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1. 由三角形的一边与另一边的
延长线
组成的角，叫作三角形的外角。答案
1. 延长线
解析
【分析】
本题考查三角形外角的基本定义，解题时可先回忆三角形外角的相关概念：三角形的内角是三条边两两围成的内部角，外角是位于三角形外部的角，形成外角时需要将三角形的某条边进行延长，和另一条边共同构成夹角，直接对应定义内容即可填出空缺。
【解析】
根据三角形外角的定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此空缺处应填延长线。
【答案】
延长线
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确记忆相关定义就能快速作答，日常学习中要重视基础概念的识记与理解。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外角的基本定义，解题时可先回忆三角形外角的相关概念：三角形的内角是三条边两两围成的内部角，外角是位于三角形外部的角，形成外角时需要将三角形的某条边进行延长，和另一条边共同构成夹角，直接对应定义内容即可填出空缺。
【解析】
根据三角形外角的定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此空缺处应填延长线。
【答案】
延长线
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确记忆相关定义就能快速作答，日常学习中要重视基础概念的识记与理解。
【难度系数】
0.9
2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角
的和。答案
2. 内角
解析
【分析】
本题考查三角形外角的基本性质，解题时首先回忆三角形外角性质的推导逻辑：首先明确三角形内角和为180°，且三角形的一个外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加也为180°，通过等量代换即可得出外角和不相邻两个角的关系，直接对应概念填空即可。
【解析】
我们可以通过推导验证该性质：
1. 设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，与∠C相邻的外角为∠D，根据邻补角的定义，∠C + ∠D = 180°；
2. 根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°；
3. 对两个式子做等量代换，可得∠D = 180° - ∠C = ∠A + ∠B，其中∠A、∠B都是和外角∠D不相邻的内角，因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，横线处应填“内角”。
【答案】
内角
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考察三角形外角的核心性质，牢记相关定理即可快速作答，是几何基础部分的常规题型。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外角的基本性质，解题时首先回忆三角形外角性质的推导逻辑：首先明确三角形内角和为180°，且三角形的一个外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加也为180°，通过等量代换即可得出外角和不相邻两个角的关系，直接对应概念填空即可。
【解析】
我们可以通过推导验证该性质：
1. 设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，与∠C相邻的外角为∠D，根据邻补角的定义，∠C + ∠D = 180°；
2. 根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°；
3. 对两个式子做等量代换，可得∠D = 180° - ∠C = ∠A + ∠B，其中∠A、∠B都是和外角∠D不相邻的内角，因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，横线处应填“内角”。
【答案】
内角
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考察三角形外角的核心性质，牢记相关定理即可快速作答，是几何基础部分的常规题型。
【难度系数】
0.9
例 如图13.3-19，点C在AD上，点E在AB上，CB，DE相交于点F，$∠ A = 25°$，$∠ BFE = 93°$，$∠ B=40°$，求$∠ D$的度数.
解 在$△ BFE$中，$∠ BFE + ∠ B + ∠ BEF=180°$. $\because ∠ BFE=93°$，$∠ B=40°$，
$\therefore ∠ BEF=180° - 93° - 40°=47°$.
$\because ∠ BEF=∠ A + ∠ D$，
$\therefore ∠ D=∠ BEF - ∠ A=47° -25°=22°$.
方法感悟 本类题一般综合考查三角形内角和定理与三角形外角的性质，通常也会结合相关角的平分线等知识点考查.解答此类题，需熟练地掌握三角形中角与角之间的关系.另外，必要时添加辅助线来完成条件的构造是解题的一般方法.
图13.3-19
解 在$△ BFE$中，$∠ BFE + ∠ B + ∠ BEF=180°$. $\because ∠ BFE=93°$，$∠ B=40°$，
$\therefore ∠ BEF=180° - 93° - 40°=47°$.
$\because ∠ BEF=∠ A + ∠ D$，
$\therefore ∠ D=∠ BEF - ∠ A=47° -25°=22°$.
方法感悟 本类题一般综合考查三角形内角和定理与三角形外角的性质，通常也会结合相关角的平分线等知识点考查.解答此类题，需熟练地掌握三角形中角与角之间的关系.另外，必要时添加辅助线来完成条件的构造是解题的一般方法.
