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5.如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称.连接AC,BD,设它们相交于点P.你有哪些方法找出点P关于直线l对称的点Q?
答案
5.【解】方法1:沿直线 l 对折,在点 P 处扎孔找到其关于直线 l 的对称点 Q;
方法2:如图①,画点 P 关于直线 l 的对称点 Q;
方法3:如图②,连接 HF 与 GE 交于点 Q,即为所求;
方法4:如图③,连接 HF(或 GE),过点 P 画直线 l 的垂线,交 HF(或 GE)于点 Q,即为所求;
方法 5:如图④,分别以点 H,G 为圆心,以 DP,CP 为半径作弧交于点 Q,即为所求.
解析
【分析】
要找点P关于直线l的对称点Q，可结合轴对称的核心性质从多个角度思考：首先从操作层面，成轴对称的图形沿对称轴对折后完全重合，对折后与P重合的点即为其对称点；其次从基本作图层面，对称点的连线被对称轴垂直平分，可通过作垂线截等长的方式找对称点；另外从轴对称图形的对应关系看，P是四边形ABCD对角线的交点，它的对称点就是对称四边形对应对角线的交点；还可以利用对称点到对应顶点距离相等的特征，用尺规作弧的方法确定对称点。
【解析】
我们可依据轴对称的相关性质，通过以下方法找到点Q：
1. 操作法：将图形沿直线l对折，在点P的位置扎孔，直线l另一侧和P重合的孔位就是对称点Q；
2. 基本作图法：过P作直线l的垂线，垂足为O，在l另一侧的垂线上截取OQ=OP，所得的Q就是所求点；
3. 对应交点法：由于四边形ABCD与EFGH关于l对称，AC对应HF、BD对应GE，因此连接HF、GE，两条线段的交点就是P的对称点Q；
4. 结合作图与对应线段法：先连接HF（或GE），再过P作直线l的垂线，该垂线和HF（或GE）的交点即为Q；
5. 尺规作图法：根据对称点到对应顶点的距离相等，分别以H、G为圆心，以DP、CP的长度为半径画弧，两弧在四边形EFGH内的交点就是Q。
【答案】
方法1:沿直线 l 对折,在点 P 处扎孔找到其关于直线 l 的对称点 Q;
方法2:如图①,画点 P 关于直线 l 的对称点 Q;
方法3:如图②,连接 HF 与 GE 交于点 Q,即为所求;
方法4:如图③,连接 HF(或 GE),过点 P 画直线 l 的垂线,交 HF(或 GE)于点 Q,即为所求;
方法 5:如图④,分别以点 H,G 为圆心,以 DP,CP 为半径作弧交于点 Q,即为所求.
【知识点】
轴对称的性质，作点的对称点，尺规作图
【点评】
本题为开放性题目，围绕轴对称的性质设置了多种解题路径，既可以通过实际操作求解，也可以利用轴对称图形的对应特征、尺规作图等方法解决，能够帮助学生加深对轴对称图形特征的理解，锻炼多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.8
要找点P关于直线l的对称点Q，可结合轴对称的核心性质从多个角度思考：首先从操作层面，成轴对称的图形沿对称轴对折后完全重合，对折后与P重合的点即为其对称点；其次从基本作图层面，对称点的连线被对称轴垂直平分，可通过作垂线截等长的方式找对称点；另外从轴对称图形的对应关系看，P是四边形ABCD对角线的交点，它的对称点就是对称四边形对应对角线的交点；还可以利用对称点到对应顶点距离相等的特征，用尺规作弧的方法确定对称点。
【解析】
我们可依据轴对称的相关性质，通过以下方法找到点Q：
1. 操作法：将图形沿直线l对折，在点P的位置扎孔，直线l另一侧和P重合的孔位就是对称点Q；
2. 基本作图法：过P作直线l的垂线，垂足为O，在l另一侧的垂线上截取OQ=OP，所得的Q就是所求点；
3. 对应交点法：由于四边形ABCD与EFGH关于l对称，AC对应HF、BD对应GE，因此连接HF、GE，两条线段的交点就是P的对称点Q；
4. 结合作图与对应线段法：先连接HF（或GE），再过P作直线l的垂线，该垂线和HF（或GE）的交点即为Q；
5. 尺规作图法：根据对称点到对应顶点的距离相等，分别以H、G为圆心，以DP、CP的长度为半径画弧，两弧在四边形EFGH内的交点就是Q。
【答案】
方法1:沿直线 l 对折,在点 P 处扎孔找到其关于直线 l 的对称点 Q;
方法2:如图①,画点 P 关于直线 l 的对称点 Q;
方法3:如图②,连接 HF 与 GE 交于点 Q,即为所求;
方法4:如图③,连接 HF(或 GE),过点 P 画直线 l 的垂线,交 HF(或 GE)于点 Q,即为所求;
方法 5:如图④,分别以点 H,G 为圆心,以 DP,CP 为半径作弧交于点 Q,即为所求.
