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基础知识·预习
问题1 在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明。
问题2 在平面直角坐标系中，如何画出一个图形关于坐标轴对称的图形？
问题1 在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明。
问题2 在平面直角坐标系中，如何画出一个图形关于坐标轴对称的图形？
答案
解：
问题1
对称点的坐标关系：
1. 若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
2. 若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
举例：点A(2,5)关于x轴的对称点为A'(2,-5)，二者横坐标均为2，纵坐标5和-5互为相反数；点A(2,5)关于y轴的对称点为A''(-2,5)，二者纵坐标均为5，横坐标2和-2互为相反数。
若两个图形关于x轴或y轴对称，那么它们所有对应对称点的坐标都满足上述对应规律。
问题2
画图步骤：
1. 找出原图形的所有关键点（如多边形的顶点、线段的端点等），写出这些关键点的坐标；
2. 根据关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，计算出每个关键点的对应对称点的坐标；
3. 按照原图形中关键点的连接顺序，顺次连接所有得到的对称点，最终画出的新图形就是原图形关于坐标轴对称的图形。
问题1
对称点的坐标关系：
1. 若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
2. 若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
举例：点A(2,5)关于x轴的对称点为A'(2,-5)，二者横坐标均为2，纵坐标5和-5互为相反数；点A(2,5)关于y轴的对称点为A''(-2,5)，二者纵坐标均为5，横坐标2和-2互为相反数。
若两个图形关于x轴或y轴对称，那么它们所有对应对称点的坐标都满足上述对应规律。
问题2
画图步骤：
1. 找出原图形的所有关键点（如多边形的顶点、线段的端点等），写出这些关键点的坐标；
2. 根据关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，计算出每个关键点的对应对称点的坐标；
3. 按照原图形中关键点的连接顺序，顺次连接所有得到的对称点，最终画出的新图形就是原图形关于坐标轴对称的图形。
解析
【分析】
解决问题1时，可结合轴对称的性质思考：对称点的连线被对称轴垂直平分。若对称轴为x轴，说明两个对称点在同一竖直线上，横坐标相等，且到x轴的距离相等、方向相反，因此纵坐标互为相反数；若对称轴为y轴，说明两个对称点在同一水平线上，纵坐标相等，且到y轴的距离相等、方向相反，因此横坐标互为相反数，再举具体坐标实例验证规律即可。解决问题2时，由于图形由关键点（如顶点、端点）按一定顺序连接而成，因此只需先找到各关键点的对称点，再按原图顺序连接对称点，即可得到对应的轴对称图形。
【解析】
问题1
对称点的坐标关系：
1. 若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
2. 若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
举例：点A(2,5)关于x轴的对称点为A'(2,-5)，二者横坐标均为2，纵坐标5和-5互为相反数；点A(2,5)关于y轴的对称点为A''(-2,5)，二者纵坐标均为5，横坐标2和-2互为相反数。
若两个图形关于x轴或y轴对称，那么它们所有对应对称点的坐标都满足上述对应规律。
问题2
画图步骤：
1. 找关键点：找出原图形的所有关键点（如多边形的顶点、线段的端点等），写出这些关键点的坐标；
2. 求对称点：根据关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，计算出每个关键点的对应对称点的坐标；
3. 连点成图：按照原图形中关键点的连接顺序，顺次连接所有得到的对称点，最终画出的新图形就是原图形关于坐标轴对称的图形。
【答案】
问题1
对称点的坐标关系：
1. 若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
2. 若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
举例：点A(2,5)关于x轴的对称点为A'(2,-5)，二者横坐标均为2，纵坐标5和-5互为相反数；点A(2,5)关于y轴的对称点为A''(-2,5)，二者纵坐标均为5，横坐标2和-2互为相反数。
若两个图形关于x轴或y轴对称，那么它们所有对应对称点的坐标都满足上述对应规律。
问题2
画图步骤：
1. 找出原图形的所有关键点（如多边形的顶点、线段的端点等），写出这些关键点的坐标；
2. 根据关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，计算出每个关键点的对应对称点的坐标；
