\\&=\frac{1}{16} · x^5 · y^0 \\&=\frac{x^5}{16} \quad \mathrm{（零指数幂性质：$a^0=1(a≠0)$）}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{x^5}{16}$
【知识点】
新定义运算、整数指数幂运算、幂的乘方运算
【点评】
本题核心是考查对新运算规则的理解和幂运算性质的灵活运用，解题时需先正确代入新运算公式，再严格按照幂的各类运算法则逐步计算，运算过程中要注意系数的符号、指数的加减规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合整数指数幂的计算题，解题思路分三步：第一步先准确理解新运算“@”的规则：$a@b$等于$a$除以$b$的平方，明确本题中运算的$a$是$(4^{-1}xy^2)$，$b$是$(-2x^{-2}y)$；第二步将对应式子代入新运算公式，先计算$b$的平方，依据积的乘方、幂的乘方法则运算；第三步按照整数指数幂的除法法则计算，最后化简得到结果，注意负指数幂要转化为正指数幂，非零数的零指数幂结果为1。
【解析】
根据新运算规则$a@b=\frac{a}{b^2}$，代入对应代数式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4^{-1}xy^2}{(-2x^{-2}y)^2} \\&=\frac{4^{-1}xy^2}{(-2)^2· (x^{-2})^2· y^2} \quad \mathrm{（积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$）}\\&=\frac{\frac{1}{4}xy^2}{4x^{-4}y^2} \quad \mathrm{（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，负指数幂性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$）}\\&=\frac{1}{4} ÷ 4 · x^{1-(-4)} · y^{2-2} \quad \mathrm{（同底数幂除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0)$）}\\&=\frac{1}{16} · x^5 · y^0 \\&=\frac{x^5}{16} \quad \mathrm{（零指数幂性质：$a^0=1(a≠0)$）}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{x^5}{16}$
【知识点】
新定义运算、整数指数幂运算、幂的乘方运算
【点评】
本题核心是考查对新运算规则的理解和幂运算性质的灵活运用，解题时需先正确代入新运算公式，再严格按照幂的各类运算法则逐步计算，运算过程中要注意系数的符号、指数的加减规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 当 $ m=-2, n=2 $ 时，求 $ -(mn^2)^{-1} · (-m^2n^3)^2 ÷ ( \frac{1}{m^2n} )^{-2} $ 的值。
答案
9. 解:原式$=-m^{-1}n^{-2} · m^4n^6 ÷ m^4n^2 = -m^{-1}n^{-2} · m^4n^6 · m^{-4}n^{-2}=-m^{-1}n^2=-\dfrac{n^2}{m}.$
当$m=-2,n=2$时，
原式$=-\dfrac{4}{-2}=2.$
当$m=-2,n=2$时，
原式$=-\dfrac{4}{-2}=2.$
解析
【分析】
这是一道整数指数幂的化简求值题，解题时优先化简原式再代值计算，可大幅降低计算量。思考路径如下：第一步先运用积的乘方、负整数指数幂的性质，拆分原式中每个幂运算项；第二步将除法转化为乘法，再根据同底数幂的运算法则合并同类项，得到最简代数式；最后将给定的m、n取值代入最简式，算出最终结果即可。
【解析】
解：先利用整数指数幂的运算性质化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-m^{-1}n^{-2} · m^4n^6 ÷ (m^4n^2)\\&=-m^{-1}n^{-2} · m^4n^6 · m^{-4}n^{-2}\\&=-m^{-1+4-4} · n^{-2+6-2}\\&=-m^{-1}n^2\\&=-\frac{n^2}{m}\end{aligned}$
当$m=-2, n=2$时，代入化简后的式子计算：
$\mathrm{原式}=-\frac{2^2}{-2}=-\frac{4}{-2}=2$
【答案】
2
【知识点】
1.整数指数幂运算 2.负指数幂性质 3.化简求值
【点评】
本题核心考查整数指数幂的混合运算规则，熟练掌握积的乘方、同底数幂乘除、负指数幂的运算规律是解题的基础，先化简后代入的解题思路能有效减少计算失误，运算过程中要特别注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
这是一道整数指数幂的化简求值题，解题时优先化简原式再代值计算，可大幅降低计算量。思考路径如下：第一步先运用积的乘方、负整数指数幂的性质，拆分原式中每个幂运算项；第二步将除法转化为乘法，再根据同底数幂的运算法则合并同类项，得到最简代数式；最后将给定的m、n取值代入最简式，算出最终结果即可。
【解析】
解：先利用整数指数幂的运算性质化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-m^{-1}n^{-2} · m^4n^6 ÷ (m^4n^2)\\&=-m^{-1}n^{-2} · m^4n^6 · m^{-4}n^{-2}\\&=-m^{-1+4-4} · n^{-2+6-2}\\&=-m^{-1}n^2\\&=-\frac{n^2}{m}\end{aligned}$
