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8.【例4】用科学记数法表示下列各数：
(1)$0.000\ 301 =$
图1(2)$-0.000\ 052\ 6 =$
(1)$0.000\ 301 =$
$3.01 × 10^{-4}$
；图1(2)$-0.000\ 052\ 6 =$
$-5.26 × 10^{-5}$
.答案
8. (1) $3.01 × 10^{-4}$ (2) $-5.26 × 10^{-5}$
解析
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题思路如下：首先明确科学记数法的形式为$a×10^{-n}$，其中要满足$1≤|a|＜10$；其次确定$n$的值，$n$等于原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包含小数点前的那个0）；如果原数是负数，最后保留负号即可。
【解析】
用科学记数法表示绝对值小于1的数，形式为$a×10^{-n}$（$1≤|a|＜10$，$n$为正整数）。
(1) 对于$0.000301$，左边第一个非零数字是3，它前面共有4个0（含小数点前的0），因此$a=3.01$，$n=4$，即$0.000301=3.01×10^{-4}$。
(2) 对于$-0.0000526$，先保留负号，看数值部分$0.0000526$，左边第一个非零数字是5，它前面共有5个0（含小数点前的0），因此$a=5.26$，$n=5$，即$-0.0000526=-5.26×10^{-5}$。
【答案】
(1) $3.01 × 10^{-4}$ (2) $-5.26 × 10^{-5}$
【知识点】
科学记数法表示较小数，负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确确定$a$的取值和负指数$-n$中$n$的数值，熟练掌握规则后即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题思路如下：首先明确科学记数法的形式为$a×10^{-n}$，其中要满足$1≤|a|＜10$；其次确定$n$的值，$n$等于原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包含小数点前的那个0）；如果原数是负数，最后保留负号即可。
【解析】
用科学记数法表示绝对值小于1的数，形式为$a×10^{-n}$（$1≤|a|＜10$，$n$为正整数）。
(1) 对于$0.000301$，左边第一个非零数字是3，它前面共有4个0（含小数点前的0），因此$a=3.01$，$n=4$，即$0.000301=3.01×10^{-4}$。
(2) 对于$-0.0000526$，先保留负号，看数值部分$0.0000526$，左边第一个非零数字是5，它前面共有5个0（含小数点前的0），因此$a=5.26$，$n=5$，即$-0.0000526=-5.26×10^{-5}$。
【答案】
(1) $3.01 × 10^{-4}$ (2) $-5.26 × 10^{-5}$
【知识点】
科学记数法表示较小数，负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确确定$a$的取值和负指数$-n$中$n$的数值，熟练掌握规则后即可快速得分。
【难度系数】
0.9
9.【例5】计算:(结果用科学记数法表示)
(1)$(2× 10^{-3})× (3× 10^{-3})=$
(2)$(9× 10^{4})÷ (-18× 10^{7})=$
(1)$(2× 10^{-3})× (3× 10^{-3})=$
$6 × 10^{-6}$
;(2)$(9× 10^{4})÷ (-18× 10^{7})=$
$-5 × 10^{-4}$
.答案
9. (1) $6 × 10^{-6}$ (2) $-5 × 10^{-4}$
解析
【分析】
本题考查科学记数法形式下的数的乘除运算，解题思路如下：① 先将算式中的系数部分和幂的部分拆分，分别按照有理数乘除、同底数幂乘除法则计算；② 将两部分的计算结果合并，最后调整为科学记数法的标准形式（即$1≤|a|＜10$，$n$为整数）即可。
【解析】
(1) 计算$(2×10^{-3})×(3×10^{-3})$：
根据乘法交换律、结合律拆分计算：
原式$=(2×3)×(10^{-3}×10^{-3})$
系数相乘得：$2×3=6$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$10^{-3}×10^{-3}=10^{-3+(-3)}=10^{-6}$
合并得结果为$6×10^{-6}$，符合科学记数法规范。
(2) 计算$(9×10^{4})÷(-18×10^{7})$：
将系数和幂分别相除：
原式$=(9÷(-18))×(10^{4}÷10^{7})$
系数相除得：$9÷(-18)=-0.5$
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：$10^{4}÷10^{7}=10^{4-7}=10^{-3}$
合并得$-0.5×10^{-3}$，调整为科学记数法标准形式：
$-0.5×10^{-3}=-5×10^{-1}×10^{-3}=-5×10^{-4}$