图13.3-19
答案
解：在$△ BFE$中，$∠ BFE + ∠ B + ∠ BEF = 180°$。
$\because ∠ BFE = 93°$，$∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ BEF = 180° - 93° - 40° = 47°$。
$\because ∠ BEF$是$△ ADE$的外角，
$\therefore ∠ BEF = ∠ A + ∠ D$，
$\therefore ∠ D = ∠ BEF - ∠ A = 47° - 25° = 22°$。
$\because ∠ BFE = 93°$，$∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ BEF = 180° - 93° - 40° = 47°$。
$\because ∠ BEF$是$△ ADE$的外角，
$\therefore ∠ BEF = ∠ A + ∠ D$，
$\therefore ∠ D = ∠ BEF - ∠ A = 47° - 25° = 22°$。
解析
【分析】
要求∠D的度数，首先观察角的位置关系：∠BEF是△ADE的外角，根据三角形外角性质可得∠BEF=∠A+∠D，已知∠A=25°，因此只需先求出∠BEF的度数即可。而∠BEF是△BFE的内角，△BFE中已知∠BFE和∠B的度数，利用三角形内角和为180°即可算出∠BEF，最后代入外角关系式就能求出∠D的度数。
【解析】
在$△ BFE$中，根据三角形内角和定理，$∠ BFE + ∠ B + ∠ BEF = 180°$。
$\because ∠ BFE = 93°$，$∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ BEF = 180° - 93° - 40° = 47°$。
$\because ∠ BEF$是$△ ADE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
$\therefore ∠ BEF = ∠ A + ∠ D$，
$\therefore ∠ D = ∠ BEF - ∠ A = 47° - 25° = 22°$。
【答案】
$22°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，解题的核心是找准已知角和未知角的关联，通过中间角∠BEF搭建两者的联系，熟练掌握三角形内角和与外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠D的度数，首先观察角的位置关系：∠BEF是△ADE的外角，根据三角形外角性质可得∠BEF=∠A+∠D，已知∠A=25°，因此只需先求出∠BEF的度数即可。而∠BEF是△BFE的内角，△BFE中已知∠BFE和∠B的度数，利用三角形内角和为180°即可算出∠BEF，最后代入外角关系式就能求出∠D的度数。
【解析】
在$△ BFE$中，根据三角形内角和定理，$∠ BFE + ∠ B + ∠ BEF = 180°$。
$\because ∠ BFE = 93°$，$∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ BEF = 180° - 93° - 40° = 47°$。
$\because ∠ BEF$是$△ ADE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
$\therefore ∠ BEF = ∠ A + ∠ D$，
$\therefore ∠ D = ∠ BEF - ∠ A = 47° - 25° = 22°$。
【答案】
$22°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，解题的核心是找准已知角和未知角的关联，通过中间角∠BEF搭建两者的联系，熟练掌握三角形内角和与外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图13.3-20，$∠ 1$是$△ ABC$的外角，则$∠ 1$的度数为（
A.$115°$
B.$75°$
C.$65°$
D.$60°$
C
）.A.$115°$
B.$75°$
C.$65°$
D.$60°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时可以优先考虑三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。首先观察图形确定∠1是△ABC的外角，再找到与∠1不相邻的两个内角∠B和∠C的度数，将两个角度数相加即可得到∠1的度数；也可以先通过三角形内角和为180°算出∠BAC的度数，再利用邻补角或对顶角的关系计算∠1，两种方法中直接运用外角性质解题更简便。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由图可知，∠1是△ABC的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为∠B=40°，∠C=25°，
因此∠1 = ∠B + ∠C = 40° + 25° = 65°，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题目，难度较低，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果，解题时注意准确识别外角对应的不相邻内角，避免计算错误即可。
【难度系数】
0.85
解题时可以优先考虑三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。首先观察图形确定∠1是△ABC的外角，再找到与∠1不相邻的两个内角∠B和∠C的度数，将两个角度数相加即可得到∠1的度数；也可以先通过三角形内角和为180°算出∠BAC的度数，再利用邻补角或对顶角的关系计算∠1，两种方法中直接运用外角性质解题更简便。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由图可知，∠1是△ABC的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为∠B=40°，∠C=25°，
因此∠1 = ∠B + ∠C = 40° + 25° = 65°，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题目，难度较低，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果，解题时注意准确识别外角对应的不相邻内角，避免计算错误即可。
【难度系数】
0.85
2. 图13.3-21是一路灯的实物图，图13.3-22是该路灯的平面示意图，∠MAC=50°，∠ACB=20°，则在图13.3-22中∠CBA的度数为（
A.15°
B.20°
C.30°
D.50°
C
）。 A.15°
B.20°
C.30°
D.50°
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先观察图形确定∠MAC是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，由此可建立∠MAC、∠CBA、∠ACB三个角的数量关系，将已知角度代入关系式，即可求出∠CBA的度数。也可以先根据邻补角的定义求出∠BAC的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠CBA的度数，两种方法都可求解，用外角性质计算更简便。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵ ∠MAC是△ABC的外角
∴ 根据三角形外角的性质可得：$∠ MAC = ∠ CBA + ∠ ACB$
∴ $∠ CBA = ∠ MAC - ∠ ACB$
已知$∠ MAC=50°$，$∠ ACB=20°$，代入得：
$∠ CBA = 50° - 20° = 30°$
方法二：利用三角形内角和定理求解
∵ $∠ MAC + ∠ BAC = 180°$（邻补角的和为$180°$）
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ MAC = 180° - 50° = 130°$
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC + ∠ ACB + ∠ CBA = 180°$
∴ $∠ CBA = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 130° - 20° = 30°$
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】
1.三角形外角的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础计算题，核心考查三角形角度相关性质的应用，解题的关键是准确判断角与三角形的位置关系，灵活选择合适的性质计算，熟练掌握相关定理即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形确定∠MAC是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，由此可建立∠MAC、∠CBA、∠ACB三个角的数量关系，将已知角度代入关系式，即可求出∠CBA的度数。也可以先根据邻补角的定义求出∠BAC的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠CBA的度数，两种方法都可求解，用外角性质计算更简便。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵ ∠MAC是△ABC的外角
∴ 根据三角形外角的性质可得：$∠ MAC = ∠ CBA + ∠ ACB$
∴ $∠ CBA = ∠ MAC - ∠ ACB$
已知$∠ MAC=50°$，$∠ ACB=20°$，代入得：
$∠ CBA = 50° - 20° = 30°$
方法二：利用三角形内角和定理求解
∵ $∠ MAC + ∠ BAC = 180°$（邻补角的和为$180°$）
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ MAC = 180° - 50° = 130°$
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC + ∠ ACB + ