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【典型例题2】计算：(1)$\frac{7a}{8b^2c} - \frac{b}{12a^2c}$；
(2)$\frac{24}{x^2 -16} + \frac{3}{4 -x}$。
思路导引 异分母的分式相加减，先找出最简公分母进行通分，变为同分母的分式相加减，最后结果一定要化成最简分式或整式。
【解】(1)原式$=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c} = \frac{21a^3 -2b^3}{24a^2b^2c}$。
(2)原式$=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{24 -3(x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{24 -3x -12}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{-3x +12}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)} = -\frac{3}{x+4}$。
(2)$\frac{24}{x^2 -16} + \frac{3}{4 -x}$。
思路导引 异分母的分式相加减，先找出最简公分母进行通分，变为同分母的分式相加减，最后结果一定要化成最简分式或整式。
【解】(1)原式$=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c} = \frac{21a^3 -2b^3}{24a^2b^2c}$。
(2)原式$=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{24 -3(x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{24 -3x -12}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{-3x +12}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)} = -\frac{3}{x+4}$。
答案
解：
(1) 两个分式的最简公分母为$24a^2b^2c$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7a· 3a^2}{24a^2b^2c} - \frac{b· 2b^2}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，两个分式的最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3x + 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
(1) 两个分式的最简公分母为$24a^2b^2c$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7a· 3a^2}{24a^2b^2c} - \frac{b· 2b^2}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，两个分式的最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3x + 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题属于异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减的通用思路：先通分化为同分母分式，再按同分母分式加减法则（分母不变，分子相加减）计算，最后将结果化为最简分式或整式。
第(1)题：先确定两个分母$8b^2c$、$12a^2c$的最简公分母，系数取8和12的最小公倍数24，相同字母取最高次幂$a^2$、$b^2$、$c$，得到最简公分母$24a^2b^2c$，再通分计算即可。
第(2)题：先对分母因式分解，利用平方差公式得$x^2-16=(x+4)(x-4)$，再将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，确定最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分后分子相加减，最后约去分子分母的公因式得到最简结果，注意变形过程中的符号变化。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为$24a^2b^2c$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7a· 3a^2}{24a^2b^2c} - \frac{b· 2b^2}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，两个分式的最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3x + 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}$；(2)$-\frac{3}{x+4}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式的通分、分式的约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，解题核心是准确找到最简公分母。运算时需注意：分母为多项式时先因式分解，分母互为相反数时要先统一形式并注意符号变化，最终结果必须化为最简分式或整式，避免出现未约分的错误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减的通用思路：先通分化为同分母分式，再按同分母分式加减法则（分母不变，分子相加减）计算，最后将结果化为最简分式或整式。
第(1)题：先确定两个分母$8b^2c$、$12a^2c$的最简公分母，系数取8和12的最小公倍数24，相同字母取最高次幂$a^2$、$b^2$、$c$，得到最简公分母$24a^2b^2c$，再通分计算即可。
第(2)题：先对分母因式分解，利用平方差公式得$x^2-16=(x+4)(x-4)$，再将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，确定最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分后分子相加减，最后约去分子分母的公因式得到最简结果，注意变形过程中的符号变化。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为$24a^2b^2c$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7a· 3a^2}{24a^2b^2c} - \frac{b· 2b^2}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，两个分式的最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24 - 3x - 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3x + 12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}$；(2)$-\frac{3}{x+4}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式的通分、分式的约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，解题核心是准确找到最简公分母。运算时需注意：分母为多项式时先因式分解，分母互为相反数时要先统一形式并注意符号变化，最终结果必须化为最简分式或整式，避免出现未约分的错误。
