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如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，连接AD，OD.若$∠ COB=40°$，则$∠ A$的度数是
55
°.答案
55°
解析
【分析】
解题时先明确同圆中等弧对应圆心角相等的性质，首先根据AB是直径得到∠AOB为平角，先求出∠AOC的度数；再结合弧AD和弧CD相等，得出对应的两个圆心角∠AOD、∠COD相等，算出∠AOD的度数；最后利用圆的半径相等得到△AOD是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠A的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ AOB=180°$，可得$∠ AOC=180°-∠ COB=180°-40°=140°$
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧对应的圆心角相等
∴$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
∵OA、OD都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$
∴$△ AOD$是等腰三角形，$∠ A=∠ ADO$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ A=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
【答案】
55
【知识点】
弧与圆心角的关系；等腰三角形性质；圆的半径相等
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，解题核心是通过等弧与圆心角的对应关系求出待求角所在等腰三角形的顶角，侧重对基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先明确同圆中等弧对应圆心角相等的性质，首先根据AB是直径得到∠AOB为平角，先求出∠AOC的度数；再结合弧AD和弧CD相等，得出对应的两个圆心角∠AOD、∠COD相等，算出∠AOD的度数；最后利用圆的半径相等得到△AOD是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠A的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ AOB=180°$，可得$∠ AOC=180°-∠ COB=180°-40°=140°$
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧对应的圆心角相等
∴$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
∵OA、OD都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$
∴$△ AOD$是等腰三角形，$∠ A=∠ ADO$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ A=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
【答案】
55
【知识点】
弧与圆心角的关系；等腰三角形性质；圆的半径相等
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，解题核心是通过等弧与圆心角的对应关系求出待求角所在等腰三角形的顶角，侧重对基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
1. 下列图形中的角是圆心角的是 （
A B C D
A
） A B C D答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个图形中的角是圆心角，首先需要明确圆心角的判定条件：一是角的顶点必须在圆的圆心位置，二是角的两条边都要与圆相交（即两条边都是圆的半径）。解题时只需对照这两个条件逐一排查四个选项即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角，对各选项分析如下：
选项A：角的顶点在圆的圆心处，两条边均为圆的半径，和圆相交，完全符合圆心角的定义；
选项B：角的顶点在圆周上，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角；
选项C：角的顶点在圆内部但不在圆心处，不满足要求，不是圆心角；
选项D：角的顶点在圆周上，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记圆心角的两个判定要素，就能快速选出正确答案，易错点是容易忽略“顶点在圆心”这个核心条件。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形中的角是圆心角，首先需要明确圆心角的判定条件：一是角的顶点必须在圆的圆心位置，二是角的两条边都要与圆相交（即两条边都是圆的半径）。解题时只需对照这两个条件逐一排查四个选项即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角，对各选项分析如下：
选项A：角的顶点在圆的圆心处，两条边均为圆的半径，和圆相交，完全符合圆心角的定义；
选项B：角的顶点在圆周上，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角；
选项C：角的顶点在圆内部但不在圆心处，不满足要求，不是圆心角；
选项D：角的顶点在圆周上，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记圆心角的两个判定要素，就能快速选出正确答案，易错点是容易忽略“顶点在圆心”这个核心条件。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\odot O$中，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ OAB=50°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
（第2题图）
（第3题图）
A
）A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
（第2题图）
（第3题图）
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先观察图形，OA、OB都是圆的半径，可推出△OAB为等腰三角形，结合已知的∠OAB度数，利用三角形内角和可求出∠AOB的度数；再根据C是弧AB的中点，可知弧AC与弧BC相等，对应的圆心角也相等，即∠BOC为∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠OBA=∠OAB=50°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-50°-50°=80°
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
代入∠AOB=80°得：$∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形的特点，将弧中点的条件转化为角相等的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，OA、OB都是圆的半径，可推出△OAB为等腰三角形，结合已知的∠OAB度数，利用三角形内角和可求出∠AOB的度数；再根据C是弧AB的中点，可知弧AC与弧BC相等，对应的圆心角也相等，即∠BOC为∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠OBA=∠OAB=50°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-50°-50°=80°
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
代入∠AOB=80°得：$∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形的特点，将弧中点的条件转化为角相等的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$,则下列结论不正确的是（
A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ BOD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
B
）A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ BOD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查同圆中弧、圆心角、弦的关联性质，解题思路如下：首先从已知条件$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$出发，两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AD}$，可推导出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；再结合同圆中弧相等则对应弦相等、对应圆心角相等的性质，以及三角形全等、面积计算的知识，逐一验证每个选项，最终选出错误的结论。
【解析】
已知在$\odot O$中$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$：
1. 推导弧的关系：$\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此C选项结论正确，不符合题意；
2. 推导弦的关系：同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可得$AB=CD$，因此A选项结论正确，不符合题意；
3. 推导三角形面积关系：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，则二者对应的圆心角$∠ AOB=∠ COD$，又$OA=OB=OC=OD$（均为$\odot O$的半径），根据SAS可证$△ AOB≌△ COD$，因此$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，D选项结论正确，不符合题意；
