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1. 在新闻报道中经常提到:城乡居民人均可支配收入显著增加,城乡居民差距持续缩小,这说明城乡居民人均可支配收入的平均数和方差发生了什么变化？（
A.方差和平均数均增大
B.方差和平均数均减小
C.方差增大,平均数减小
D.方差减小,平均数增大
D
）A.方差和平均数均增大
B.方差和平均数均减小
C.方差增大,平均数减小
D.方差减小,平均数增大
答案
1. D
解析
【分析】
解题时要分别对应题干描述和两个统计量的意义推导变化：第一步，明确平均数是反映数据平均水平的量，“人均可支配收入显著增加”说明收入整体平均水平上升，可推得平均数增大；第二步，明确方差是反映数据离散程度（波动大小）的量，“城乡居民差距持续缩小”说明收入的差异变小，可推得方差减小，结合两个结论即可匹配正确选项。
【解析】
1. 判断平均数的变化：平均数反映一组数据的平均水平，题干提到城乡居民人均可支配收入显著增加，说明居民收入的整体平均水平升高，因此平均数增大。
2. 判断方差的变化：方差反映一组数据的波动/离散程度，方差越小代表数据之间的差异越小。题干提到城乡居民差距持续缩小，说明城乡居民收入的差异变小，因此方差减小。
综上，平均数增大、方差减小，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；统计量实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查统计量的基础概念，解题核心是准确掌握平均数、方差对应的统计特征，能将生活描述转化为数学中统计量的变化规律，侧重基础概念的应用能力考查。
【难度系数】
0.8
解题时要分别对应题干描述和两个统计量的意义推导变化：第一步，明确平均数是反映数据平均水平的量，“人均可支配收入显著增加”说明收入整体平均水平上升，可推得平均数增大；第二步，明确方差是反映数据离散程度（波动大小）的量，“城乡居民差距持续缩小”说明收入的差异变小，可推得方差减小，结合两个结论即可匹配正确选项。
【解析】
1. 判断平均数的变化：平均数反映一组数据的平均水平，题干提到城乡居民人均可支配收入显著增加，说明居民收入的整体平均水平升高，因此平均数增大。
2. 判断方差的变化：方差反映一组数据的波动/离散程度，方差越小代表数据之间的差异越小。题干提到城乡居民差距持续缩小，说明城乡居民收入的差异变小，因此方差减小。
综上，平均数增大、方差减小，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；统计量实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查统计量的基础概念，解题核心是准确掌握平均数、方差对应的统计特征，能将生活描述转化为数学中统计量的变化规律，侧重基础概念的应用能力考查。
【难度系数】
0.8
2. 一组数据2,3,3,4中,平均数是
3
,离差平方和是2
,方差是$\frac{1}{2}$
。答案
2. 3 2 $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先明确三个统计量的计算公式，按顺序逐步计算即可：首先平均数等于所有数据总和除以数据总个数；其次离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和；最后方差等于离差平方和除以数据总个数，代入数据依次计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算平均数：
数据总和为 $2+3+3+4=12$，数据共4个，因此平均数 $\bar{x}=\frac{12}{4}=3$。
2. 计算离差平方和：
分别计算每个数据与平均数的差的平方：
$(2-3)^2=1$，$(3-3)^2=0$，$(3-3)^2=0$，$(4-3)^2=1$
求和得离差平方和为 $1+0+0+1=2$。
3. 计算方差：
方差为离差平方和除以数据个数，即 $s^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
3；2；$\frac{1}{2}$
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查常见统计量计算公式的掌握情况，牢记公式代入数据准确计算即可得分，计算时需注意平方运算、加法运算的准确性。
【难度系数】
0.9
解题时先明确三个统计量的计算公式，按顺序逐步计算即可：首先平均数等于所有数据总和除以数据总个数；其次离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和；最后方差等于离差平方和除以数据总个数，代入数据依次计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算平均数：
数据总和为 $2+3+3+4=12$，数据共4个，因此平均数 $\bar{x}=\frac{12}{4}=3$。