【难度系数】
0.7
2. 计算：
(1)$\frac{2c}{b^2 - c^2} - \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c - b}$；
(2)$x - y + \frac{2y^2}{x + y}$。
(1)$\frac{2c}{b^2 - c^2} - \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c - b}$；
(2)$x - y + \frac{2y^2}{x + y}$。
答案
2.【解】(1) 原式 $= \frac{2c}{b^2 -c^2} - \frac{b -c}{b^2 -c^2} - \frac{b +c}{b^2 -c^2} =\frac{2c -b +c -b -c}{b^2 -c^2}=\frac{2c -2b}{b^2 -c^2}=\frac{-2(b -c)}{(b +c)(b -c)}=-\frac{2}{b +c}.$
(2)原式$=\frac{x^2 - y^2}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y}=\frac{x^2 + y^2}{x + y}.$
(2)原式$=\frac{x^2 - y^2}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y}=\frac{x^2 + y^2}{x + y}.$
解析
【分析】
这两道题均考查异分母分式的加减运算，解题思路如下：
(1) 首先对各分母因式分解，确定最简公分母：$b^2-c^2=(b+c)(b-c)$，因此三个分式的最简公分母为$b^2-c^2$；再将$\frac{1}{b+c}$、$\frac{1}{c-b}$分别通分变形为分母是$b^2-c^2$的分式，注意$\frac{1}{c-b}=-\frac{1}{b-c}$，通分后要注意符号变化；接着按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，最后对分子分母因式分解，约去公因式得到最简结果。
(2) 对于整式与分式的加减运算，可将整式$x-y$看作分母为1的分式，确定最简公分母为$x+y$，将整式通分后转化为同分母分式的加法，再合并分子的同类项，最终化为最简分式即可。
【解析】
(1) 计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2c}{(b+c)(b-c)} - \frac{1}{b+c} - \frac{1}{b-c}\\&=\frac{2c}{b^2 - c^2} - \frac{b - c}{b^2 - c^2} - \frac{b + c}{b^2 - c^2}\\&=\frac{2c - (b - c) - (b + c)}{b^2 - c^2}\\&=\frac{2c - b + c - b - c}{b^2 - c^2}\\&=\frac{2c - 2b}{b^2 - c^2}\\&=\frac{-2(b - c)}{(b + c)(b - c)}\\&=-\frac{2}{b + c}\end{aligned}$
(2) 计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x - y)(x + y)}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y}\\&=\frac{x^2 - y^2}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y}\\&=\frac{x^2 - y^2 + 2y^2}{x + y}\\&=\frac{x^2 + y^2}{x + y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{b + c}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{x^2 + y^2}{x + y}}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分与约分
【点评】
这两道题是分式加减运算的常规题型，解题关键是准确确定最简公分母，尤其要注意分母互为相反数时的符号转化，以及整式参与分式运算时的通分方法，最终运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.75
这两道题均考查异分母分式的加减运算，解题思路如下：
(1) 首先对各分母因式分解，确定最简公分母：$b^2-c^2=(b+c)(b-c)$，因此三个分式的最简公分母为$b^2-c^2$；再将$\frac{1}{b+c}$、$\frac{1}{c-b}$分别通分变形为分母是$b^2-c^2$的分式，注意$\frac{1}{c-b}=-\frac{1}{b-c}$，通分后要注意符号变化；接着按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，最后对分子分母因式分解，约去公因式得到最简结果。
(2) 对于整式与分式的加减运算，可将整式$x-y$看作分母为1的分式，确定最简公分母为$x+y$，将整式通分后转化为同分母分式的加法，再合并分子的同类项，最终化为最简分式即可。
【解析】
(1) 计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2c}{(b+c)(b-c)} - \frac{1}{b+c} - \frac{1}{b-c}\\&=\frac{2c}{b^2 - c^2} - \frac{b - c}{b^2 - c^2} - \frac{b + c}{b^2 - c^2}\\&=\frac{2c - (b - c) - (b + c)}{b^2 - c^2}\\&=\frac{2c - b + c - b - c}{b^2 - c^2}\\&=\frac{2c - 2b}{b^2 - c^2}\\&=\frac{-2(b - c)}{(b + c)(b - c)}\\&=-\frac{2}{b + c}\end{aligned}$