【答案】
(1) $6×10^{-6}$；(2) $-5×10^{-4}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘除法
2. 科学记数法
3. 整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题的关键是将系数与幂分开计算，最后要注意检查结果是否符合科学记数法的规范，运算时要留心指数的符号以及系数的正负，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题考查科学记数法形式下的数的乘除运算，解题思路如下：① 先将算式中的系数部分和幂的部分拆分，分别按照有理数乘除、同底数幂乘除法则计算；② 将两部分的计算结果合并，最后调整为科学记数法的标准形式（即$1≤|a|＜10$，$n$为整数）即可。
【解析】
(1) 计算$(2×10^{-3})×(3×10^{-3})$：
根据乘法交换律、结合律拆分计算：
原式$=(2×3)×(10^{-3}×10^{-3})$
系数相乘得：$2×3=6$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$10^{-3}×10^{-3}=10^{-3+(-3)}=10^{-6}$
合并得结果为$6×10^{-6}$，符合科学记数法规范。
(2) 计算$(9×10^{4})÷(-18×10^{7})$：
将系数和幂分别相除：
原式$=(9÷(-18))×(10^{4}÷10^{7})$
系数相除得：$9÷(-18)=-0.5$
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：$10^{4}÷10^{7}=10^{4-7}=10^{-3}$
合并得$-0.5×10^{-3}$，调整为科学记数法标准形式：
$-0.5×10^{-3}=-5×10^{-1}×10^{-3}=-5×10^{-4}$
【答案】
(1) $6×10^{-6}$；(2) $-5×10^{-4}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘除法
2. 科学记数法
3. 整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题的关键是将系数与幂分开计算，最后要注意检查结果是否符合科学记数法的规范，运算时要留心指数的符号以及系数的正负，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
1. (2025 绥化改编) 计算：$(-1)^{2026} + (-\frac{1}{2026})^0 =$
2
.答案
1. 2
解析
【分析】
这道题是幂的基础运算题，解题时可分三步思考：第一步先处理$(-1)^{2026}$，回忆-1的幂次规律：-1的偶数次幂为1，奇数次幂为-1，2026是偶数，可直接得出这部分的结果；第二步处理$(-\frac{1}{2026})^0$，回忆零指数幂的运算规则：所有非零数的0次幂都等于1，先判断底数不为0，就能得到这部分的结果；第三步将两个结果相加，就能得到最终答案。
【解析】
解：分别计算两个幂的值再求和：
1. 计算$(-1)^{2026}$：
因为2026是偶数，所以$(-1)^{2026}=1$；
2. 计算$(-\frac{1}{2026})^0$：
因为底数$-\frac{1}{2026}≠0$，根据零指数幂的性质，可得$(-\frac{1}{2026})^0=1$；
3. 求和：$1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
乘方的运算；零指数幂的运算
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查常用幂的运算规则，只要牢记-1的幂次规律和零指数幂的适用前提（底数不为0），就能快速准确完成计算。
【难度系数】
0.9
这道题是幂的基础运算题，解题时可分三步思考：第一步先处理$(-1)^{2026}$，回忆-1的幂次规律：-1的偶数次幂为1，奇数次幂为-1，2026是偶数，可直接得出这部分的结果；第二步处理$(-\frac{1}{2026})^0$，回忆零指数幂的运算规则：所有非零数的0次幂都等于1，先判断底数不为0，就能得到这部分的结果；第三步将两个结果相加，就能得到最终答案。
【解析】
解：分别计算两个幂的值再求和：
1. 计算$(-1)^{2026}$：
因为2026是偶数，所以$(-1)^{2026}=1$；
2. 计算$(-\frac{1}{2026})^0$：
因为底数$-\frac{1}{2026}≠0$，根据零指数幂的性质，可得$(-\frac{1}{2026})^0=1$；
3. 求和：$1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
乘方的运算；零指数幂的运算
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查常用幂的运算规则，只要牢记-1的幂次规律和零指数幂的适用前提（底数不为0），就能快速准确完成计算。
【难度系数】
0.9