3. 按照原图形中关键点的连接顺序，顺次连接所有得到的对称点，最终画出的新图形就是原图形关于坐标轴对称的图形。
【知识点】
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
2. 作关于坐标轴对称的图形
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称相关的基础内容，掌握对称点的坐标变化规律是解决这类问题的核心，画图时要注意不要遗漏关键点，且连线顺序需与原图形保持一致。
【难度系数】
0.9
解决问题1时，可结合轴对称的性质思考：对称点的连线被对称轴垂直平分。若对称轴为x轴，说明两个对称点在同一竖直线上，横坐标相等，且到x轴的距离相等、方向相反，因此纵坐标互为相反数；若对称轴为y轴，说明两个对称点在同一水平线上，纵坐标相等，且到y轴的距离相等、方向相反，因此横坐标互为相反数，再举具体坐标实例验证规律即可。解决问题2时，由于图形由关键点（如顶点、端点）按一定顺序连接而成，因此只需先找到各关键点的对称点，再按原图顺序连接对称点，即可得到对应的轴对称图形。
【解析】
问题1
对称点的坐标关系：
1. 若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
2. 若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
举例：点A(2,5)关于x轴的对称点为A'(2,-5)，二者横坐标均为2，纵坐标5和-5互为相反数；点A(2,5)关于y轴的对称点为A''(-2,5)，二者纵坐标均为5，横坐标2和-2互为相反数。
若两个图形关于x轴或y轴对称，那么它们所有对应对称点的坐标都满足上述对应规律。
问题2
画图步骤：
1. 找关键点：找出原图形的所有关键点（如多边形的顶点、线段的端点等），写出这些关键点的坐标；
2. 求对称点：根据关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，计算出每个关键点的对应对称点的坐标；
3. 连点成图：按照原图形中关键点的连接顺序，顺次连接所有得到的对称点，最终画出的新图形就是原图形关于坐标轴对称的图形。
【答案】
问题1
对称点的坐标关系：
1. 若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
2. 若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
举例：点A(2,5)关于x轴的对称点为A'(2,-5)，二者横坐标均为2，纵坐标5和-5互为相反数；点A(2,5)关于y轴的对称点为A''(-2,5)，二者纵坐标均为5，横坐标2和-2互为相反数。
若两个图形关于x轴或y轴对称，那么它们所有对应对称点的坐标都满足上述对应规律。
问题2
画图步骤：
1. 找出原图形的所有关键点（如多边形的顶点、线段的端点等），写出这些关键点的坐标；
2. 根据关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，计算出每个关键点的对应对称点的坐标；
3. 按照原图形中关键点的连接顺序，顺次连接所有得到的对称点，最终画出的新图形就是原图形关于坐标轴对称的图形。
【知识点】
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
2. 作关于坐标轴对称的图形
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称相关的基础内容，掌握对称点的坐标变化规律是解决这类问题的核心，画图时要注意不要遗漏关键点，且连线顺序需与原图形保持一致。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】已知点$A(m-1,3)$与点$B(2,n+1)$关于$y$轴对称，则$(m+n)^{2025}$的值为（）
A.0
B.1
C.$-1$
D.$3^{2025}$
【解析】关于$y$轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以$m-1+2=0$，$3=n+1$，解得$m=-1$，$n=2$，所以$(m+n)^{2025}=(-1+2)^{2025}=1$.
【答案】B
规律方法 关于坐标轴对称的点的坐标特征：关于横轴(或纵轴)对称的两个点的坐标，横坐标(或纵坐标)相等，另一坐标互为相反数.在求相关字母的值时，有时需要构建方程(组)来求解.另外，我们也可根据坐标的特征，判断两个图形发生了怎样的对称变换.
A.0
B.1
C.$-1$
D.$3^{2025}$
【解析】关于$y$轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以$m-1+2=0$，$3=n+1$，解得$m=-1$，$n=2$，所以$(m+n)^{2025}=(-1+2)^{2025}=1$.
【答案】B
规律方法 关于坐标轴对称的点的坐标特征：关于横轴(或纵轴)对称的两个点的坐标，横坐标(或纵坐标)相等，另一坐标互为相反数.在求相关字母的值时，有时需要构建方程(组)来求解.另外，我们也可根据坐标的特征，判断两个图形发生了怎样的对称变换.