(2) 计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x - y)(x + y)}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y}\\&=\frac{x^2 - y^2}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y}\\&=\frac{x^2 - y^2 + 2y^2}{x + y}\\&=\frac{x^2 + y^2}{x + y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{b + c}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{x^2 + y^2}{x + y}}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分与约分
【点评】
这两道题是分式加减运算的常规题型，解题关键是准确确定最简公分母，尤其要注意分母互为相反数时的符号转化，以及整式参与分式运算时的通分方法，最终运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.75
1.（2024·甘肃中考）计算：$\frac{4a}{2a - b} - \frac{2b}{2a - b} =$ （
A.$2$
B.$2a - b$
C.$\frac{2}{2a - b}$
D.$\frac{a - b}{2a - b}$
A
）A.$2$
B.$2a - b$
C.$\frac{2}{2a - b}$
D.$\frac{a - b}{2a - b}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现分母均为$2a-b$，属于同分母分式的减法，按照同分母分式加减法法则，运算时分母保持不变，仅将分子相减；再对分子合并化简后提取公因式，最后结合分式有意义的条件（分母不为0）进行约分，即可得到化简结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a - 2b}{2a - b}\\&=\frac{2(2a - b)}{2a - b}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$2a - b ≠ 0$，因此可将分子分母的公因式$2a - b$约去，得：
原式$=2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.同分母分式加减法法则
2.分式的约分
3.提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式加减法的基础规则，运算时需注意先判断分母是否相同，分子运算后要检查是否能约分，得到最简结果，同时要牢记分式分母不为0的隐含前提，避免运算误区。
【难度系数】
0.8
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现分母均为$2a-b$，属于同分母分式的减法，按照同分母分式加减法法则，运算时分母保持不变，仅将分子相减；再对分子合并化简后提取公因式，最后结合分式有意义的条件（分母不为0）进行约分，即可得到化简结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a - 2b}{2a - b}\\&=\frac{2(2a - b)}{2a - b}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$2a - b ≠ 0$，因此可将分子分母的公因式$2a - b$约去，得：
原式$=2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.同分母分式加减法法则
2.分式的约分
3.提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式加减法的基础规则，运算时需注意先判断分母是否相同，分子运算后要检查是否能约分，得到最简结果，同时要牢记分式分母不为0的隐含前提，避免运算误区。
【难度系数】
0.8
2. 化简$\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-a}$的结果是 （
A.$a+b$
B.$a-b$
C.$a^2 - b^2$
D.$1$
A
）A.$a+b$
B.$a-b$
C.$a^2 - b^2$
D.$1$
答案
2.A
解析
【分析】
这是分式加法运算的基础题，解题思路清晰：第一步先观察两个分式的分母，发现$a-b$和$b-a$互为相反数，可将分母统一为同分母$a-b$，注意此时第二个分式的分子要同步变号；第二步按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加；第三步对分子因式分解后约分，得到最简结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：先对第二个分式的分母变形，$b-a=-(a-b)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2}{-(a-b)}\\&=\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2}{a-b}\\&=\frac{a^2 - b^2}{a-b}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\\&=a+b\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减法、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规考查题，易错点是转换互为相反数的分母时容易弄错分子的符号，计算时要注意符号变化，最终运算结果要化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8
这是分式加法运算的基础题，解题思路清晰：第一步先观察两个分式的分母，发现$a-b$和$b-a$互为相反数，可将分母统一为同分母$a-b$，注意此时第二个分式的分子要同步变号；第二步按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加；第三步对分子因式分解后约分，得到最简结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：先对第二个分式的分母变形，$b-a=-(a-b)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2}{-(a-b)}\\&=\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2}{a-b}\\&=\frac{a^2 - b^2}{a-b}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\\&=a+b\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减法、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规考查题，易错点是转换互为相反数的分母时容易弄错分子的符号，计算时要注意符号变化，最终运算结果要化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8
3. 化简：$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} =$