2. 计算离差平方和：
分别计算每个数据与平均数的差的平方：
$(2-3)^2=1$，$(3-3)^2=0$，$(3-3)^2=0$，$(4-3)^2=1$
求和得离差平方和为 $1+0+0+1=2$。
3. 计算方差：
方差为离差平方和除以数据个数，即 $s^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
3；2；$\frac{1}{2}$
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查常见统计量计算公式的掌握情况，牢记公式代入数据准确计算即可得分，计算时需注意平方运算、加法运算的准确性。
【难度系数】
0.9
3. 已知一个样本2，a，4，5，6，它的平均数是4，则这个样本的标准差是
$\sqrt{2}$
。答案
3. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确先后逻辑：第一步，题目已知样本平均数，可通过平均数的计算公式先求出未知数据a的值；第二步，标准差需要通过方差计算得到，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，求出方差后再取算术平方根就能得到标准差，按这个步骤逐步推导即可。
【解析】
1. 求未知数据a
样本平均数为4，样本共有5个数据，因此样本总数据和为 $4×5=20$
列等式：$2+a+4+5+6=20$
计算得：$17+a=20$，解得 $a=3$
2. 计算方差
方差公式为 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}=4$，$n=5$
代入数据：
$s^2=\frac{1}{5}[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=\frac{1}{5}×10=2$
3. 计算标准差
标准差是方差的算术平方根，因此 $s=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
平均数计算，方差计算，标准差定义
【点评】
本题属于统计基础计算题型，核心是牢记平均数、方差、标准差的相关公式，解题时先求出未知参数再依次计算对应统计量即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确先后逻辑：第一步，题目已知样本平均数，可通过平均数的计算公式先求出未知数据a的值；第二步，标准差需要通过方差计算得到，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，求出方差后再取算术平方根就能得到标准差，按这个步骤逐步推导即可。
【解析】
1. 求未知数据a
样本平均数为4，样本共有5个数据，因此样本总数据和为 $4×5=20$
列等式：$2+a+4+5+6=20$
计算得：$17+a=20$，解得 $a=3$
2. 计算方差
方差公式为 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}=4$，$n=5$
代入数据：
$s^2=\frac{1}{5}[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=\frac{1}{5}×10=2$
3. 计算标准差
标准差是方差的算术平方根，因此 $s=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
平均数计算，方差计算，标准差定义
【点评】
本题属于统计基础计算题型，核心是牢记平均数、方差、标准差的相关公式，解题时先求出未知参数再依次计算对应统计量即可。
【难度系数】
0.8
4. 在某校举办的职工篮球比赛中，甲、乙两队队员的身高统计如图 6-1-9 所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是
图 6-1-9
甲
队。图 6-1-9
答案
4. 甲
解析
【分析】
要判断哪队队员身高更整齐，本质是比较两队身高数据的方差大小：方差越小，数据波动越小，身高越整齐。折线统计图可直观反映数据的波动幅度，因此不需要计算具体方差，只需对比两队身高的波动大小即可。先观察甲队的折线，发现其身高数据都在较小范围内浮动，再看乙队的折线，高低差异明显，波动更大，由此可得出结论。
【解析】
判断身高的整齐程度可通过比较数据的波动（方差）判断：数据波动越小，方差越小，身高越整齐。
观察折线统计图可知：甲队队员的身高均在175cm~180cm之间，波动幅度很小；乙队队员身高最低接近170cm，最高接近190cm，波动幅度远大于甲队。因此甲队身高的方差更小，更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图的应用；方差的意义
【点评】