2. (跨学科)(2025河南)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为 (
A.$0.74×10^{-4}$
B.$7.4×10^{-4}$
C.$7.4×10^{-5}$
D.$74×10^{-6}$
C
)A.$0.74×10^{-4}$
B.$7.4×10^{-4}$
C.$7.4×10^{-5}$
D.$74×10^{-6}$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中必须满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$的值等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的总个数。解题时先根据$a$的取值范围排除不符合的选项，再确定$n$的数值就能选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为原数左起第一个非零数字前的0的总个数。
对于0.000074：
第一步，确定$a$的值：把小数点向右移动5位得到7.4，满足$1 ≤ 7.4 ＜ 10$，因此$a=7.4$，据此可排除A（$a=0.74＜1$）、D（$a=74＞10$）选项；
第二步，确定$n$的值：原数左起第一个非零数字是7，它前面一共有5个0（包含小数点前的0），因此$n=5$，即$10$的指数为$-5$，可排除B选项。
因此0.000074用科学记数法表示为$7.4 × 10^{-5}$。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题结合物理学科中自由电子移动速度的素材命题，体现跨学科融合的特点，考查科学记数法表示较小数的方法，属于基础题型，解题核心是准确掌握$a$的取值范围和$n$的确定规则。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中必须满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$的值等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的总个数。解题时先根据$a$的取值范围排除不符合的选项，再确定$n$的数值就能选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为原数左起第一个非零数字前的0的总个数。
对于0.000074：
第一步，确定$a$的值：把小数点向右移动5位得到7.4，满足$1 ≤ 7.4 ＜ 10$，因此$a=7.4$，据此可排除A（$a=0.74＜1$）、D（$a=74＞10$）选项；
第二步，确定$n$的值：原数左起第一个非零数字是7，它前面一共有5个0（包含小数点前的0），因此$n=5$，即$10$的指数为$-5$，可排除B选项。
因此0.000074用科学记数法表示为$7.4 × 10^{-5}$。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题结合物理学科中自由电子移动速度的素材命题，体现跨学科融合的特点，考查科学记数法表示较小数的方法，属于基础题型，解题核心是准确掌握$a$的取值范围和$n$的确定规则。
【难度系数】
0.85
3. 计算:$(3 × 10^{-3}) × (5 × 10^{-4}) =$
(结果用科学记数法表示)
$1.5 × 10^{-6}$
.(结果用科学记数法表示)
答案
3. $1.5 × 10^{-6}$
解析
【分析】
这是科学记数法表示的数的乘法运算，解题时可利用乘法交换律和结合律，将系数与同底数幂分别分组计算：第一步先计算两个系数3和5的乘积，第二步根据同底数幂的乘法法则计算10的幂次的乘积，第三步将前两步的结果相乘，若所得系数不符合科学记数法“系数a满足1≤a＜10”的要求，需要调整系数并同步调整10的指数，最终得到标准形式的结果。
【解析】
解：根据乘法运算律和同底数幂乘法法则计算：
$\begin{aligned}(3×10^{-3})×(5×10^{-4})&=(3×5)×(10^{-3}×10^{-4})\\&=15×10^{-3+(-4)}\\&=15×10^{-7}\\&=1.5×10^1×10^{-7}\\&=1.5×10^{-6}\end{aligned}$
【答案】
$1.5×10^{-6}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；单项式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查科学记数法的乘法运算规则，易错点是计算出系数后忘记调整为1到10之间的数，或者调整系数时指数的计算出错，掌握同底数幂运算法则和科学记数法的规范即可正确求解。
【难度系数】
0.8
这是科学记数法表示的数的乘法运算，解题时可利用乘法交换律和结合律，将系数与同底数幂分别分组计算：第一步先计算两个系数3和5的乘积，第二步根据同底数幂的乘法法则计算10的幂次的乘积，第三步将前两步的结果相乘，若所得系数不符合科学记数法“系数a满足1≤a＜10”的要求，需要调整系数并同步调整10的指数，最终得到标准形式的结果。
【解析】