$\frac{2}{x^2 -1}$
.答案
3.$\frac{2}{x^2 -1}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路按照异分母分式加减的步骤展开：第一步先找两个分式的最简公分母，观察分母分别为$x-1$和$x+1$，二者没有公因式，因此最简公分母为$(x-1)(x+1)$；第二步将两个分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法规则，分母不变、分子相减，计算时注意去括号的符号变化；最后化简结果，判断是否能约分即可。
【解析】
解：两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，通分得：
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$
去括号合并分子，同时分母用平方差公式展开：
$= \frac{x+1 - x + 1}{x^2 -1}$
$= \frac{2}{x^2 -1}$
【答案】
$\frac{2}{x^2 -1}$
【知识点】
异分母分式加减运算，分式的通分，平方差公式
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算流程，解题时需注意通分时分子要随分母同步乘对应因式，去括号时避免出现符号错误，计算完成后注意检查结果是否为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路按照异分母分式加减的步骤展开：第一步先找两个分式的最简公分母，观察分母分别为$x-1$和$x+1$，二者没有公因式，因此最简公分母为$(x-1)(x+1)$；第二步将两个分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法规则，分母不变、分子相减，计算时注意去括号的符号变化；最后化简结果，判断是否能约分即可。
【解析】
解：两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，通分得：
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$
去括号合并分子，同时分母用平方差公式展开：
$= \frac{x+1 - x + 1}{x^2 -1}$
$= \frac{2}{x^2 -1}$
【答案】
$\frac{2}{x^2 -1}$
【知识点】
异分母分式加减运算，分式的通分，平方差公式
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算流程，解题时需注意通分时分子要随分母同步乘对应因式，去括号时避免出现符号错误，计算完成后注意检查结果是否为最简分式。
【难度系数】
0.8
4. 已知实数$a,b$满足$ab=1$，则$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}=$
$1$
.答案
4.1
解析
【分析】
本题要求已知ab=1时的分式和，解题思路如下：首先回忆异分母分式加法的运算步骤，先通分将两个分式转化为同分母分式，再把分子相加、分母保持不变；接下来将分母展开，结合已知条件ab=1，利用整体代入的方法把分子分母中的相关项替换，最后化简即可得到结果。也可以用特殊值法（如令a=1，b=1直接代入）快速验算结果。
【解析】
解：根据异分母分式加法法则，先通分，最简公分母为$(a^2+1)(b^2+1)$，则：
$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}$
$=\frac{b^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{a^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}$
$=\frac{(b^2+1)+(a^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}$
将分子合并，分母展开得：
原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}$
已知$ab=1$，则$a^2b^2=(ab)^2=1^2=1$，将其代入分母得：
分母$=1+a^2+b^2+1=a^2+b^2+2$
因此原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式加法运算，整体代入求值，多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式加减的基本运算规则，结合整体代入的思想即可求解，也可通过特殊值法快速验证答案，熟练掌握通分、整式乘法等基础运算就能轻松完成。
【难度系数】
0.8
本题要求已知ab=1时的分式和，解题思路如下：首先回忆异分母分式加法的运算步骤，先通分将两个分式转化为同分母分式，再把分子相加、分母保持不变；接下来将分母展开，结合已知条件ab=1，利用整体代入的方法把分子分母中的相关项替换，最后化简即可得到结果。也可以用特殊值法（如令a=1，b=1直接代入）快速验算结果。
【解析】
解：根据异分母分式加法法则，先通分，最简公分母为$(a^2+1)(b^2+1)$，则：
$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}$
$=\frac{b^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{a^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}$
$=\frac{(b^2+1)+(a^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}$
将分子合并，分母展开得：
原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}$
已知$ab=1$，则$a^2b^2=(ab)^2=1^2=1$，将其代入分母得：
分母$=1+a^2+b^2+1=a^2+b^2+2$
因此原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式加法运算，整体代入求值，多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式加减的基本运算规则，结合整体代入的思想即可求解，也可通过特殊值法快速验证答案，熟练掌握通分、整式乘法等基础运算就能轻松完成。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1)$\frac{5}{6a^2c}+\frac{1}{6a^2c}-\frac{2}{6ca^2};$
(2)$\frac{x^2+9x}{x^2+3x}+\frac{x^2-9}{x^2+6x+9};$
(3)$\frac{a^2-5}{a-2}+\frac{a}{2-a}+\frac{1+a}{a-2};$
(4)$\frac{a^2}{a+1}-a+1.$
(1)$\frac{5}{6a^2c}+\frac{1}{6a^2c}-\frac{2}{6ca^2};$
(2)$\frac{x^2+9x}{x^2+3x}+\frac{x^2-9}{x^2+6x+9};$
