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【典型例题 2】如图，$△ ABC$ 在平面直角坐标系中，其中，点 $A,B,C$ 的坐标分别为$(-2,1),(-4,5),(-5,2)$。
(1) 作 $△ ABC$ 关于直线 $l$ 对称的 $△ A_1B_1C_1$，其中，点 $A,B,C$ 的对应点分别为点 $A_1,B_1,C_1$；
(2) 写出点 $A_1,B_1,C_1$ 的坐标。
【解】(1)如图所示。
(2)$A_1(0,1),B_1(2,5),C_1(3,2)$。
规律方法 根据坐标特征画成轴对称的图形的步骤：
(1)找：在平面直角坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标；
(2)求：求出对称点的坐标；
(3)描：根据对称点的坐标描点；
(4)连：依次连接所描的各点得到成轴对称的图形。
(1) 作 $△ ABC$ 关于直线 $l$ 对称的 $△ A_1B_1C_1$，其中，点 $A,B,C$ 的对应点分别为点 $A_1,B_1,C_1$；
(2) 写出点 $A_1,B_1,C_1$ 的坐标。
【解】(1)如图所示。
(2)$A_1(0,1),B_1(2,5),C_1(3,2)$。
规律方法 根据坐标特征画成轴对称的图形的步骤：
(1)找：在平面直角坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标；
(2)求：求出对称点的坐标；
(3)描：根据对称点的坐标描点；
(4)连：依次连接所描的各点得到成轴对称的图形。
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$，所作图形如图所示。
(2) $A_1(0,1)$，$B_1(2,5)$，$C_1(3,2)$。
(1) 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$，所作图形如图所示。
(2) $A_1(0,1)$，$B_1(2,5)$，$C_1(3,2)$。
解析
【分析】
本题包含作图和求对称点坐标两个小问，解题思路清晰：① 作图部分：作轴对称图形的核心是找原图形关键点的对称点，本题的关键点就是△ABC的三个顶点，分别作出三点关于直线l的对称点后，顺次连接就能得到对称后的三角形；② 求坐标部分：对比原坐标与对称点坐标可发现，点的纵坐标不变，横坐标到对称轴的距离相等，据此规律即可计算出各对称点的坐标。
【解析】
(1) 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$，所作图形如图所示。
(2) 关于直线$x=-1$对称的点纵坐标不变，横坐标满足“对称点横坐标=2×(-1)-原横坐标”，代入计算可得：
$A_1$的横坐标为$-2-(-2)=0$，即$A_1(0,1)$；
$B_1$的横坐标为$-2-(-4)=2$，即$B_1(2,5)$；
$C_1$的横坐标为$-2-(-5)=3$，即$C_1(3,2)$。
【答案】
(1) 见解析作图；(2) $A_1(0,1)$，$B_1(2,5)$，$C_1(3,2)$
【知识点】
1. 轴对称作图
2. 坐标表示轴对称
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称变换的基础题型，重点考察轴对称作图步骤和对称点坐标的求解方法，熟练掌握特殊直线对称的坐标变化规律可提升解题效率，是后续学习复杂图形变换的基础。
【难度系数】
0.85
本题包含作图和求对称点坐标两个小问，解题思路清晰：① 作图部分：作轴对称图形的核心是找原图形关键点的对称点，本题的关键点就是△ABC的三个顶点，分别作出三点关于直线l的对称点后，顺次连接就能得到对称后的三角形；② 求坐标部分：对比原坐标与对称点坐标可发现，点的纵坐标不变，横坐标到对称轴的距离相等，据此规律即可计算出各对称点的坐标。
【解析】
(1) 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$，所作图形如图所示。
(2) 关于直线$x=-1$对称的点纵坐标不变，横坐标满足“对称点横坐标=2×(-1)-原横坐标”，代入计算可得：
$A_1$的横坐标为$-2-(-2)=0$，即$A_1(0,1)$；
$B_1$的横坐标为$-2-(-4)=2$，即$B_1(2,5)$；
$C_1$的横坐标为$-2-(-5)=3$，即$C_1(3,2)$。
【答案】
(1) 见解析作图；(2) $A_1(0,1)$，$B_1(2,5)$，$C_1(3,2)$
【知识点】
1. 轴对称作图
2. 坐标表示轴对称
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称变换的基础题型，重点考察轴对称作图步骤和对称点坐标的求解方法，熟练掌握特殊直线对称的坐标变化规律可提升解题效率，是后续学习复杂图形变换的基础。
【难度系数】
0.85
2. $△ ABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示.点$A,B,C$都在格点上.
（1）画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$,并写出点$C_1$的坐标；
（2）画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_2B_2C_2$,并写出点$C_2$的坐标.
（1）画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$,并写出点$C_1$的坐标；
（2）画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_2B_2C_2$,并写出点$C_2$的坐标.
答案
【解】(1)如图,$△A_1B_1C_1$即为所求,点$C_1$的坐标为$(3,-2)$.
(2)如图,$△A_2B_2C_2$即为所求,点$C_2$的坐标为$(-3,2)$.
解析
【分析】
解决本题需先掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。解题时首先确定△ABC三个顶点的原始坐标，再根据规律分别求出三个顶点关于x轴、y轴对称的对应点坐标，描出对应点后依次连接，即可得到所求的对称三角形，最后写出对应点C的对称点坐标即可。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得A₁(2,-4)，B₁(1,-1)，C₁(3,-2)。在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得A₂(-2,4)，B₂(-1,1)，C₂(-3,2)。在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
【答案】
(1)如图,$△A_1B_1C_1$即为所求,点$C_1$的坐标为$(3,-2)$.
(2)如图,$△A_2B_2C_2$即为所求,点$C_2$的坐标为$(-3,2)$.
【知识点】
关于x轴对称的坐标规律，关于y轴对称的坐标规律，轴对称作图
【点评】
本题是轴对称的基础应用题型，核心考查坐标轴对称的坐标变换规则，解题关键是准确记忆坐标变化规律，作图时注意对应点位置准确、连线顺次正确。
【难度系数】
0.8
解决本题需先掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。解题时首先确定△ABC三个顶点的原始坐标，再根据规律分别求出三个顶点关于x轴、y轴对称的对应点坐标，描出对应点后依次连接，即可得到所求的对称三角形，最后写出对应点C的对称点坐标即可。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得A₁(2,-4)，B₁(1,-1)，C₁(3,-2)。在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得A₂(-2,4)，B₂(-1,1)，C₂(-3,2)。在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
【答案】
(1)如图,$△A_1B_1C_1$即为所求,点$C_1$的坐标为$(3,-2)$.
(2)如图,$△A_2B_2C_2$即为所求,点$C_2$的坐标为$(-3,2)$.
【知识点】
关于x轴对称的坐标规律，关于y轴对称的坐标规律，轴对称作图
【点评】
本题是轴对称的基础应用题型，核心考查坐标轴对称的坐标变换规则，解题关键是准确记忆坐标变化规律，作图时注意对应点位置准确、连线顺次正确。
【难度系数】
0.8
