基础知识·预习
问题1 圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？如果将一个圆形纸片绕圆心旋转$180°$，你能发现什么？
问题2 如果两条弦相等，这两条弦所对的弧，以及所对的圆心角一定相等吗？

解：
问题1：圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆形纸片绕圆心旋转180°后，旋转后的图形与原圆形完全重合。
问题2：不一定相等。只有在同圆或等圆中，两条相等的弦所对应的同类型弧（同是优弧或同是劣弧）以及所对的圆心角才相等，若两条弦不在同一个圆或相等的圆中，它们所对的弧和圆心角都不一定相等。

【分析】
解答问题1时，先回忆中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形重合，这个图形就是中心对称图形，对应的点就是对称中心。结合圆的特征判断是否符合该定义，再推导旋转180°后的现象即可。解答问题2时，回忆圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，明确该关系成立必须满足“同圆或等圆”的条件，同时还要注意弧有优弧、劣弧之分，据此判断即可。
【解析】
问题1：根据中心对称图形的定义，圆绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合，绕圆心旋转180°时也不例外，因此圆是中心对称图形，对称中心为圆心；将圆形纸片绕圆心旋转180°后，旋转后的图形与原圆形完全重合。
问题2：“相等的弦所对的弧相等、所对的圆心角相等”的结论成立的前提是在同圆或等圆中，同时还要保证是同类型的弧（同是优弧或同是劣弧）。如果两条弦不在同圆或等圆中，即便弦的长度相等，它们所对的弧、圆心角也不一定相等，因此两条相等的弦所对的弧和圆心角不一定相等。
【答案】
问题1：圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆形纸片绕圆心旋转180°后，旋转后的图形与原圆形完全重合。
问题2：不一定相等。只有在同圆或等圆中，两条相等的弦所对应的同类型弧（同是优弧或同是劣弧）以及所对的圆心角才相等，若两条弦不在同一个圆或相等的圆中，它们所对的弧和圆心角都不一定相等。
【知识点】
中心对称图形的概念；圆的中心对称性；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题考查圆的基础性质，侧重对概念和定理适用条件的考查，学习时要注意牢记定理的前提条件，避免因忽略限制条件出现判断错误。
【难度系数】
0.75

【典型例题】如图，在$\odot O$中，AB，CD是两条弦，$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，垂足分别是E，F.

(1)已知$∠ AOB = ∠ COD$. 求证：$OE = OF$.
(2)已知$OE = OF$. 求证：$AB = CD$，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB = ∠ COD$.
思路导引 (1)在同圆中，已知$∠ AOB = ∠ COD$，可得它们所对的弦AB与CD相等. 再结合垂径定理，易证$\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF$，从而有$OE = OF$. (2)由已知条件易证$\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF$，得$AE = CF$，再结合
等腰三角形的性质及圆心角、弧、弦之间的关系定理，证明结论成立.
【证明】(1)$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore AB = CD$.
$\because OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$.
$\therefore AE = CF$.
又$OA = OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore OE = OF$.
(2)$\because OA = OC$，$OE = OF$，$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore AE = CF$.
$\because OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$.
$\therefore AB = CD$.
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB = ∠ COD$.
规律方法 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.

证明：(1)
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ COD$，
∴ $AB = CD$。
∵ $OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$。
∴ $AE = CF$。
又$OA = OC$，
∴ $\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$。
∴ $OE = OF$。
(2)
∵ $OA = OC$，$OE = OF$，$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
∴ $\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$。
∴ $AE = CF$。
∵ $OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$。
∴ $AB = CD$。
∴ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB = ∠ COD$。

【分析】
(1) 要证明$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导：首先根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，由$∠AOB=∠COD$可得$AB=CD$；再结合垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AE=\frac{1}{2}AB$、$CF=\frac{1}{2}CD$，进而推出$AE=CF$；最后结合$OA$、$OC$均为圆的半径，二者相等，利用HL判定$\mathrm{Rt}△OAE≌\mathrm{Rt}△OCF$，即可得到$OE=OF$。
(2) 要证明弦、弧、圆心角对应相等，可先通过全等推导弦长相等：已知$OE=OF$，$OA=OC$，且$△OAE$、$△OCF$都是直角三角形，可先用HL判定两个直角三角形全等，得到$AE=CF$；再由垂径定理可知$AB=2AE$、$CD=2CF$，因此$AB=CD$；最后根据同圆中相等的弦对应的弧、圆心角都相等，即可推出剩余结论。
【解析】
(1)
$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore AB = CD$。
$\because OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$。
$\therefore AE = CF$。
又$OA = OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$。
$\therefore OE = OF$。
(2)
$\because OA = OC$，$OE = OF$，$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$。
$\therefore AE = CF$。
$\because OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$。
$\therefore AB = CD$。
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB = ∠ COD$。
【答案】
(1)$OE=OF$得证；(2)$AB = CD$，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB = ∠ COD$得证，证明过程见解析。
【知识点】
垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形全等判定
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用习题，核心考查同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量转换规律，解题时结合垂径定理和直角三角形全等的判定推导等量关系即可，是巩固圆的基础性质的常规练习题。
【难度系数】
0.8