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8. 某工厂用甲、乙两台机器生产零件，标准长度为10 cm。各抽查5个产品，结果如下，通过离差平方和判断哪台机器的生产更稳定。（单位：cm）
机器甲:10.1,9.8,10.2,9.9,10.0。
机器乙:10.0,10.0,9.5,10.5,9.0。
机器甲:10.1,9.8,10.2,9.9,10.0。
机器乙:10.0,10.0,9.5,10.5,9.0。
答案
8. 解:机器甲的算术平均数$\bar{x}_{甲}=(10.1+9.8+10.2+9.9+10.0)÷5=10.0(cm)$,其离差平方和$S_{甲}^{2}=(10.1-10.0)^{2}+(9.8-10.0)^{2}+(10.2-10.0)^{2}+(9.9-10.0)^{2}+(10.0-10.0)^{2}=0.1$；
机器乙的算术平均数$\bar{x}_{乙}=(10.0+10.0+9.5+10.5+9.0)÷5=9.8(cm)$,其离差平方和$S_{乙}^{2}=(10.0-9.8)^{2}+(10.0-9.8)^{2}+(9.5-9.8)^{2}+(10.5-9.8)^{2}+(9.0-9.8)^{2}=1.3$。
因为$S_{甲}^{2}＜S_{乙}^{2}$,所以甲机器的生产更稳定。
机器乙的算术平均数$\bar{x}_{乙}=(10.0+10.0+9.5+10.5+9.0)÷5=9.8(cm)$,其离差平方和$S_{乙}^{2}=(10.0-9.8)^{2}+(10.0-9.8)^{2}+(9.5-9.8)^{2}+(10.5-9.8)^{2}+(9.0-9.8)^{2}=1.3$。
因为$S_{甲}^{2}＜S_{乙}^{2}$,所以甲机器的生产更稳定。
解析
【分析】
要判断哪台机器生产更稳定，根据题目要求需通过离差平方和比较。首先需要分别计算甲、乙两台机器抽查零件长度的算术平均数，再分别计算每个数据与对应平均数的差的平方和（即离差平方和），最后比较两个离差平方和的大小，离差平方和越小代表数据波动越小，机器生产的稳定性就越好。
【解析】
1. 计算机器甲的相关数据：
机器甲的算术平均数$\bar{x}_{甲}=(10.1+9.8+10.2+9.9+10.0)÷5=10.0(\mathrm{cm})$
甲的离差平方和$S_{甲}^{2}=(10.1-10.0)^{2}+(9.8-10.0)^{2}+(10.2-10.0)^{2}+(9.9-10.0)^{2}+(10.0-10.0)^{2}=0.1$
2. 计算机器乙的相关数据：
机器乙的算术平均数$\bar{x}_{乙}=(10.0+10.0+9.5+10.5+9.0)÷5=9.8(\mathrm{cm})$
乙的离差平方和$S_{乙}^{2}=(10.0-9.8)^{2}+(10.0-9.8)^{2}+(9.5-9.8)^{2}+(10.5-9.8)^{2}+(9.0-9.8)^{2}=1.3$
3. 比较判断：因为$S_{甲}^{2}＜S_{乙}^{2}$，说明甲机器生产的零件长度波动更小。
【答案】
甲机器的生产更稳定
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，稳定性判断
【点评】
本题考查利用离差平方和判断数据的稳定性，解题核心是准确完成平均数和离差平方和的计算，明确离差平方和越小、数据波动程度越小、对应生产稳定性越高的规律，计算时注意仔细运算，避免平方、求和环节出现失误。
【难度系数】
0.8
要判断哪台机器生产更稳定，根据题目要求需通过离差平方和比较。首先需要分别计算甲、乙两台机器抽查零件长度的算术平均数，再分别计算每个数据与对应平均数的差的平方和（即离差平方和），最后比较两个离差平方和的大小，离差平方和越小代表数据波动越小，机器生产的稳定性就越好。
【解析】
1. 计算机器甲的相关数据：
机器甲的算术平均数$\bar{x}_{甲}=(10.1+9.8+10.2+9.9+10.0)÷5=10.0(\mathrm{cm})$
甲的离差平方和$S_{甲}^{2}=(10.1-10.0)^{2}+(9.8-10.0)^{2}+(10.2-10.0)^{2}+(9.9-10.0)^{2}+(10.0-10.0)^{2}=0.1$
2. 计算机器乙的相关数据：
机器乙的算术平均数$\bar{x}_{乙}=(10.0+10.0+9.5+10.5+9.0)÷5=9.8(\mathrm{cm})$
乙的离差平方和$S_{乙}^{2}=(10.0-9.8)^{2}+(10.0-9.8)^{2}+(9.5-9.8)^{2}+(10.5-9.8)^{2}+(9.0-9.8)^{2}=1.3$
3. 比较判断：因为$S_{甲}^{2}＜S_{乙}^{2}$，说明甲机器生产的零件长度波动更小。
【答案】
甲机器的生产更稳定
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，稳定性判断
【点评】
本题考查利用离差平方和判断数据的稳定性，解题核心是准确完成平均数和离差平方和的计算，明确离差平方和越小、数据波动程度越小、对应生产稳定性越高的规律，计算时注意仔细运算，避免平方、求和环节出现失误。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行一项抽样调查，从甲、乙两家网约车公司分别抽取的10名司机月收入如图6-1-10所示。（单位：万元）
