1.【例1】下列式子中,是分式方程的是 ()

A.$\frac{x^2 +1}{2} = \frac{5}{3}$
B.$\frac{1}{3x -1} + \frac{4x}{3x +1}$
C.$\frac{x}{2x -1} - \frac{3}{2x +1} =1$
D.$\frac{3 -x}{4} +2 = \frac{x -4}{3}$

1. C

【分析】
要判断哪个是分式方程，首先需明确分式方程的判定标准：①必须是含有未知数的等式（即属于方程）；②分母中含有未知数。解题时可对照这两个条件逐一分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一分析各选项：
选项A：等式的分母为2和3，均是常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
选项B：没有等号，只是一个代数式，不属于方程，不符合要求；
选项C：是含有未知数x的等式，且分母$2x-1$、$2x+1$中均含有未知数x，满足分式方程的定义，符合要求；
选项D：等式的分母为4和3，均是常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义、方程的概念、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记分式方程的两个判定条件，注意区分代数式与方程、整式方程与分式方程，避免因漏看分母是否含未知数或误把代数式当方程而失分。
【难度系数】
0.8

2. 已知下列方程，其中是关于$x$的分式方程的个数为（）
①$\frac{x}{a}=4$；②$\frac{a}{x}=5$；③$\frac{x^2 -9}{x+3}=1$；④$\frac{1}{x+2}=6$；
⑤$\frac{2x -1}{3}=x +7$；⑥$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x +4=0$。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

2. B

【分析】
要判断哪些是关于x的分式方程，首先要明确分式方程的判断标准：分母中含有未知数x的方程就是分式方程。解题时逐个分析每个方程的分母是否含有未知数x，符合标准的计数，最后统计总个数即可。注意不要混淆字母常数和未知数，也不能将方程化简后再判断，要以原方程为准。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，本题要求是关于x的分式方程，即分母需含有未知数x。
逐个判断如下：
①$\frac{x}{a}=4$：分母为$a$，是常数，不含未知数x，属于整式方程，不是分式方程；
②$\frac{a}{x}=5$：分母为$x$，含有未知数x，是分式方程；
③$\frac{x^2 -9}{x+3}=1$：分母为$x+3$，含有未知数x，是分式方程；
④$\frac{1}{x+2}=6$：分母为$x+2$，含有未知数x，是分式方程；
⑤$\frac{2x -1}{3}=x +7$：分母为3，是常数，不含未知数x，属于整式方程，不是分式方程；
⑥$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x +4=0$：所有分母都是常数，不含未知数x，属于整式方程，不是分式方程。
综上，是分式方程的有②③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程的判断依据：看原方程的分母中是否含有未知数，注意不要把式子中的字母常数错当成未知数，也不要对方程化简后再判断，避免出错。
【难度系数】
0.8

3.解分式方程的步骤:①去分母(两边同时乘,化为整式方程);②解整式方程;③(将整式方程的解代入最简公分母,若不为0,则是原方程的解;否则不是原方程的解)。

3. ①最简公分母 ③检验

【分析】
本题考查分式方程的解题步骤，属于基础识记类题型。思考时先回忆分式方程的求解逻辑：分式方程含有分母，首先要消去分母转化为我们熟悉的整式方程求解，消去分母需要乘所有分母的公共倍式即最简公分母，这样能一次性去掉所有分母；另外，去分母时我们给两边同乘的整式可能为0，此时变形会产生不满足原方程的增根，因此解完整式方程后必须验证解的有效性，验证方法就是题目给出的代入最简公分母判断是否为0，对应第三步的操作。
【解析】
根据分式方程的标准解题步骤：
①去分母：方程两边同时乘最简公分母，即可消去所有分母，将分式方程化为整式方程；
②解转化后的整式方程；
③检验：由于去分母的过程可能引入增根，因此需要将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，说明该解是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
因此两个空依次填最简公分母、检验。
【答案】
①最简公分母 ③检验
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对分式方程求解步骤的记忆与理解，掌握求解步骤是正确解分式方程的前提，尤其要注意不要遗漏验根环节。
【难度系数】
0.9

4.【例2】解方程：$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x}$。
【答题模板】解:方程两边乘，
得。
解得。
检验:当时，。
所以,原分式方程的解为。

