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2. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$，垂足为D.若$AB=8$，$OC=5$，则OD的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
（第2题图）
（第3题图）
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
（第2题图）（第3题图）
答案
2. A
解析
【分析】
解决这道题的思路如下：首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，符合垂径定理的使用条件，可先利用垂径定理求出弦AB一半的长度；其次要求OD的长，需构造直角三角形，连接半径OA，得到Rt△OAD，其中OA是半径长度已知，AD已求出，最后用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，
∴根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵OA是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，计算过程简单，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解决这道题的思路如下：首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，符合垂径定理的使用条件，可先利用垂径定理求出弦AB一半的长度；其次要求OD的长，需构造直角三角形，连接半径OA，得到Rt△OAD，其中OA是半径长度已知，AD已求出，最后用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，
∴根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵OA是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，计算过程简单，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
3.如图，$\odot O$的直径是AB，P，Q两点均在圆上，BP和OQ相交于点C.若$AB=10,BC=PC=4$,则CQ的长为（
A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
A
）A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先根据直径长度求出圆的半径，再由$BC=PC$判断出C是BP的中点，结合$OB=OP$得到等腰$△ OBP$，利用等腰三角形三线合一的性质得到$OC⊥ BP$，构造出直角三角形后用勾股定理算出OC的长度，最后用半径OQ减去OC即可得到CQ的长度。
【解析】
$\because$AB是$\odot O$的直径，$AB=10$
$\therefore \odot O$的半径为$5$，即$OB=OQ=5$
$\because BC=PC=4$
$\therefore C$是线段BP的中点
又$\because OB=OP$（都是$\odot O$的半径）
$\therefore$在等腰$△ OBP$中，由三线合一性质得：$OC⊥ BP$，即$△ OCB$是直角三角形
在$Rt△ OCB$中，$OB=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
$\because$点C在OQ上，$OQ=5$
$\therefore CQ=OQ-OC=5-3=2$
【答案】A
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是结合等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，将圆的半径性质和勾股定理结合即可快速求解，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，首先根据直径长度求出圆的半径，再由$BC=PC$判断出C是BP的中点，结合$OB=OP$得到等腰$△ OBP$，利用等腰三角形三线合一的性质得到$OC⊥ BP$，构造出直角三角形后用勾股定理算出OC的长度，最后用半径OQ减去OC即可得到CQ的长度。
【解析】
$\because$AB是$\odot O$的直径，$AB=10$
$\therefore \odot O$的半径为$5$，即$OB=OQ=5$
$\because BC=PC=4$
$\therefore C$是线段BP的中点
又$\because OB=OP$（都是$\odot O$的半径）
$\therefore$在等腰$△ OBP$中，由三线合一性质得：$OC⊥ BP$，即$△ OCB$是直角三角形
在$Rt△ OCB$中，$OB=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
$\because$点C在OQ上，$OQ=5$
$\therefore CQ=OQ-OC=5-3=2$
【答案】A
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是结合等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，将圆的半径性质和勾股定理结合即可快速求解，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
4. 一个门洞的横截面如图所示，这个门洞的高为2.5 m，这个门洞的形状是以点O为圆心的圆的一部分。若AB=1 m，则$\odot O$的半径长为
1.3
m.答案
4. 1.3
解析
【分析】
要计算圆的半径，可结合垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，由垂径定理得到半弦长；设半径为r，用含r的式子表示出圆心到弦AB的距离，再在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，由题意可知圆心O到AB的距离$OC=(2.5 - r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$r^2=(2.5 - r)^2 + 0.5^2$，
展开计算：$r^2=6.25 - 5r + r^2 + 0.25$，
消去$r^2$后整理得：$5r=6.5$，
解得：$r=1.3$。