解：根据乘法运算律和同底数幂乘法法则计算：
$\begin{aligned}(3×10^{-3})×(5×10^{-4})&=(3×5)×(10^{-3}×10^{-4})\\&=15×10^{-3+(-4)}\\&=15×10^{-7}\\&=1.5×10^1×10^{-7}\\&=1.5×10^{-6}\end{aligned}$
【答案】
$1.5×10^{-6}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；单项式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查科学记数法的乘法运算规则，易错点是计算出系数后忘记调整为1到10之间的数，或者调整系数时指数的计算出错，掌握同底数幂运算法则和科学记数法的规范即可正确求解。
【难度系数】
0.8
4. 计算: $(2xy^{-1})^2 · xy ÷ (-2x^{-2}y).$
答案
解:原式 $=4x^{2}y^{-2} · xy ÷ ( -2x^{-2}y )$
$=4x^{3}y^{-1} ÷ ( -2x^{-2}y ) = -2x^{5}y^{-2} = -\dfrac{2x^{5}}{y^{2}}.$
$=4x^{3}y^{-1} ÷ ( -2x^{-2}y ) = -2x^{5}y^{-2} = -\dfrac{2x^{5}}{y^{2}}.$
解析
【分析】
本题是含负整数指数幂的整式乘除混合运算，解题遵循先乘方、再乘除的运算顺序：第一步先利用积的乘方法则计算乘方项$(2xy^{-1})^2$；第二步按照从左到右的顺序，先计算同底数幂的乘法，再计算同底数幂的除法，运算时分别处理系数和同底数幂，同底数幂相乘底数不变、指数相加，相除时底数不变、指数相减；最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式即可。
【解析】
解：原式$=4x^{2}y^{-2} · xy ÷ ( -2x^{-2}y )$
先计算乘法，同底数幂相乘指数相加：
$=4x^{2+1}y^{-2+1} ÷ ( -2x^{-2}y )$
$=4x^{3}y^{-1} ÷ ( -2x^{-2}y )$
再计算除法，系数相除，同底数幂相除指数相减：
$=[4÷(-2)]x^{3-(-2)}y^{-1-1}$
$=-2x^{5}y^{-2}$
将负指数幂化为正指数幂形式：
$= -\dfrac{2x^{5}}{y^{2}}$
【答案】
$-\dfrac{2x^{5}}{y^{2}}$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘除；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查幂的相关运算法则的应用，运算时需注意系数的符号变化，以及同底数幂加减指数时的符号规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是含负整数指数幂的整式乘除混合运算，解题遵循先乘方、再乘除的运算顺序：第一步先利用积的乘方法则计算乘方项$(2xy^{-1})^2$；第二步按照从左到右的顺序，先计算同底数幂的乘法，再计算同底数幂的除法，运算时分别处理系数和同底数幂，同底数幂相乘底数不变、指数相加，相除时底数不变、指数相减；最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式即可。
【解析】
解：原式$=4x^{2}y^{-2} · xy ÷ ( -2x^{-2}y )$
先计算乘法，同底数幂相乘指数相加：
$=4x^{2+1}y^{-2+1} ÷ ( -2x^{-2}y )$
$=4x^{3}y^{-1} ÷ ( -2x^{-2}y )$
再计算除法，系数相除，同底数幂相除指数相减：
$=[4÷(-2)]x^{3-(-2)}y^{-1-1}$
$=-2x^{5}y^{-2}$
将负指数幂化为正指数幂形式：
$= -\dfrac{2x^{5}}{y^{2}}$
【答案】
$-\dfrac{2x^{5}}{y^{2}}$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘除；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查幂的相关运算法则的应用，运算时需注意系数的符号变化，以及同底数幂加减指数时的符号规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
5.（应用意识）据科学家测算，用1 t废纸造出的再生好纸相当于0.3 ~ 0.4亩森林木材的造纸量.某市今年大约有$6.7×10^{4}$名初中毕业生,每个毕业生离校时大约会产生12 kg废纸.若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸,则至少可使多少亩森林免遭砍伐？
答案
5. 解:$12\ \mathrm{kg} = 1.2 × 10^{-2}\ \mathrm{t}.$
$6.7 × 10^{4} × 1.2 × 10^{-2} × 0.3 = 2.412 × 10^{2} (\mathrm{亩}).$
答:至少可使$2.412 × 10^{2}$亩森林免遭砍伐.