4. 判断B选项：$∠ BOC$对应$\overset{\frown}{BC}$，$∠ BOD$对应$\overset{\frown}{BD}$，题干无$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$的条件，无法推出$∠ BOC=∠ BOD$，该结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角关系；全等三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查对圆中弧、弦、圆心角三者对应关系的掌握，做题时注意找准弧的公共部分做差推导剩余弧的关系，即可快速排除正确选项，得出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查同圆中弧、圆心角、弦的关联性质，解题思路如下：首先从已知条件$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$出发，两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AD}$，可推导出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；再结合同圆中弧相等则对应弦相等、对应圆心角相等的性质，以及三角形全等、面积计算的知识，逐一验证每个选项，最终选出错误的结论。
【解析】
已知在$\odot O$中$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$：
1. 推导弧的关系：$\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此C选项结论正确，不符合题意；
2. 推导弦的关系：同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可得$AB=CD$，因此A选项结论正确，不符合题意；
3. 推导三角形面积关系：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，则二者对应的圆心角$∠ AOB=∠ COD$，又$OA=OB=OC=OD$（均为$\odot O$的半径），根据SAS可证$△ AOB≌△ COD$，因此$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，D选项结论正确，不符合题意；
4. 判断B选项：$∠ BOC$对应$\overset{\frown}{BC}$，$∠ BOD$对应$\overset{\frown}{BD}$，题干无$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$的条件，无法推出$∠ BOC=∠ BOD$，该结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角关系；全等三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查对圆中弧、弦、圆心角三者对应关系的掌握，做题时注意找准弧的公共部分做差推导剩余弧的关系，即可快速排除正确选项，得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知AB,CD是$\odot O$的两条直径,
$CE// AB,\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角的度数为$70°$,
则$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数为
$CE// AB,\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角的度数为$70°$,
则$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数为
55°
。答案
4.55°
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求∠BOD的度数。解题思路如下：首先连接OE，根据弧与圆心角的对应关系得到∠COE的度数；再结合OC、OE都是半径，可知△COE是等腰三角形，可求出底角∠OCE的度数；接着利用CE//AB的平行性质，得到∠AOC与∠OCE相等；最后根据对顶角相等，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
连接辅助线OE，解题步骤如下：
1. 由$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角为$70°$，可得$∠ COE=70°$。
因为OC和OE都是$\odot O$的半径，所以$OC=OE$，$△ COE$为等腰三角形。
根据等腰三角形内角和性质，得$∠ OCE=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
2. 因为$CE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AOC=∠ OCE=55°$。
3. 因为$∠ BOD$与$∠ AOC$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ BOD=∠ AOC=55°$，即$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角为$55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
圆心角的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础性质与平面几何基础知识点结合的典型题型，解题的关键是正确构造辅助线得到等腰三角形，再结合平行、对顶角的性质逐步推导，是圆心角相关考点的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求∠BOD的度数。解题思路如下：首先连接OE，根据弧与圆心角的对应关系得到∠COE的度数；再结合OC、OE都是半径，可知△COE是等腰三角形，可求出底角∠OCE的度数；接着利用CE//AB的平行性质，得到∠AOC与∠OCE相等；最后根据对顶角相等，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
连接辅助线OE，解题步骤如下：
1. 由$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角为$70°$，可得$∠ COE=70°$。
因为OC和OE都是$\odot O$的半径，所以$OC=OE$，$△ COE$为等腰三角形。
根据等腰三角形内角和性质，得$∠ OCE=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
2. 因为$CE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AOC=∠ OCE=55°$。
3. 因为$∠ BOD$与$∠ AOC$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ BOD=∠ AOC=55°$，即$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角为$55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
圆心角的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础性质与平面几何基础知识点结合的典型题型，解题的关键是正确构造辅助线得到等腰三角形，再结合平行、对顶角的性质逐步推导，是圆心角相关考点的常考基础题。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=26°$,以点$C$为圆心,$BC$为半径的圆交$AB$于点$D$,则$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数为
52°
.答案
5.52°
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求圆心角$∠ BCD$的度数。首先根据直角三角形两锐角互余算出$∠ ABC$的度数；再结合同圆的半径相等，可得$CB=CD$，即$△ BCD$为等腰三角形，得到$∠ CDB=∠ CBD$；最后根据三角形内角和定理即可求出$∠ BCD$的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=26°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-26°=64°$
$\because CB、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CB=CD$，即$△ BCD$是等腰三角形
$\therefore ∠ CDB=∠ B=64°$
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BCD=180°-∠ B-∠ CDB=180°-64°-64°=52°$
即$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角为$52°$。
【答案】
$52°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆心角的定义
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的性质，解题关键是利用同圆半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度。
【难度系数】
0.85
要求$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求圆心角$∠ BCD$的度数。首先根据直角三角形两锐角互余算出$∠ ABC$的度数；再结合同圆的半径相等，可得$CB=CD$，即$△ BCD$为等腰三角形，得到$∠ CDB=∠ CBD$；最后根据三角形内角和定理即可求出$∠ BCD$的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=26°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-26°=64°$
$\because CB、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CB=CD$，即$△ BCD$是等腰三角形
$\therefore ∠ CDB=∠ B=64°$
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BCD=180°-∠ B-∠ CDB=180°-64°-64°=52°$
即$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角为$52°$。
【答案】
$52°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆心角的定义
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的性质，解题关键是利用同圆半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度。
【难度系数】
0.85
6.如图,在$\odot O$中,弦AD与BC相交于点E,且AD=BC,连接AB,CD.求证:AB=CD. 