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长与半径计算的典型题型，解题的关键是正确作出垂直于弦的辅助线，构造直角三角形后结合垂径定理和勾股定理列方程求解，熟练掌握相关定理的应用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.75
要计算圆的半径，可结合垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，由垂径定理得到半弦长；设半径为r，用含r的式子表示出圆心到弦AB的距离，再在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，由题意可知圆心O到AB的距离$OC=(2.5 - r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$r^2=(2.5 - r)^2 + 0.5^2$，
展开计算：$r^2=6.25 - 5r + r^2 + 0.25$，
消去$r^2$后整理得：$5r=6.5$，
解得：$r=1.3$。
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长与半径计算的典型题型，解题的关键是正确作出垂直于弦的辅助线，构造直角三角形后结合垂径定理和勾股定理列方程求解，熟练掌握相关定理的应用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.75
5.如图,四边形ABCD为矩形,⊙O的直径的长与AD的长相等,已知CD=EF=16 cm,则⊙O的直径长为
20
cm.答案
5. 20
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件和垂径定理作辅助线：过圆心O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得到弦EF的一半长度；再设⊙O的半径为r，结合“⊙O直径与AD等长”“矩形对边相等”的性质，用含r的式子表示出OH的长度；最后在直角三角形OEH中利用勾股定理列方程求解半径，即可得到直径长度。
【解析】
过点O作OH⊥AD于点H，连接OE。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$EH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$
2. 设⊙O的半径为$r$ cm，则直径为$2r$ cm，由题意知AD=2r。
因为⊙O与BC边相切，所以圆心O到BC的距离等于半径r，又因为矩形ABCD中CD=16 cm，即AD与BC的距离为16 cm，所以OH的长度为：
$OH=16 - r$
3. 在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，OE为半径长r，由勾股定理得：
$OE^2=OH^2+EH^2$
代入数值：
$r^2=(16 - r)^2 + 8^2$
展开计算：
$r^2=256 - 32r + r^2 + 64$
消去$r^2$，整理得：
$32r=320$
解得$r=10$
所以⊙O的直径为$2r=2×10=20$ cm。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题的关键是作出合适的辅助线，构造直角三角形结合勾股定理列方程求解，能有效考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件和垂径定理作辅助线：过圆心O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得到弦EF的一半长度；再设⊙O的半径为r，结合“⊙O直径与AD等长”“矩形对边相等”的性质，用含r的式子表示出OH的长度；最后在直角三角形OEH中利用勾股定理列方程求解半径，即可得到直径长度。
【解析】
过点O作OH⊥AD于点H，连接OE。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$EH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$
2. 设⊙O的半径为$r$ cm，则直径为$2r$ cm，由题意知AD=2r。
因为⊙O与BC边相切，所以圆心O到BC的距离等于半径r，又因为矩形ABCD中CD=16 cm，即AD与BC的距离为16 cm，所以OH的长度为：
$OH=16 - r$
3. 在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，OE为半径长r，由勾股定理得：
$OE^2=OH^2+EH^2$
代入数值：
$r^2=(16 - r)^2 + 8^2$
展开计算：
$r^2=256 - 32r + r^2 + 64$
消去$r^2$，整理得：
$32r=320$
解得$r=10$
所以⊙O的直径为$2r=2×10=20$ cm。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题的关键是作出合适的辅助线，构造直角三角形结合勾股定理列方程求解，能有效考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6.在$\odot O$中，$C$为弦$AB$的中点，过点$C$的直径交$\odot O$于点$D$，$E$.如果$AB=8$，$OD=5$，那么$CD$的长为
2或8
.答案
6. 2或8
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想垂径定理：过圆心且平分非直径弦的直径垂直于该弦，因此可连接半径OA构造直角三角形，先利用勾股定理求出圆心O到弦AB的距离OC；再注意直径的两个端点D、E的位置不固定，需分类讨论点D相对于弦AB的位置，分别计算CD的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵C是弦AB的中点，DE是过点C的直径，
∴根据垂径定理可得：DE⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵OD是$\odot O$的半径，
∴$OA=OD=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
分两种情况讨论：
①当点D在弦AB靠近的一侧时，$CD=OD - OC=5 - 3=2$；
②当点D在弦AB远离的一侧时，$CD=OD + OC=5 + 3=8$；