甲网约车公司司机月收入人数分布扇形统计图 乙网约车公司司机月收入人数分布条形统计图
图6-1-10
根据以上信息，整理分析数据如下表6-1-9：
(1)填空：a=
(2)小明的叔叔决定从这两家网约车公司选择一家上班，你建议他选哪家网约车公司？请说明理由。
9. 近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行一项抽样调查，从甲、乙两家网约车公司分别抽取的10名司机月收入如图6-1-10所示。（单位：万元）
甲网约车公司司机月收入人数分布扇形统计图 乙网约车公司司机月收入人数分布条形统计图
图6-1-10
根据以上信息，整理分析数据如下表6-1-9：
(1)填空：a=
0.6
，b=0.6
。(2)小明的叔叔决定从这两家网约车公司选择一家上班，你建议他选哪家网约车公司？请说明理由。
答案
9.(1) 0.6 0.6
(2) 解:选甲公司。
理由:平均数一样,众数甲公司大于乙公司,且甲公司方差小,更稳定。
(答案不唯一,言之有理即可)
(2) 解:选甲公司。
理由:平均数一样,众数甲公司大于乙公司,且甲公司方差小,更稳定。
(答案不唯一,言之有理即可)
解析
【分析】
（1）求a、b的思路：a是甲公司10名司机月收入的中位数，b是乙公司10名司机月收入的中位数。10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数，因此只需分别从甲的扇形统计图、乙的条形统计图中提取数据，从小到大排序后找到第5、第6个数据求平均值即可。
（2）选择公司的思路：可以结合平均数、众数、方差等常用统计量的意义分析，平均数反映平均收入，众数反映多数人的收入水平，方差反映收入的稳定性，对比两家公司的这些统计量给出合理建议即可。
【解析】
（1）对于甲公司，共抽取10名司机，根据扇形统计图的人数分布，将月收入从小到大排列后，第5个和第6个数据均为0.6万元，因此中位数$a=(0.6+0.6)÷2=0.6$；
对于乙公司，共抽取10名司机，根据条形统计图的人数分布，将月收入从小到大排列后，第5个和第6个数据均为0.6万元，因此中位数$b=(0.6+0.6)÷2=0.6$。
（2）建议选择甲公司，理由：两家公司司机的月平均收入相同，甲公司的月收入众数大于乙公司，说明甲公司多数司机的收入更高；同时甲公司的方差小于乙公司，说明甲公司司机的月收入更稳定，因此优先选择甲公司。（若选择乙公司，理由合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{0.6}$；$\boxed{0.6}$
(2) 选甲公司。理由：平均数一样，众数甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定。（答案不唯一，言之有理即可）
【知识点】
中位数的计算；统计量的实际应用；方差的意义
【点评】
本题结合网约车收入的生活场景，考查了统计图的信息提取能力和统计量的实际应用能力，解题关键是掌握各统计量的含义，能根据实际需求选择合适的统计量做决策。
【难度系数】
0.7
（1）求a、b的思路：a是甲公司10名司机月收入的中位数，b是乙公司10名司机月收入的中位数。10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数，因此只需分别从甲的扇形统计图、乙的条形统计图中提取数据，从小到大排序后找到第5、第6个数据求平均值即可。
（2）选择公司的思路：可以结合平均数、众数、方差等常用统计量的意义分析，平均数反映平均收入，众数反映多数人的收入水平，方差反映收入的稳定性，对比两家公司的这些统计量给出合理建议即可。
【解析】
（1）对于甲公司，共抽取10名司机，根据扇形统计图的人数分布，将月收入从小到大排列后，第5个和第6个数据均为0.6万元，因此中位数$a=(0.6+0.6)÷2=0.6$；
对于乙公司，共抽取10名司机，根据条形统计图的人数分布，将月收入从小到大排列后，第5个和第6个数据均为0.6万元，因此中位数$b=(0.6+0.6)÷2=0.6$。
（2）建议选择甲公司，理由：两家公司司机的月平均收入相同，甲公司的月收入众数大于乙公司，说明甲公司多数司机的收入更高；同时甲公司的方差小于乙公司，说明甲公司司机的月收入更稳定，因此优先选择甲公司。（若选择乙公司，理由合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{0.6}$；$\boxed{0.6}$
(2) 选甲公司。理由：平均数一样，众数甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定。（答案不唯一，言之有理即可）
【知识点】
中位数的计算；统计量的实际应用；方差的意义
【点评】
本题结合网约车收入的生活场景，考查了统计图的信息提取能力和统计量的实际应用能力，解题关键是掌握各统计量的含义，能根据实际需求选择合适的统计量做决策。
【难度系数】
0.7