$6.7 × 10^{4} × 1.2 × 10^{-2} × 0.3 = 2.412 × 10^{2} (\mathrm{亩}).$
答:至少可使$2.412 × 10^{2}$亩森林免遭砍伐.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确解题思路：第一步先统一单位，将废纸的质量单位从千克换算为吨，匹配题干中“1t废纸”的单位要求；第二步计算所有初中毕业生产生的废纸总质量；第三步注意题目要求“至少”使多少亩森林免遭砍伐，因此要选取1t废纸对应保护森林亩数的最小值0.3进行计算，最后用总废纸质量乘0.3就能得到最终结果。
【解析】
首先进行单位换算：
$12\ \mathrm{kg} = 12÷1000\ \mathrm{t} = 1.2 × 10^{-2}\ \mathrm{t}$
再计算所有毕业生产生的废纸总质量对应的可保护森林最小亩数：
$\begin{aligned}&6.7 × 10^{4} × 1.2 × 10^{-2} × 0.3\\=&(6.7×1.2×0.3)×(10^{4}×10^{-2})\\=&2.412×10^{2}\ (\mathrm{亩})\end{aligned}$
【答案】
至少可使$2.412 × 10^{2}$亩森林免遭砍伐。
【知识点】
科学记数法运算，单位换算，有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合环保场景考查数学知识的实际应用，解题的核心是准确理解“至少”的含义，选取正确的折算系数，同时要注意单位统一和科学记数法的运算规则，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确解题思路：第一步先统一单位，将废纸的质量单位从千克换算为吨，匹配题干中“1t废纸”的单位要求；第二步计算所有初中毕业生产生的废纸总质量；第三步注意题目要求“至少”使多少亩森林免遭砍伐，因此要选取1t废纸对应保护森林亩数的最小值0.3进行计算，最后用总废纸质量乘0.3就能得到最终结果。
【解析】
首先进行单位换算：
$12\ \mathrm{kg} = 12÷1000\ \mathrm{t} = 1.2 × 10^{-2}\ \mathrm{t}$
再计算所有毕业生产生的废纸总质量对应的可保护森林最小亩数：
$\begin{aligned}&6.7 × 10^{4} × 1.2 × 10^{-2} × 0.3\\=&(6.7×1.2×0.3)×(10^{4}×10^{-2})\\=&2.412×10^{2}\ (\mathrm{亩})\end{aligned}$
【答案】
至少可使$2.412 × 10^{2}$亩森林免遭砍伐。
【知识点】
科学记数法运算，单位换算，有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合环保场景考查数学知识的实际应用，解题的核心是准确理解“至少”的含义，选取正确的折算系数，同时要注意单位统一和科学记数法的运算规则，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
6. 若$m=-(-\dfrac{1}{2})^0$，$n=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，$p=(-2)^3$，则$m,n,p$的大小关系是
$p ＜ m ＜ n$
。答案
6. $p ＜ m ＜ n$
解析
【分析】
解题思路：要比较m、n、p的大小，首先需要根据幂的相关运算法则分别计算出m、n、p三个数的具体数值，再根据有理数大小比较的规则对三个数进行排序即可。首先回忆相关运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数；③负数的奇次幂为负。
【解析】
分别计算m、n、p的值：
1. 计算m：根据零指数幂的运算法则，非零数的0次幂为1，可得$(-\dfrac{1}{2})^0=1$，因此$m=-(-\dfrac{1}{2})^0=-1$；
2. 计算n：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$n=(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4$；
3. 计算p：根据有理数乘方的运算，$p=(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$；
4. 比较大小：正数大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，因此$-8 ＜ -1 ＜ 4$，即$p ＜ m ＜ n$。
【答案】
$p ＜ m ＜ n$
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查幂的相关运算规则，解题时要注意运算过程中的符号判断，避免因符号出错导致结果错误，熟练掌握各类幂的运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路：要比较m、n、p的大小，首先需要根据幂的相关运算法则分别计算出m、n、p三个数的具体数值，再根据有理数大小比较的规则对三个数进行排序即可。首先回忆相关运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数；③负数的奇次幂为负。