本题结合生活场景考查数据离散程度的判断，解题的关键是理解“数据整齐程度与波动、方差的关系”，无需计算具体数值，通过观察折线波动幅度即可快速作答，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要判断哪队队员身高更整齐，本质是比较两队身高数据的方差大小：方差越小，数据波动越小，身高越整齐。折线统计图可直观反映数据的波动幅度，因此不需要计算具体方差，只需对比两队身高的波动大小即可。先观察甲队的折线，发现其身高数据都在较小范围内浮动，再看乙队的折线，高低差异明显，波动更大，由此可得出结论。
【解析】
判断身高的整齐程度可通过比较数据的波动（方差）判断：数据波动越小，方差越小，身高越整齐。
观察折线统计图可知：甲队队员的身高均在175cm~180cm之间，波动幅度很小；乙队队员身高最低接近170cm，最高接近190cm，波动幅度远大于甲队。因此甲队身高的方差更小，更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图的应用；方差的意义
【点评】
本题结合生活场景考查数据离散程度的判断，解题的关键是理解“数据整齐程度与波动、方差的关系”，无需计算具体数值，通过观察折线波动幅度即可快速作答，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
5. 某火龙果种植基地借助灯光补给系统促进火龙果光合作用，技术员从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各随机选10棵，其产量的平均数$\bar{x}$(单位:kg)和方差$s^2$如表6-1-7：
表6-1-7
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\bar{x}$ | 22 |
| 22 | 19 |
| $s^2$ | 0.4 | 0.4 | 1.6 | 1.6 |
种植基地计划选出产量既高又稳定的品种进行种植，应选的品种是
表6-1-7
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\bar{x}$ | 22 |
| 22 | 19 || $s^2$ | 0.4 | 0.4 | 1.6 | 1.6 |
种植基地计划选出产量既高又稳定的品种进行种植，应选的品种是
甲
。答案
5. 甲
解析
【分析】要选出产量既高又稳定的品种，需要结合平均数和方差两个统计量判断：平均数反映整体产量水平，平均数越大说明平均产量越高；方差反映数据的稳定性，方差越小说明产量波动越小、越稳定。解题时先筛选出平均产量高的品种，再从中选出方差最小的品种，即为符合要求的品种。
【解析】
1. 比较平均产量：观察四个品种的平均数$\bar{x}$，甲、丙的平均产量为22kg，大于乙、丁的19kg，说明甲、丙的平均产量更高，首先排除乙、丁两个品种。
2. 比较产量稳定性：观察甲、丙的方差$s^2$，甲的方差为0.4，小于丙的方差1.6，说明甲的产量波动更小，稳定性更强。
综上，产量既高又稳定的品种是甲。
【答案】甲
【知识点】平均数；方差
【点评】本题考查统计量的实际应用，解题时需要结合各统计量的意义按需筛选，牢记“平均数越高整体水平越高，方差越小数据越稳定”是解题的核心。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 比较平均产量：观察四个品种的平均数$\bar{x}$，甲、丙的平均产量为22kg，大于乙、丁的19kg，说明甲、丙的平均产量更高，首先排除乙、丁两个品种。
2. 比较产量稳定性：观察甲、丙的方差$s^2$，甲的方差为0.4，小于丙的方差1.6，说明甲的产量波动更小，稳定性更强。
综上，产量既高又稳定的品种是甲。
【答案】甲
【知识点】平均数；方差
【点评】本题考查统计量的实际应用，解题时需要结合各统计量的意义按需筛选，牢记“平均数越高整体水平越高，方差越小数据越稳定”是解题的核心。
【难度系数】0.8
6. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5次，他们的成绩（单位：环）统计如表6-1-8：
表6-1-8
(1)求a的值和甲、乙两人成绩的方差；
(2)请你从平均数和方差的角度分析，社区将会选择谁参加集训？
表6-1-8
(1)求a的值和甲、乙两人成绩的方差；
(2)请你从平均数和方差的角度分析，社区将会选择谁参加集训？
答案
6. 解:(1)因为乙的成绩的平均数为6环,所以a=6×5-(7+5+7+7)=4。
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(9-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}]=3.6$,
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(7-6)^{2}+(5-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}]=1.6$。
(2)社区将会选择乙参加集训。理由如下：
由(1)可知甲、乙两人射箭成绩的平均数相等，但$s_{乙}^{2}＜s_{甲}^{2}$,所以乙的成绩比较稳定。