【知识点】
轴对称的性质，作点的对称点，尺规作图
【点评】
本题为开放性题目，围绕轴对称的性质设置了多种解题路径，既可以通过实际操作求解，也可以利用轴对称图形的对应特征、尺规作图等方法解决，能够帮助学生加深对轴对称图形特征的理解，锻炼多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.8
6.在方格纸中,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.如图,在$3×3$的正方形格点图中,有$△ ABC$,作$△ DEF$使得$△ ABC$和$△ DEF$关于某直线成轴对称,请在下面的图中画出三种这样的$△ DEF$.
答案
6.【解】答案不唯一,示例:
解析
【分析】
要解决这个问题，需依据轴对称的性质作图：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角均相等。解题思路如下：第一步，先确定一条合理的对称轴，对称轴可以是方格纸中的竖直线、水平线、格点对角线等；第二步，分别作出△ABC的三个顶点A、B、C关于所选对称轴的对称点，记为D、E、F；第三步，顺次连接D、E、F三点，得到的△DEF就和△ABC关于这条对称轴对称。更换3种不同的对称轴，即可画出3种符合要求的△DEF。
【解析】
我们以三种不同的对称轴为例作图：
1. 选择水平方向的直线为对称轴：分别找到A、B、C三点关于该水平直线的对称点D、E、F，其中D与A上下对应、E与B上下对应、F与C上下对应，顺次连接D、E、F，得到第一个△DEF；
2. 选择过点B的竖直直线为对称轴：此时点B的对称点E与B重合，分别作出A、C关于该直线的对称点D、F，顺次连接D、E、F，得到第二个△DEF；
3. 选择过点A的竖直直线为对称轴：此时点A的对称点D与A重合，分别作出B、C关于该直线的对称点E、F，顺次连接D、E、F，得到第三个△DEF。
也可选择其他方向的对称轴，作出的图形满足轴对称要求即可。
【答案】
答案不唯一，示例:
【知识点】
轴对称的性质，画轴对称图形，格点作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查轴对称性质的灵活运用，解题的核心是先确定对称轴，再根据对称点与对称轴的位置关系找到对应点，最终画出符合要求的图形，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需依据轴对称的性质作图：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角均相等。解题思路如下：第一步，先确定一条合理的对称轴，对称轴可以是方格纸中的竖直线、水平线、格点对角线等；第二步，分别作出△ABC的三个顶点A、B、C关于所选对称轴的对称点，记为D、E、F；第三步，顺次连接D、E、F三点，得到的△DEF就和△ABC关于这条对称轴对称。更换3种不同的对称轴，即可画出3种符合要求的△DEF。
【解析】
我们以三种不同的对称轴为例作图：
1. 选择水平方向的直线为对称轴：分别找到A、B、C三点关于该水平直线的对称点D、E、F，其中D与A上下对应、E与B上下对应、F与C上下对应，顺次连接D、E、F，得到第一个△DEF；
2. 选择过点B的竖直直线为对称轴：此时点B的对称点E与B重合，分别作出A、C关于该直线的对称点D、F，顺次连接D、E、F，得到第二个△DEF；
3. 选择过点A的竖直直线为对称轴：此时点A的对称点D与A重合，分别作出B、C关于该直线的对称点E、F，顺次连接D、E、F，得到第三个△DEF。
也可选择其他方向的对称轴，作出的图形满足轴对称要求即可。
【答案】
答案不唯一，示例:
【知识点】
轴对称的性质，画轴对称图形，格点作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查轴对称性质的灵活运用，解题的核心是先确定对称轴，再根据对称点与对称轴的位置关系找到对应点，最终画出符合要求的图形，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.7
7.如图,在方格纸中,已知△ABC 和直线MN,点A,B,C都在格点上.
(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C';
(2)若网格中最小正方形的边长为1,求△ABC的面积;
(3)点P在直线MN上,当△PAC的周长最小时,点P在什么位置?在图中标出点P.
(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C';
(2)若网格中最小正方形的边长为1,求△ABC的面积;
(3)点P在直线MN上,当△PAC的周长最小时,点P在什么位置?在图中标出点P.
答案
7.【解】(1)如图,$△A'B'C'$即为所求.
(2)$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$.
(3)点 A 关于 MN 的对称点为$A'$,如图,连接$A'C$交直线 MN 于点 P,此时$△PAC$的周长最小,所以点 P 即为所求.