4. $x(x + 3)$ $2x = x + 3$ $x = 3$ $x = 3$ $x(x + 3) ≠ 0$ $x = 3$

【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验是否存在增根。首先确定最简公分母：本题中两个分式的分母为$x+3$和$x$，因此最简公分母为$x(x+3)$；再将方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；接下来解整式方程得到未知数的取值；最后将求得的未知数的值代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则该值是原分式方程的解，若为0则是增根，需舍去。
【解析】
解:方程两边乘 $x(x + 3)$ ，
得 $2x = x + 3$ 。
解得 $x = 3$ 。
检验:当 $x = 3$ 时，$x(x + 3) ≠ 0$ 。
所以,原分式方程的解为 $x = 3$ 。
【答案】
$x(x + 3)$；$2x = x + 3$；$x = 3$；$x = 3$；$x(x + 3) ≠ 0$；$x = 3$
【知识点】
分式方程解法，分式方程验根，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，主要考察解分式方程的标准步骤，需注意验根是解分式方程的必要步骤，不可省略。
【难度系数】
0.8

5. 解方程：$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}.$

5. 解:方程两边乘$(x + 3)(x - 1)$,得
$2(x - 1) = x + 3$. 解得 $x = 5$.
检验:当 $x = 5$ 时,$(x + 3)(x - 1) ≠ 0$.
所以,原分式方程的解为 $x = 5$.

【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路为：首先将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：第一步找最简公分母，本题中两个分母分别为$x+3$和$x-1$，最简公分母为$(x+3)(x-1)$；第二步方程两边同乘最简公分母消去分母，得到一元一次方程；第三步解一元一次方程得到未知数的值；第四步检验，因为去分母过程可能产生增根，因此必须验证所得未知数的值是否使最简公分母不为0，满足条件的才是原方程的解。
【解析】
解：方程两边乘$(x + 3)(x - 1)$，得
$2(x - 1) = x + 3$
去括号得$2x-2=x+3$，移项合并同类项后解得 $x = 5$.
检验：当 $x = 5$ 时,$(x + 3)(x - 1) = 8×4=32≠0$，符合分母不为0的要求。
所以，原分式方程的解为 $x = 5$.
【答案】
$x=5$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，重点考查将分式方程转化为整式方程的转化思想，需牢记分式方程求解后必须进行验根，避免因增根得到错误结果。
【难度系数】
0.85

6.【例3】解方程：$\frac{1}{x-2} - \frac{1-x}{2-x} = -3.$
7. (2025威海节选)解方程：$\frac{x-2}{2x-1} -1 = \frac{1}{1-2x}.$

6. 解:把原方程化为$\frac{1}{x-2} + \frac{1-x}{x-2} = -3$.
方程两边乘 $x - 2$,得 $1 + 1 - x = -3(x - 2)$. 解得 $x = 2$.
检验:当 $x = 2$ 时,$x - 2 = 0$,
因此 $x = 2$ 不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
7. 解:方程两边乘 $2x - 1$,得 $x - 2 - (2x - 1) = -1$.
解得 $x = 0$.
检验:当 $x = 0$ 时,$2x - 1 ≠ 0$.
所以,原分式方程的解为 $x = 0$.

【分析】
解这两类分式方程的通用思考步骤如下：首先观察分母特征，发现互为相反数的分母先统一符号，确定最简公分母；再根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；接着求解整式方程；最后必须检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，说明该解是增根，原分式方程无解，若公分母不为0，才是原方程的解。第6题中2-x与x-2互为相反数，先将第二个分式的分母转化为x-2，注意分子要同步变号；第7题中1-2x与2x-1互为相反数，去分母时注意对应项的符号变化，同时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
6. 解：先统一分母符号，原方程变形为$\frac{1}{x-2} + \frac{1-x}{x-2} = -3$
方程两边同时乘最简公分母$x-2$，得：$1 + 1 - x = -3(x - 2)$
解整式方程：
$2 - x = -3x + 6$
$2x = 4$
$x = 2$
检验：当$x = 2$时，最简公分母$x - 2 = 0$，因此$x=2$是增根，不是原分式方程的解。
7. 解：方程两边同时乘最简公分母$2x - 1$，得：$x - 2 - (2x - 1) = -1$
解整式方程：
$x - 2 - 2x + 1 = -1$
$-x = 0$
$x = 0$
检验：当$x = 0$时，最简公分母$2x - 1 = -1 ≠ 0$，因此$x=0$是原分式方程的解。
【答案】
6. 原分式方程无解；7. $x=0$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，分式符号法则
【点评】
这两道题是分式方程解法的常规基础题，重点考查分母互为相反数时的符号处理、去分母的运算规则以及增根检验的必要性，易错点为去分母时漏乘常数项、符号处理错误以及忘记检验增根，解题时需留意这些细节。
【难度系数】
0.7