故社区将会选择乙参加集训。
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(9-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}]=3.6$,
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(7-6)^{2}+(5-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}]=1.6$。
(2)社区将会选择乙参加集训。理由如下：
由(1)可知甲、乙两人射箭成绩的平均数相等，但$s_{乙}^{2}＜s_{甲}^{2}$,所以乙的成绩比较稳定。
故社区将会选择乙参加集训。
解析
【分析】
（1）求a的值时，可利用平均数的计算公式：平均数=数据总和÷数据个数，先算出乙5次成绩的总环数，再减去已知4次的成绩和即可得到a。求方差时，需牢记方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，分别将甲、乙的每次成绩、对应平均数代入公式计算即可。
（2）从平均数和方差分析选人时，首先看平均水平，若平均数相同，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，优先选择方差小的选手即可。
【解析】
(1) 已知乙的平均成绩为6环，共射击5次，因此乙5次成绩的总环数为$6×5=30$环，
则$a=30-(7+5+7+7)=4$。
甲的平均成绩为6环，根据方差公式计算甲的方差：
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(9-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}]$
$=\frac{1}{5}×(9+4+1+4+0)$
$=3.6$。
乙的平均成绩为6环，同理计算乙的方差：
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(7-6)^{2}+(5-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+4+1)$
$=1.6$。
(2) 由(1)可知，甲、乙两人的射箭平均成绩相等，均为6环，说明两人平均水平相当；但$s_{乙}^{2}＜s_{甲}^{2}$，说明乙的成绩波动更小，稳定性更强，因此社区选择乙参加集训。
【答案】
(1) $a=4$，甲的方差为3.6，乙的方差为1.6；
(2) 社区将会选择乙参加集训。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的计算与应用，解题的关键是熟练掌握平均数、方差的计算公式，理解方差反映数据波动程度的特性，能结合统计量的实际意义做出合理决策。
【难度系数】
0.8
（1）求a的值时，可利用平均数的计算公式：平均数=数据总和÷数据个数，先算出乙5次成绩的总环数，再减去已知4次的成绩和即可得到a。求方差时，需牢记方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，分别将甲、乙的每次成绩、对应平均数代入公式计算即可。
（2）从平均数和方差分析选人时，首先看平均水平，若平均数相同，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，优先选择方差小的选手即可。
【解析】
(1) 已知乙的平均成绩为6环，共射击5次，因此乙5次成绩的总环数为$6×5=30$环，
则$a=30-(7+5+7+7)=4$。
甲的平均成绩为6环，根据方差公式计算甲的方差：
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(9-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}]$
$=\frac{1}{5}×(9+4+1+4+0)$
$=3.6$。
乙的平均成绩为6环，同理计算乙的方差：
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(7-6)^{2}+(5-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+4+1)$
$=1.6$。
(2) 由(1)可知，甲、乙两人的射箭平均成绩相等，均为6环，说明两人平均水平相当；但$s_{乙}^{2}＜s_{甲}^{2}$，说明乙的成绩波动更小，稳定性更强，因此社区选择乙参加集训。
【答案】
(1) $a=4$，甲的方差为3.6，乙的方差为1.6；
(2) 社区将会选择乙参加集训。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的计算与应用，解题的关键是熟练掌握平均数、方差的计算公式，理解方差反映数据波动程度的特性，能结合统计量的实际意义做出合理决策。