解析
【分析】
(1) 要作三角形关于直线的对称图形，依据轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分。所以先分别找到△ABC三个顶点A、B、C关于直线MN的对称点，再依次连接三个对称点就能得到所求的对称三角形。
(2) 求网格中三角形面积，优先找可以直接确定长度的边作为底：观察发现AB为竖直边，数格子可得AB长度，再找到AB边上对应的高（点C到AB的水平距离），代入三角形面积公式即可计算。
(3) 求△PAC周长最小时点P的位置，首先分析周长组成：$C_{△PAC}=PA+PC+AC$，其中AC是定值，因此只需使PA+PC最小即可。结合轴对称的性质和两点之间线段最短的原理，作点A关于直线MN的对称点，连接对称点与点C，和MN的交点就是所求的P点，此时PA+PC的长度最短。
【解析】
(1) ① 分别过点A、B、C作直线MN的垂线，数出各点到MN的水平格数，在MN的另一侧相同格数位置分别标记出对应对称点$A'$、$B'$、$C'$；② 按顺序连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到的$△ A'B'C'$就是$△ ABC$关于直线MN对称的图形。
(2) 观察$△ ABC$，底边AB为竖直边，长度为3个单位长度，点C到AB所在直线的水平距离为2个单位长度，即AB边上的高为2。根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×3×2=3$
(3) $△ PAC$的周长为$PA+PC+AC$，AC为固定长度，因此要使周长最小，只需$PA+PC$最小。根据轴对称的性质，点A关于直线MN的对称点为$A'$，可得$PA=PA'$，因此$PA+PC=PA'+PC$。根据两点之间线段最短，当$A'$、P、C三点共线时，$PA'+PC$的长度最小，等于$A'C$的长度，因此连接$A'C$与直线MN的交点即为所求的点P。
【答案】
(1) 如图,$△A'B'C'$即为所求.
(2)$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$.
(3)点 A 关于 MN 的对称点为$A'$,如图,连接$A'C$交直线 MN 于点 P,此时$△PAC$的周长最小,所以点 P 即为所求.
【知识点】
轴对称作图、三角形面积计算、最短路径问题
【点评】
本题是轴对称章节的基础综合题，覆盖了对称图形作图、面积计算和最短路径三个常考考点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和最短路径的构造方法，对几何直观能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要作三角形关于直线的对称图形，依据轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分。所以先分别找到△ABC三个顶点A、B、C关于直线MN的对称点，再依次连接三个对称点就能得到所求的对称三角形。
(2) 求网格中三角形面积，优先找可以直接确定长度的边作为底：观察发现AB为竖直边，数格子可得AB长度，再找到AB边上对应的高（点C到AB的水平距离），代入三角形面积公式即可计算。
(3) 求△PAC周长最小时点P的位置，首先分析周长组成：$C_{△PAC}=PA+PC+AC$，其中AC是定值，因此只需使PA+PC最小即可。结合轴对称的性质和两点之间线段最短的原理，作点A关于直线MN的对称点，连接对称点与点C，和MN的交点就是所求的P点，此时PA+PC的长度最短。
【解析】
(1) ① 分别过点A、B、C作直线MN的垂线，数出各点到MN的水平格数，在MN的另一侧相同格数位置分别标记出对应对称点$A'$、$B'$、$C'$；② 按顺序连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到的$△ A'B'C'$就是$△ ABC$关于直线MN对称的图形。
(2) 观察$△ ABC$，底边AB为竖直边，长度为3个单位长度，点C到AB所在直线的水平距离为2个单位长度，即AB边上的高为2。根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×3×2=3$
(3) $△ PAC$的周长为$PA+PC+AC$，AC为固定长度，因此要使周长最小，只需$PA+PC$最小。根据轴对称的性质，点A关于直线MN的对称点为$A'$，可得$PA=PA'$，因此$PA+PC=PA'+PC$。根据两点之间线段最短，当$A'$、P、C三点共线时，$PA'+PC$的长度最小，等于$A'C$的长度，因此连接$A'C$与直线MN的交点即为所求的点P。
【答案】
(1) 如图,$△A'B'C'$即为所求.
(2)$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$.
(3)点 A 关于 MN 的对称点为$A'$,如图,连接$A'C$交直线 MN 于点 P,此时$△PAC$的周长最小,所以点 P 即为所求.
【知识点】
轴对称作图、三角形面积计算、最短路径问题
【点评】
本题是轴对称章节的基础综合题，覆盖了对称图形作图、面积计算和最短路径三个常考考点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和最短路径的构造方法，对几何直观能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