当$m=-2, n=2$时，代入化简后的式子计算：
$\mathrm{原式}=-\frac{2^2}{-2}=-\frac{4}{-2}=2$
【答案】
2
【知识点】
1.整数指数幂运算 2.负指数幂性质 3.化简求值
【点评】
本题核心考查整数指数幂的混合运算规则，熟练掌握积的乘方、同底数幂乘除、负指数幂的运算规律是解题的基础，先化简后代入的解题思路能有效减少计算失误，运算过程中要特别注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
10.(辽阳模拟)“黑洞”是恒星演化的最后阶段.根据有关理论,当一颗恒星衰老时,其中心的燃料(氢)已经被耗尽,在外壳的重压之下,核心开始坍缩,直到最后形成体积小、密度大的星体.如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍,那么就会引发另一次大坍缩.当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后,其引力就会变得相当强大,以至于光也不能逃脱出来,从而成为一个看不见的星体——黑洞.施瓦氏半径(单位:m)的计算公式是$R=\frac{2GM}{c^2}$,其中$G=6.67×10^{-11}\ \mathrm{N}·\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2$为万有引力常数,M表示星球的质量(单位:kg),$c=3×10^8\ \mathrm{m/s}$为光在真空中的速度.已知太阳质量为$2×10^{30}\ \mathrm{kg}$,计算太阳的施瓦氏半径.(结果用科学记数法表示,保留3位有效数字)
答案
10. 解:根据题意,得 $R=\dfrac{2×6.67×10^{-11}×2×10^{30}}{(3×10^8)^2}≈2.96×10^3\ \mathrm{m}.$
答:太阳的施瓦氏半径约为$2.96×10^3(\mathrm{m}).$
答:太阳的施瓦氏半径约为$2.96×10^3(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的施瓦氏半径计算公式$R=\frac{2GM}{c^2}$，先找到公式中各字母对应的已知数值：万有引力常数$G=6.67×10^{-11}\ \mathrm{N}·\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2$，太阳质量$M=2×10^{30}\ \mathrm{kg}$，光速$c=3×10^8\ \mathrm{m/s}$；再将数值代入公式，运用整数指数幂的运算规则分别计算分子、分母，最后按要求保留3位有效数字，用科学记数法表示结果即可。
【解析】
解：将$G=6.67×10^{-11}$，$M=2×10^{30}$，$c=3×10^8$代入公式$R=\frac{2GM}{c^2}$，得：
$\begin{aligned}R&=\frac{2×6.67×10^{-11}×2×10^{30}}{(3×10^8)^2}\\&=\frac{(2×6.67×2)×(10^{-11}×10^{30})}{9×10^{16}}\\&=\frac{26.68×10^{19}}{9×10^{16}}\\&=(26.68÷9)×10^{19-16}\\&\approx2.96×10^3\ \mathrm{m}\end{aligned}$
【答案】
$2.96×10^3\ \mathrm{m}$
【知识点】
代数式求值；整数指数幂的运算；科学记数法与有效数字
【点评】
本题结合天文科普知识考查基础运算能力，解题核心是准确代入数值、正确运用幂的运算性质计算，同时要注意题目对有效数字和记数形式的要求，属于运算应用型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的施瓦氏半径计算公式$R=\frac{2GM}{c^2}$，先找到公式中各字母对应的已知数值：万有引力常数$G=6.67×10^{-11}\ \mathrm{N}·\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2$，太阳质量$M=2×10^{30}\ \mathrm{kg}$，光速$c=3×10^8\ \mathrm{m/s}$；再将数值代入公式，运用整数指数幂的运算规则分别计算分子、分母，最后按要求保留3位有效数字，用科学记数法表示结果即可。
【解析】
解：将$G=6.67×10^{-11}$，$M=2×10^{30}$，$c=3×10^8$代入公式$R=\frac{2GM}{c^2}$，得：
$\begin{aligned}R&=\frac{2×6.67×10^{-11}×2×10^{30}}{(3×10^8)^2}\\&=\frac{(2×6.67×2)×(10^{-11}×10^{30})}{9×10^{16}}\\&=\frac{26.68×10^{19}}{9×10^{16}}\\&=(26.68÷9)×10^{19-16}\\&\approx2.96×10^3\ \mathrm{m}\end{aligned}$
【答案】
$2.96×10^3\ \mathrm{m}$
【知识点】
代数式求值；整数指数幂的运算；科学记数法与有效数字
【点评】
本题结合天文科普知识考查基础运算能力，解题核心是准确代入数值、正确运用幂的运算性质计算，同时要注意题目对有效数字和记数形式的要求，属于运算应用型基础题。
【难度系数】
0.7