【难度系数】
0.8
7. 为检测一批橡胶制品的弹性，现抽取15件样品测量其抗拉伸程度，得到的数据(单位:N)如下:5,4,4,5,5,7,3,4,5,5,6,6,4,6,6
(1)这批橡胶制品的抗拉伸程度的平均数为
(2)若这些样品的抗拉伸程度的方差大于1.3，这家工厂就应对机器进行检修，通过计算说明现在这家工厂是否需要检修生产设备。
(1)这批橡胶制品的抗拉伸程度的平均数为
5
N。(2)若这些样品的抗拉伸程度的方差大于1.3，这家工厂就应对机器进行检修，通过计算说明现在这家工厂是否需要检修生产设备。
答案
7.(1) 5
(2) 解:这组数据的方差为$\frac{1}{15}×[(3-5)^{2}+4×(4-5)^{2}+5×(5-5)^{2}+4×(6-5)^{2}+(7-5)^{2}]=\frac{16}{15}$，
因为$\frac{16}{15}＜1.3$，
所以这家工厂不需要检修生产设备。
(2) 解:这组数据的方差为$\frac{1}{15}×[(3-5)^{2}+4×(4-5)^{2}+5×(5-5)^{2}+4×(6-5)^{2}+(7-5)^{2}]=\frac{16}{15}$，
因为$\frac{16}{15}＜1.3$，
所以这家工厂不需要检修生产设备。
解析
【分析】
（1）求平均数时，平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数，先统计15个样品数据中每个数值出现的次数，计算出数据总和后除以总个数15，就能得到平均数。
（2）判断是否需要检修时，先根据方差的定义，即方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，结合第一问求出的平均数，利用各数值出现的频数简化方差的计算过程，再把算出的方差和1.3比较，若方差大于1.3则需要检修，反之不需要。
【解析】
（1）统计各数值出现的次数：3出现1次，4出现4次，5出现5次，6出现4次，7出现1次。
数据总和为：$3 + 4×4 + 5×5 + 6×4 +7 = 3+16+25+24+7=75$
平均数为：$75÷15=5$
（2）根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据计算：
$S^2=\frac{1}{15}×[(3-5)^2+4×(4-5)^2+5×(5-5)^2+4×(6-5)^2+(7-5)^2]$
$=\frac{1}{15}×(4 + 4×1 + 5×0 +4×1 +4)$
$=\frac{16}{15}$
因为$\frac{16}{15}＜1.3$，所以这家工厂不需要检修生产设备。
【答案】
（1）5；（2）不需要检修生产设备
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计决策
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查平均数和方差的运算规则，解题时通过统计各数据的频数可以大幅简化计算过程，只要牢记相关公式、细心计算就能顺利得出结果，需要注意最终要结合给定的判断标准完成决策。
【难度系数】
0.8
（1）求平均数时，平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数，先统计15个样品数据中每个数值出现的次数，计算出数据总和后除以总个数15，就能得到平均数。
（2）判断是否需要检修时，先根据方差的定义，即方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，结合第一问求出的平均数，利用各数值出现的频数简化方差的计算过程，再把算出的方差和1.3比较，若方差大于1.3则需要检修，反之不需要。
【解析】
（1）统计各数值出现的次数：3出现1次，4出现4次，5出现5次，6出现4次，7出现1次。
数据总和为：$3 + 4×4 + 5×5 + 6×4 +7 = 3+16+25+24+7=75$
平均数为：$75÷15=5$
（2）根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据计算：
$S^2=\frac{1}{15}×[(3-5)^2+4×(4-5)^2+5×(5-5)^2+4×(6-5)^2+(7-5)^2]$
$=\frac{1}{15}×(4 + 4×1 + 5×0 +4×1 +4)$
$=\frac{16}{15}$
因为$\frac{16}{15}＜1.3$，所以这家工厂不需要检修生产设备。
【答案】
（1）5；（2）不需要检修生产设备
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计决策
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查平均数和方差的运算规则，解题时通过统计各数据的频数可以大幅简化计算过程，只要牢记相关公式、细心计算就能顺利得出结果，需要注意最终要结合给定的判断标准完成决策。
【难度系数】
0.8