综上，CD的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题容易忽略点D的位置有两种情况导致漏解，解题时需结合图形全面考虑，熟练运用垂径定理构造直角三角形是解决这类圆中线段计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件联想垂径定理：过圆心且平分非直径弦的直径垂直于该弦，因此可连接半径OA构造直角三角形，先利用勾股定理求出圆心O到弦AB的距离OC；再注意直径的两个端点D、E的位置不固定，需分类讨论点D相对于弦AB的位置，分别计算CD的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵C是弦AB的中点，DE是过点C的直径，
∴根据垂径定理可得：DE⊥AB，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵OD是$\odot O$的半径，
∴$OA=OD=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
分两种情况讨论：
①当点D在弦AB靠近的一侧时，$CD=OD - OC=5 - 3=2$；
②当点D在弦AB远离的一侧时，$CD=OD + OC=5 + 3=8$；
综上，CD的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题容易忽略点D的位置有两种情况导致漏解，解题时需结合图形全面考虑，熟练运用垂径定理构造直角三角形是解决这类圆中线段计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
7. 如图,已知$AB=6$,将半圆形纸片沿BC所在直线折叠.若折叠后弧BC恰好过圆心O,则BC的长是 (
A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$
（第7题图）
（第8题图）
A
)A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$
（第7题图）
（第8题图）
答案
7. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据直径长度求出半圆的半径；第二步，利用折叠的对称性质，推导得到圆心O到弦BC的距离；第三步，结合垂径定理将求BC长度转化为求直角三角形的边长，用勾股定理计算即可。首先折叠后弧BC过圆心O，说明O关于BC的对称点在原半圆弧上，因此O到BC的垂线段长度是半径的一半，再结合垂径定理可知垂线段平分BC，最后在直角三角形中计算BC的长度。
【解析】
过点O作$OD⊥ BC$于点D，延长OD交原半圆弧于点E。
∵ $AB=6$且AB是半圆的直径，
∴ 半圆的半径$OB=3$。
由折叠的性质可知，点O折叠后落在弧BC上，即点E是点O关于BC的对称点，因此BC垂直平分OE，可得$OD=\frac{1}{2}OE$。
∵ OE是半圆的半径，即$OE=3$，
∴ $OD=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ OBD$中，$∠ ODB=90°$，$OB=3$，$OD=\frac{3}{2}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
根据垂径定理，$OD⊥ BC$，则D是BC的中点，因此$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题结合折叠变换考查圆的基本性质，解题的关键是利用折叠的对称性找到圆心到弦的距离，再通过垂径定理将弦长计算转化为直角三角形的边长求解，综合性较强，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，先根据直径长度求出半圆的半径；第二步，利用折叠的对称性质，推导得到圆心O到弦BC的距离；第三步，结合垂径定理将求BC长度转化为求直角三角形的边长，用勾股定理计算即可。首先折叠后弧BC过圆心O，说明O关于BC的对称点在原半圆弧上，因此O到BC的垂线段长度是半径的一半，再结合垂径定理可知垂线段平分BC，最后在直角三角形中计算BC的长度。
【解析】
过点O作$OD⊥ BC$于点D，延长OD交原半圆弧于点E。
∵ $AB=6$且AB是半圆的直径，
∴ 半圆的半径$OB=3$。
由折叠的性质可知，点O折叠后落在弧BC上，即点E是点O关于BC的对称点，因此BC垂直平分OE，可得$OD=\frac{1}{2}OE$。
∵ OE是半圆的半径，即$OE=3$，
∴ $OD=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ OBD$中，$∠ ODB=90°$，$OB=3$，$OD=\frac{3}{2}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
根据垂径定理，$OD⊥ BC$，则D是BC的中点，因此$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题结合折叠变换考查圆的基本性质，解题的关键是利用折叠的对称性找到圆心到弦的距离，再通过垂径定理将弦长计算转化为直角三角形的边长求解，综合性较强，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
8.如图,AB为$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,连接AC,以AC为边向右作菱形ACDE,CD交$\odot O$于点F,$AB⊥CD$,垂足为G.若$AG=12,GF=5$,则DF的长为
3
.答案
8. 3
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB是圆的直径且垂直于弦CF入手，优先用垂径定理得到弦CF被AB平分，求出CF的长度；再在直角三角形AGC中用勾股定理算出菱形的边长AC，结合菱形四边相等得到CD的长度，最后用CD减去CF的长度即可得到DF的长度。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，CF是$\odot O$的弦，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$CG=GF=5$，因此$CF=CG+GF=5+5=10$。
2. 在$Rt△ AGC$中，$∠ AGC=90°$，$AG=12$，$CG=5$，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。
3. 因为四边形ACDE是菱形，菱形的四条边相等，所以$CD=AC=13$。