答案
6.【证明】因为在$\odot O$中,AD=BC,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.所以AB=CD.
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.所以AB=CD.
解析
【分析】
要证明AB=CD，可利用同圆中弧与弦的对等关系推导：首先已知弦AD=BC，根据同圆中等弦对应的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再对两段相等的弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；最后根据同圆中等弧对应的弦相等，就能推出AB=CD。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，$AD=BC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
1. 同圆中等弦对等弧
2. 同圆中等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基础性质考题，重点考查同圆内弦与弧的转化关系，解题时只需抓住弦、弧的对等性质，结合弧的和差运算即可完成证明，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要证明AB=CD，可利用同圆中弧与弦的对等关系推导：首先已知弦AD=BC，根据同圆中等弦对应的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再对两段相等的弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；最后根据同圆中等弧对应的弦相等，就能推出AB=CD。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，$AD=BC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
1. 同圆中等弦对等弧
2. 同圆中等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基础性质考题，重点考查同圆内弦与弧的转化关系，解题时只需抓住弦、弧的对等性质，结合弧的和差运算即可完成证明，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7.如图,点A,E,F,B都在$\odot O$上,AB是$\odot O$的弦,OE,OF分别交弦AB于点C,D,且AC=BD,连接OA,OB.求证:$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$.
答案
7.【证明】因为OA=OB,所以$∠A=∠B$.
在$△ OAC$和$△ OBD$中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BD, \end{cases}$
所以$△ OAC≌△ OBD(\mathrm{SAS})$.
所以$∠AOE=∠BOF$.
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$.
在$△ OAC$和$△ OBD$中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BD, \end{cases}$
所以$△ OAC≌△ OBD(\mathrm{SAS})$.
所以$∠AOE=∠BOF$.
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$.
解析
【分析】
要证明$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等的性质，可先证明两段弧对应的圆心角相等。观察图形可得$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{EF}$，$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{EF}$，因此只需证$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，即证它们对应的圆心角$∠AOE=∠BOF$。已知OA、OB是$\odot O$的半径，故OA=OB，可推出$∠OAC=∠OBD$，结合题中给出的AC=BD，可通过SAS判定$△ OAC$和$△ OBD$全等，得到对应角$∠AOE=∠BOF$，逐步推导即可得证。
【解析】
证明：
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴ OA=OB，
∴ $∠A=∠B$。
在$△ OAC$和$△ OBD$中：
$\begin{cases}OA=OB, \\∠A=∠B, \\AC=BD,\end{cases}$
∴ $△ OAC≌△ OBD(\mathrm{SAS})$。
∴ $∠AOE=∠BOF$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$。
∵ $\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{EF}$，
∴ $\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$。
【答案】
证明：因为OA=OB,所以$∠A=∠B$.
在$△ OAC$和$△ OBD$中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BD, \end{cases}$
所以$△ OAC≌△ OBD(\mathrm{SAS})$.
所以$∠AOE=∠BOF$.
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$.
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，结合了全等三角形和圆的基本性质进行考察，解题关键是通过三角形全等得到相等的圆心角，再利用弧的和差关系完成求证，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等的性质，可先证明两段弧对应的圆心角相等。观察图形可得$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{EF}$，$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{EF}$，因此只需证$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，即证它们对应的圆心角$∠AOE=∠BOF$。已知OA、OB是$\odot O$的半径，故OA=OB，可推出$∠OAC=∠OBD$，结合题中给出的AC=BD，可通过SAS判定$△ OAC$和$△ OBD$全等，得到对应角$∠AOE=∠BOF$，逐步推导即可得证。
【解析】
证明：
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴ OA=OB，
∴ $∠A=∠B$。
在$△ OAC$和$△ OBD$中：
$\begin{cases}OA=OB, \\∠A=∠B, \\AC=BD,\end{cases}$
∴ $△ OAC≌△ OBD(\mathrm{SAS})$。
∴ $∠AOE=∠BOF$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$。
∵ $\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{EF}$，
∴ $\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$。
【答案】
证明：因为OA=OB,所以$∠A=∠B$.
在$△ OAC$和$△ OBD$中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BD, \end{cases}$
所以$△ OAC≌△ OBD(\mathrm{SAS})$.
所以$∠AOE=∠BOF$.
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}$.
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，结合了全等三角形和圆的基本性质进行考察，解题关键是通过三角形全等得到相等的圆心角，再利用弧的和差关系完成求证，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