(3)$\frac{a^2-5}{a-2}+\frac{a}{2-a}+\frac{1+a}{a-2};$
(4)$\frac{a^2}{a+1}-a+1.$
答案
5.【解】(1)原式$=\frac{5+1-2}{6a^2c}=\frac{2}{3a^2c}.$
(2)原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{2x+6}{x+3}=2.$
(3)原式$=\frac{a^2 -5}{a-2}-\frac{a}{a-2}+\frac{1+a}{a-2}=\frac{a^2 -4}{a-2}=a+2.$
(4)原式$=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a-1}{1}=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a^2 -1}{a+1}=\frac{1}{a+1}.$
(2)原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{2x+6}{x+3}=2.$
(3)原式$=\frac{a^2 -5}{a-2}-\frac{a}{a-2}+\frac{1+a}{a-2}=\frac{a^2 -4}{a-2}=a+2.$
(4)原式$=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a-1}{1}=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a^2 -1}{a+1}=\frac{1}{a+1}.$
解析
【分析】
本题考查分式的加减运算，解题思路如下：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最终结果要约分为最简分式或整式；②若分式的分子、分母可因式分解，先因式分解约分简化计算；③若分母互为相反数，先通过提取负号统一为同分母再计算；④整式与分式相加减时，可将整式看作分母为1的分式，通分后再按同分母分式加减计算。
(1)三个分式的分母$6a^2c$和$6ca^2$完全相同，属于同分母分式加减，直接合并分子后约分即可；
(2)先将两个分式的分子、分母因式分解，约分后得到同分母分式，再合并分子化简；
(3)分母$2-a$和$a-2$互为相反数，将第二个分式变形为分母为$a-2$的分式，统一为同分母后合并分子，因式分解约分得到结果；
(4)将$-a+1$看作分母为1的整式，通分转化为同分母分式后，合并分子化简即可。
【解析】
(1)同分母分式加减，分母不变，分子相加减：
原式$=\frac{5+1-2}{6a^2c}=\frac{4}{6a^2c}=\frac{2}{3a^2c}$
(2)先对分子分母因式分解、约分：
原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$
合并分子后化简：
$=\frac{(x+9)+(x-3)}{x+3}=\frac{2x+6}{x+3}=\frac{2(x+3)}{x+3}=2$
(3)统一分母后合并计算：
原式$=\frac{a^2 -5}{a-2}-\frac{a}{a-2}+\frac{1+a}{a-2}$
$=\frac{(a^2-5)-a+(1+a)}{a-2}=\frac{a^2-4}{a-2}=\frac{(a+2)(a-2)}{a-2}=a+2$
(4)将整式通分后计算：
原式$=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a-1}{1}=\frac{a^2}{a+1}-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a^2 -1}{a+1}$
$=\frac{a^2-(a^2-1)}{a+1}=\frac{1}{a+1}$
【答案】
(1)$\frac{2}{3a^2c}$；(2)$2$；(3)$a+2$；(4)$\frac{1}{a+1}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础训练题，覆盖了同分母分式加减、分母互为相反数的分式加减、整式与分式加减三类常考题型，计算时需注意统一分母的规则，运算结果要化为最简形式，有助于夯实分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的加减运算，解题思路如下：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最终结果要约分为最简分式或整式；②若分式的分子、分母可因式分解，先因式分解约分简化计算；③若分母互为相反数，先通过提取负号统一为同分母再计算；④整式与分式相加减时，可将整式看作分母为1的分式，通分后再按同分母分式加减计算。
(1)三个分式的分母$6a^2c$和$6ca^2$完全相同，属于同分母分式加减，直接合并分子后约分即可；
(2)先将两个分式的分子、分母因式分解，约分后得到同分母分式，再合并分子化简；
(3)分母$2-a$和$a-2$互为相反数，将第二个分式变形为分母为$a-2$的分式，统一为同分母后合并分子，因式分解约分得到结果；
(4)将$-a+1$看作分母为1的整式，通分转化为同分母分式后，合并分子化简即可。
【解析】
(1)同分母分式加减，分母不变，分子相加减：
原式$=\frac{5+1-2}{6a^2c}=\frac{4}{6a^2c}=\frac{2}{3a^2c}$
(2)先对分子分母因式分解、约分：
原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}+\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{x+9}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$
合并分子后化简：
$=\frac{(x+9)+(x-3)}{x+3}=\frac{2x+6}{x+3}=\frac{2(x+3)}{x+3}=2$
(3)统一分母后合并计算：
原式$=\frac{a^2 -5}{a-2}-\frac{a}{a-2}+\frac{1+a}{a-2}$
$=\frac{(a^2-5)-a+(1+a)}{a-2}=\frac{a^2-4}{a-2}=\frac{(a+2)(a-2)}{a-2}=a+2$
(4)将整式通分后计算：
原式$=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a-1}{1}=\frac{a^2}{a+1}-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}-\frac{a^2 -1}{a+1}$
$=\frac{a^2-(a^2-1)}{a+1}=\frac{1}{a+1}$
【答案】
(1)$\frac{2}{3a^2c}$；(2)$2$；(3)$a+2$；(4)$\frac{1}{a+1}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础训练题，覆盖了同分母分式加减、分母互为相反数的分式加减、整式与分式加减三类常考题型，计算时需注意统一分母的规则，运算结果要化为最简形式，有助于夯实分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