4. 因此$DF=CD-CF=13-10=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理、勾股定理、菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将圆的性质、菱形的性质和勾股定理结合考查，解题的突破口是利用垂径定理求出CF的长度，再结合菱形边长相等的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AB是圆的直径且垂直于弦CF入手，优先用垂径定理得到弦CF被AB平分，求出CF的长度；再在直角三角形AGC中用勾股定理算出菱形的边长AC，结合菱形四边相等得到CD的长度，最后用CD减去CF的长度即可得到DF的长度。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，CF是$\odot O$的弦，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$CG=GF=5$，因此$CF=CG+GF=5+5=10$。
2. 在$Rt△ AGC$中，$∠ AGC=90°$，$AG=12$，$CG=5$，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。
3. 因为四边形ACDE是菱形，菱形的四条边相等，所以$CD=AC=13$。
4. 因此$DF=CD-CF=13-10=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理、勾股定理、菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将圆的性质、菱形的性质和勾股定理结合考查，解题的突破口是利用垂径定理求出CF的长度，再结合菱形边长相等的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
9.已知AB,CD是$\odot O$的两条弦，$AB=16$，$CD=12$，$AB// CD$，$\odot O$的半径为10，则AB与CD之间的距离为
2或14
.答案
9. 2或14
解析
【分析】
解决本题首先要明确：两条平行弦与圆心的位置关系有两种，分别是在圆心的同侧和异侧，需分类讨论。解题时先利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，得到两条弦的半弦长，再结合半径，通过勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两条弦与圆心的位置关系，计算两条弦之间的距离即可。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
根据垂径定理得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×16 = 8，CF = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
在Rt△OAE中，OA=10，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{10^2 - 8^2}$ = 6，
在Rt△OCF中，OC=10，由勾股定理得：
OF = $\sqrt{OC^2 - CF^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = 8，
分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为OF - OE = 8 - 6 = 2；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为OF + OE = 8 + 6 = 14。
综上，AB与CD之间的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离的常考题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形求解弦心距，易错点是容易忽略平行弦与圆心的两种位置关系，导致漏解，解题时要养成全面考虑问题的习惯。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确：两条平行弦与圆心的位置关系有两种，分别是在圆心的同侧和异侧，需分类讨论。解题时先利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，得到两条弦的半弦长，再结合半径，通过勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两条弦与圆心的位置关系，计算两条弦之间的距离即可。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
根据垂径定理得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×16 = 8，CF = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
在Rt△OAE中，OA=10，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{10^2 - 8^2}$ = 6，
在Rt△OCF中，OC=10，由勾股定理得：
OF = $\sqrt{OC^2 - CF^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = 8，
分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为OF - OE = 8 - 6 = 2；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为OF + OE = 8 + 6 = 14。
综上，AB与CD之间的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离的常考题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形求解弦心距，易错点是容易忽略平行弦与圆心的两种位置关系，导致漏解，解题时要养成全面考虑问题的习惯。
【难度系数】
0.6
10. 如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$AB=CD$,且$AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD$,垂足分别为H,E,F.
(1)求证:四边形OEHF为正方形.
(2)若$CH=2,DH=10$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:四边形OEHF为正方形.
(2)若$CH=2,DH=10$,求$\odot O$的半径长.
答案
10. (1)【证明】如图,连接AO,OD.