【解析】
分别计算m、n、p的值：
1. 计算m：根据零指数幂的运算法则，非零数的0次幂为1，可得$(-\dfrac{1}{2})^0=1$，因此$m=-(-\dfrac{1}{2})^0=-1$；
2. 计算n：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$n=(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4$；
3. 计算p：根据有理数乘方的运算，$p=(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$；
4. 比较大小：正数大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，因此$-8 ＜ -1 ＜ 4$，即$p ＜ m ＜ n$。
【答案】
$p ＜ m ＜ n$
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查幂的相关运算规则，解题时要注意运算过程中的符号判断，避免因符号出错导致结果错误，熟练掌握各类幂的运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.（新定义）若规定新运算：$a \otimes b = \frac{a^{-1}}{b^2}$，则$(4^{-1}xy^2z) \otimes (-2x^{-2}yz^{-1})$的值为________。
答案
$\dfrac{x^{3}z}{y^{4}}$
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解新运算“⊗”的规则：$a \otimes b$等于$a$的负1次方除以$b$的平方。第一步先确定新运算中对应的$a$和$b$，$a$是$(4^{-1}xy^2z)$，$b$是$(-2x^{-2}yz^{-1})$；第二步将$a$、$b$代入新运算公式，转化为我们熟悉的幂的运算问题；第三步依次运用积的乘方、同底数幂的乘除、负整数指数幂的运算法则化简，最终得到结果。
【解析】
根据新运算规则$a \otimes b = \frac{a^{-1}}{b^2}$，可得：
原式=$\frac{(4^{-1}xy^2z)^{-1}}{(-2x^{-2}yz^{-1})^2}$
1. 计算分子：
$(4^{-1}xy^2z)^{-1}=(4^{-1})^{-1} · x^{-1} · (y^2)^{-1} · z^{-1}=4x^{-1}y^{-2}z^{-1}$
2. 计算分母：
$(-2x^{-2}yz^{-1})^2=(-2)^2 · (x^{-2})^2 · y^2 · (z^{-1})^2=4x^{-4}y^2z^{-2}$
3. 分子除以分母化简：
原式=$\frac{4x^{-1}y^{-2}z^{-1}}{4x^{-4}y^2z^{-2}}$
=$\frac{4}{4} · x^{-1-(-4)} · y^{-2-2} · z^{-1-(-2)}$
=$x^3y^{-4}z$
=$\frac{x^3z}{y^4}$
【答案】
$\dfrac{x^{3}z}{y^{4}}$
【知识点】
新定义运算、负整数指数幂、幂的运算性质
【点评】
本题核心是对新运算规则的转化应用，需要熟练掌握幂的各类运算法则，运算时要注意指数的加减计算和负指数幂的变形，避免符号、指数计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解新运算“⊗”的规则：$a \otimes b$等于$a$的负1次方除以$b$的平方。第一步先确定新运算中对应的$a$和$b$，$a$是$(4^{-1}xy^2z)$，$b$是$(-2x^{-2}yz^{-1})$；第二步将$a$、$b$代入新运算公式，转化为我们熟悉的幂的运算问题；第三步依次运用积的乘方、同底数幂的乘除、负整数指数幂的运算法则化简，最终得到结果。
【解析】
根据新运算规则$a \otimes b = \frac{a^{-1}}{b^2}$，可得：
原式=$\frac{(4^{-1}xy^2z)^{-1}}{(-2x^{-2}yz^{-1})^2}$
1. 计算分子：
$(4^{-1}xy^2z)^{-1}=(4^{-1})^{-1} · x^{-1} · (y^2)^{-1} · z^{-1}=4x^{-1}y^{-2}z^{-1}$
2. 计算分母：
$(-2x^{-2}yz^{-1})^2=(-2)^2 · (x^{-2})^2 · y^2 · (z^{-1})^2=4x^{-4}y^2z^{-2}$
3. 分子除以分母化简：
原式=$\frac{4x^{-1}y^{-2}z^{-1}}{4x^{-4}y^2z^{-2}}$
=$\frac{4}{4} · x^{-1-(-4)} · y^{-2-2} · z^{-1-(-2)}$
=$x^3y^{-4}z$
=$\frac{x^3z}{y^4}$
【答案】
$\dfrac{x^{3}z}{y^{4}}$
【知识点】
新定义运算、负整数指数幂、幂的运算性质
【点评】
本题核心是对新运算规则的转化应用，需要熟练掌握幂的各类运算法则，运算时要注意指数的加减计算和负指数幂的变形，避免符号、指数计算错误。
【难度系数】
0.7
