基础知识·预习
问题1 利用等腰三角形的轴对称性，你发现了它的哪些性质？
问题2 请利用全等三角形的知识证明等腰三角形的性质。

解：
问题1
利用等腰三角形的轴对称性，可得到等腰三角形的两条核心性质：
1. 等腰三角形的两个底角相等（简记为“等边对等角”）；
2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为“三线合一”）。
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问题2
已知：在$△ ABC$中，$AB=AC$。
求证：$∠ B=∠ C$；且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
证明：
作$∠ BAC$的角平分线$AD$，交$BC$于点$D$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAD \\AD = AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ B = ∠ C$，$BD = CD$，$∠ ADB = ∠ ADC$。
又$\because ∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，即$AD⊥ BC$。
由此可得：$∠ B=∠ C$成立，同时$AD$既是顶角$∠ BAC$的平分线，也是底边$BC$上的中线和底边$BC$上的高，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

【分析】
问题1思路：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线，沿对称轴折叠后两侧部分完全重合，由此可推导对应角、对应线段的相等关系，总结得到等腰三角形的性质。
问题2思路：要证明等腰三角形的两条性质，首先明确已知条件为△ABC中AB=AC，我们可以通过作顶角的角平分线构造两个三角形，利用SAS判定两个三角形全等，再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，既可推出底角相等，也能证明所作角平分线同时满足底边上的中线、高的特征，完成三线合一的证明。
【解析】
问题1解答
利用等腰三角形的轴对称性，可得到等腰三角形的两条核心性质：
1. 等腰三角形的两个底角相等（简记为“等边对等角”）；
2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为“三线合一”）。
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问题2解答
已知：在$△ ABC$中，$AB=AC$。
求证：$∠ B=∠ C$；且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
证明：作$∠ BAC$的角平分线$AD$，交$BC$于点$D$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAD \\AD = AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ B = ∠ C$，$BD = CD$，$∠ ADB = ∠ ADC$。
又$\because ∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，即$AD⊥ BC$。
由此可得：$∠ B=∠ C$成立，同时$AD$既是顶角$∠ BAC$的平分线，也是底边$BC$上的中线和底边$BC$上的高，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
【答案】
问题1答案
1. 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
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问题2答案
证明过程如上，可证得等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质成立。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质
【点评】
本题为基础类题目，从直观的轴对称特征和严谨的全等证明两个维度，引导学生理解等腰三角形性质的推导逻辑，既巩固了全等三角形的应用方法，也为后续利用等腰三角形性质解决几何计算、证明问题打下基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题1】(2024·四川内江中考)如图,在$△ ABC$中,$∠ DCE = 40°, AE = AC, BC = BD$,则$∠ ACB$的度数为.

【解析】由$AE = AC, BC = BD$,可得$∠ AEC = ∠ ACE, ∠ BDC = ∠ BCD$.
在$△ CDE$中,$∠ AEC + ∠ BDC + ∠ DCE = 180°$,
所以$∠ ACE + ∠ BCD + ∠ DCE = 180°$,即$∠ ACB + 2∠ DCE = 180°$,
所以$∠ ACB = 180° - 2× 40° = 100°$.
【答案】$100°$

$\boldsymbol{100°}$

【分析】
解题时首先观察已知条件中的两组等边，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，可以得到两组相等的角；再利用三角形内角和为180°的定理，对△CDE的内角进行等量代换，通过角的和差关系推导得出∠ACB与已知∠DCE的数量关系，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AE = AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠AEC = ∠ACE
∵ BC = BD，同理可得∠BDC = ∠BCD
在△CDE中，由三角形内角和定理可知：∠AEC + ∠BDC + ∠DCE = 180°
将∠AEC替换为∠ACE，∠BDC替换为∠BCD，代入得：
∠ACE + ∠BCD + ∠DCE = 180°
又
∵ ∠ACE = ∠ACD + ∠DCE，∠BCD = ∠BCE + ∠DCE，且∠ACD + ∠DCE + ∠BCE = ∠ACB
代入整理可得：∠ACB + 2∠DCE = 180°
已知∠DCE = 40°，代入计算得：
∠ACB = 180° - 2×40° = 100°
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和定理的综合应用题型，解题的核心是通过等量代换将分散的角整合，建立未知角与已知角的关系，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7