10. 某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据。图6-1-11是家长对课后延时服务的评分统计图。
图6-1-11
根据以上信息，整理分析数据如表6-1-10：
表6-1-10
请根据以上图表，回答下列问题：
(1)填空：$a=$
(2)在七、八两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致。据此推断，七、八两个年级中，
(3)综合上表6-1-10中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由。(写出一条理由即可)
图6-1-11
根据以上信息，整理分析数据如表6-1-10：
表6-1-10
请根据以上图表，回答下列问题：
(1)填空：$a=$
8
，$b=$7
，$c=$1.2
。(2)在七、八两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致。据此推断，七、八两个年级中，
七
年级家长的评价更一致。(填“七”或“八”)(3)综合上表6-1-10中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由。(写出一条理由即可)
答案
10.(1) 8 7 1.2 (2) 七
(3) 解:应该给七年级的老师颁奖。
理由:综合题表中的统计量,两个年级的平均数相同,但七年级的众数比八年级高,并且方差比八年级要小,说明七年级家长对课后延时服务较为满意,评价更一致。
(3) 解:应该给七年级的老师颁奖。
理由:综合题表中的统计量,两个年级的平均数相同,但七年级的众数比八年级高,并且方差比八年级要小,说明七年级家长对课后延时服务较为满意,评价更一致。
解析
【分析】
(1) 求解$a$、$b$、$c$需对应三类统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，方差按“各数据与平均数差的平方的平均值”计算，结合统计图中的数据即可求出对应值；
(2) 方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小数据波动越小，对比两个年级的方差大小即可判断；
(3) 结合统计量的实际意义分析，平均数相同的前提下，可从众数更高、方差更小的角度判断哪个年级的评分更突出。
【解析】
(1) 根据七年级抽取的10名家长评分数据，8分出现次数最多，因此众数$a=8$；将八年级10名家长的评分从小到大排序后，第5、6个数据均为7，因此中位数$b=\frac{7+7}{2}=7$；根据方差公式计算可得七年级评分的方差$c=1.2$。
(2) 方差越小数据波动越小，已知七年级的方差小于八年级的方差，因此七年级家长的评价更一致。
(3) 应该给七年级的老师颁奖。
理由：两个年级家长评分的平均数相同，但七年级评分的众数比八年级高，说明七年级更多家长给出了更高的评分，且七年级的方差更小，家长评价更一致，整体满意度更高。
【答案】
(1) $8$，$7$，$1.2$；(2) 七；(3) 应该给七年级的老师颁奖，理由：两个年级的平均数相同，但七年级的众数比八年级高，并且方差比八年级要小，说明七年级家长对课后延时服务较为满意，评价更一致。
【知识点】
众数，中位数，方差
【点评】
本题结合生活实际考查常见统计量的计算与应用，需要学生准确掌握各统计量的含义，能结合统计量作出合理决策，是统计部分的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$a$、$b$、$c$需对应三类统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，方差按“各数据与平均数差的平方的平均值”计算，结合统计图中的数据即可求出对应值；
(2) 方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小数据波动越小，对比两个年级的方差大小即可判断；
(3) 结合统计量的实际意义分析，平均数相同的前提下，可从众数更高、方差更小的角度判断哪个年级的评分更突出。
【解析】
(1) 根据七年级抽取的10名家长评分数据，8分出现次数最多，因此众数$a=8$；将八年级10名家长的评分从小到大排序后，第5、6个数据均为7，因此中位数$b=\frac{7+7}{2}=7$；根据方差公式计算可得七年级评分的方差$c=1.2$。
(2) 方差越小数据波动越小，已知七年级的方差小于八年级的方差，因此七年级家长的评价更一致。
(3) 应该给七年级的老师颁奖。
理由：两个年级家长评分的平均数相同，但七年级评分的众数比八年级高，说明七年级更多家长给出了更高的评分，且七年级的方差更小，家长评价更一致，整体满意度更高。
【答案】
(1) $8$，$7$，$1.2$；(2) 七；(3) 应该给七年级的老师颁奖，理由：两个年级的平均数相同，但七年级的众数比八年级高，并且方差比八年级要小，说明七年级家长对课后延时服务较为满意，评价更一致。
【知识点】
众数，中位数，方差
【点评】
本题结合生活实际考查常见统计量的计算与应用，需要学生准确掌握各统计量的含义，能结合统计量作出合理决策，是统计部分的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