由题意得$∠ EHF=∠ OEH=∠ OFH=90°$,$AE=\dfrac{1}{2}AB$,$DF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore$ 四边形$OEHF$是矩形.
$\because AB=CD$,
$\therefore AE=DF$.
在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ DFO$中,
$\begin{cases}OA=OD,\\AE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ DFO(\mathrm{HL})$.
$\therefore OE=OF$.
$\therefore$ 四边形$OEHF$是正方形.
(2)【解】$\because CH=2,DH=10$,
$\therefore CD=12$.
$\because OF⊥ CD$,
$\therefore CF=DF=\dfrac{1}{2}CD=6$.
$\therefore OF=FH=CF-CH=4$.
$\therefore \odot O$的半径长为$\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形OEHF是正方形，需先判定其为矩形，再证明一组邻边相等：首先根据题中的多个垂直条件，可得四边形有三个内角为直角，即可判定为矩形；再结合垂径定理和AB=CD的条件，得到两条弦的一半相等，通过HL证明Rt△AEO与Rt△DFO全等，推出OE=OF，即可证明该矩形为正方形。
(2) 求⊙O的半径时，先由CH、DH的长度求出CD的总长度，再利用垂径定理得到DF的长度，结合第一问得到的正方形性质求出OF的长度，最后在Rt△OFD中用勾股定理计算半径即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接AO，OD。
由题意得$∠ EHF=∠ OEH=∠ OFH=90°$，根据垂径定理可得$AE=\dfrac{1}{2}AB$，$DF=\dfrac{1}{2}CD$。
三个角为直角的四边形是矩形，因此四边形$OEHF$是矩形。
$\because AB=CD$，$\therefore AE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ DFO$中,
$\begin{cases}OA=OD(\mathrm{同圆半径相等}),\\AE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ DFO(\mathrm{HL})$。
$\therefore OE=OF$，一组邻边相等的矩形是正方形，因此四边形$OEHF$是正方形。
(2) 解：$\because CH=2,DH=10$，$\therefore CD=CH+DH=12$。
$\because OF⊥ CD$，由垂径定理可得$CF=DF=\dfrac{1}{2}CD=6$。
$\therefore FH=CF-CH=6-2=4$，由(1)知四边形OEHF是正方形，$\therefore OF=FH=4$。
在Rt△OFD中，由勾股定理得半径$OD=\sqrt{OF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形OEHF为正方形；
(2) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$。
【知识点】
垂径定理；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形的综合基础题，重点考查垂径定理的应用，同时结合了全等三角形判定、正方形判定和勾股定理的知识点，解题时要注意挖掘图形中隐含的垂直、相等关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形OEHF是正方形，需先判定其为矩形，再证明一组邻边相等：首先根据题中的多个垂直条件，可得四边形有三个内角为直角，即可判定为矩形；再结合垂径定理和AB=CD的条件，得到两条弦的一半相等，通过HL证明Rt△AEO与Rt△DFO全等，推出OE=OF，即可证明该矩形为正方形。
(2) 求⊙O的半径时，先由CH、DH的长度求出CD的总长度，再利用垂径定理得到DF的长度，结合第一问得到的正方形性质求出OF的长度，最后在Rt△OFD中用勾股定理计算半径即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接AO，OD。
由题意得$∠ EHF=∠ OEH=∠ OFH=90°$，根据垂径定理可得$AE=\dfrac{1}{2}AB$，$DF=\dfrac{1}{2}CD$。
三个角为直角的四边形是矩形，因此四边形$OEHF$是矩形。
$\because AB=CD$，$\therefore AE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ DFO$中,
$\begin{cases}OA=OD(\mathrm{同圆半径相等}),\\AE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ DFO(\mathrm{HL})$。
$\therefore OE=OF$，一组邻边相等的矩形是正方形，因此四边形$OEHF$是正方形。
(2) 解：$\because CH=2,DH=10$，$\therefore CD=CH+DH=12$。
$\because OF⊥ CD$，由垂径定理可得$CF=DF=\dfrac{1}{2}CD=6$。
$\therefore FH=CF-CH=6-2=4$，由(1)知四边形OEHF是正方形，$\therefore OF=FH=4$。
在Rt△OFD中，由勾股定理得半径$OD=\sqrt{OF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形OEHF为正方形；