答案
B
解析
【分析】
本题考查关于y轴对称的点的坐标规律的应用，解题思路如下：首先回忆关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数；接着利用该特征列出关于m、n的一元一次方程，解出m、n的取值；最后将m、n的值代入代数式$(m+n)^{2025}$，结合乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 点$A(m-1,3)$与点$B(2,n+1)$关于$y$轴对称，
根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}m-1 = -2 \\3 = n+1 \end{cases}$
分别解两个方程：
由$m-1=-2$，解得$m=-1$；
由$3=n+1$，解得$n=2$。
将$m=-1$，$n=2$代入$(m+n)^{2025}$得：
$(m+n)^{2025}=(-1+2)^{2025}=1^{2025}=1$。
【答案】
B
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、乘方运算、一元一次方程求解
【点评】
本题是坐标轴对称性质的基础应用题，解题核心是准确记忆关于坐标轴对称的点的坐标规律，通过构建简单的一元一次方程求出未知参数，再代入计算即可，解题时要注意乘方运算的符号规则。
【难度系数】
0.8
本题考查关于y轴对称的点的坐标规律的应用，解题思路如下：首先回忆关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数；接着利用该特征列出关于m、n的一元一次方程，解出m、n的取值；最后将m、n的值代入代数式$(m+n)^{2025}$，结合乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 点$A(m-1,3)$与点$B(2,n+1)$关于$y$轴对称，
根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}m-1 = -2 \\3 = n+1 \end{cases}$
分别解两个方程：
由$m-1=-2$，解得$m=-1$；
由$3=n+1$，解得$n=2$。
将$m=-1$，$n=2$代入$(m+n)^{2025}$得：
$(m+n)^{2025}=(-1+2)^{2025}=1^{2025}=1$。
【答案】
B
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、乘方运算、一元一次方程求解
【点评】
本题是坐标轴对称性质的基础应用题，解题核心是准确记忆关于坐标轴对称的点的坐标规律，通过构建简单的一元一次方程求出未知参数，再代入计算即可，解题时要注意乘方运算的符号规则。
【难度系数】
0.8
1. 剪纸是我国的民间艺术之一.一剪纸作品如图所示,它的对称轴与平面直角坐标系的一条坐标轴重合,则点$A(-4,2)$关于该对称轴对称的点的坐标为 (
A.$(-4,-2)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,2)$
D.$(-2,-4)$
C
)A.$(-4,-2)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,2)$
D.$(-2,-4)$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先观察剪纸图案判断对称轴：观察图形可知剪纸左右两侧完全相同，沿y轴折叠可完全重合，结合题目“对称轴与坐标轴重合”的条件，可确定对称轴为y轴。接下来回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，最后代入点A的坐标计算即可得到对称点的坐标。
【解析】
1. 确定对称轴：观察剪纸作品，其左右两部分沿y轴对折后能够完全重合，且题目说明对称轴与坐标轴重合，因此该图形的对称轴为y轴。
2. 运用坐标变换规律：平面直角坐标系中，若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
3. 计算对称点坐标：已知点A的坐标为$(-4,2)$，其横坐标$-4$的相反数为$4$，纵坐标保持$2$不变，因此点A关于y轴对称的点的坐标为$(4,2)$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称图形识别
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合传统民间剪纸艺术设置问题，贴近生活，主要考查轴对称图形的判断以及平面直角坐标系中轴对称点的坐标变换规律，属于基础题，熟练掌握不同坐标轴为对称轴时的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察剪纸图案判断对称轴：观察图形可知剪纸左右两侧完全相同，沿y轴折叠可完全重合，结合题目“对称轴与坐标轴重合”的条件，可确定对称轴为y轴。接下来回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，最后代入点A的坐标计算即可得到对称点的坐标。
【解析】
1. 确定对称轴：观察剪纸作品，其左右两部分沿y轴对折后能够完全重合，且题目说明对称轴与坐标轴重合，因此该图形的对称轴为y轴。
2. 运用坐标变换规律：平面直角坐标系中，若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
3. 计算对称点坐标：已知点A的坐标为$(-4,2)$，其横坐标$-4$的相反数为$4$，纵坐标保持$2$不变，因此点A关于y轴对称的点的坐标为$(4,2)$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称图形识别
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合传统民间剪纸艺术设置问题，贴近生活，主要考查轴对称图形的判断以及平面直角坐标系中轴对称点的坐标变换规律，属于基础题，熟练掌握不同坐标轴为对称轴时的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