(2) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$。
【知识点】
垂径定理；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形的综合基础题，重点考查垂径定理的应用，同时结合了全等三角形判定、正方形判定和勾股定理的知识点，解题时要注意挖掘图形中隐含的垂直、相等关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.7
11.如图,两个圆都以点O为圆心,半径分别为$\sqrt{5}$和$2\sqrt{5}$,矩形ABCD的边AB,CD分别为两圆的弦.当矩形ABCD的面积最大时,AB的长为
4
.答案
11. 4
解析
【分析】
本题是同心圆与矩形结合的最值求解问题，解题思路如下：1. 利用垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，结合矩形对边平行的性质，可知该垂线也垂直于CD，可将矩形的边长与两圆半径、弦心距建立联系；2. 设未知数表示出AB的长度和矩形的宽，写出矩形面积的表达式；3. 在符合条件的取值范围内验证面积的最大值，即可求出对应AB的长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，延长EO交CD于点F。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$OF⊥ CD$。
根据垂径定理可得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，$CF=FD=\frac{1}{2}CD$，因此$AE=CF$。
设$AE=a$，在$Rt△ AOE$中，小圆半径$OA=\sqrt{5}$，由勾股定理得弦心距$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5-a^2}$；
在$Rt△ OCF$中，大圆半径$OC=2\sqrt{5}$，$CF=a$，由勾股定理得弦心距$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{20-a^2}$。
矩形的宽$AD=OE+OF=\sqrt{5-a^2}+\sqrt{20-a^2}$，长$AB=2a$，因此矩形面积$S=AB· AD=2a(\sqrt{5-a^2}+\sqrt{20-a^2})$，其中$0＜a≤\sqrt{5}$。
在取值范围内验证：
当$a=2$时，$S=4×(1+4)=20$；
当$a=\sqrt{5}$时，$S=2\sqrt{5}×\sqrt{15}\approx17.32＜20$；
当$a=1$时，$S=2×(2+\sqrt{19})\approx12.7＜20$；
因此当$a=2$时矩形面积最大，此时$AB=2a=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最值问题
【点评】
本题综合考查了圆的性质、矩形的性质和最值求解，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理建立矩形边长与圆半径的关系，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.35
本题是同心圆与矩形结合的最值求解问题，解题思路如下：1. 利用垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，结合矩形对边平行的性质，可知该垂线也垂直于CD，可将矩形的边长与两圆半径、弦心距建立联系；2. 设未知数表示出AB的长度和矩形的宽，写出矩形面积的表达式；3. 在符合条件的取值范围内验证面积的最大值，即可求出对应AB的长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，延长EO交CD于点F。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$OF⊥ CD$。
根据垂径定理可得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，$CF=FD=\frac{1}{2}CD$，因此$AE=CF$。
设$AE=a$，在$Rt△ AOE$中，小圆半径$OA=\sqrt{5}$，由勾股定理得弦心距$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5-a^2}$；
在$Rt△ OCF$中，大圆半径$OC=2\sqrt{5}$，$CF=a$，由勾股定理得弦心距$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{20-a^2}$。
矩形的宽$AD=OE+OF=\sqrt{5-a^2}+\sqrt{20-a^2}$，长$AB=2a$，因此矩形面积$S=AB· AD=2a(\sqrt{5-a^2}+\sqrt{20-a^2})$，其中$0＜a≤\sqrt{5}$。
在取值范围内验证：
当$a=2$时，$S=4×(1+4)=20$；
当$a=\sqrt{5}$时，$S=2\sqrt{5}×\sqrt{15}\approx17.32＜20$；
当$a=1$时，$S=2×(2+\sqrt{19})\approx12.7＜20$；
因此当$a=2$时矩形面积最大，此时$AB=2a=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最值问题
【点评】
本题综合考查了圆的性质、矩形的性质和最值求解，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理建立矩形边长与圆半径的关系，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.35
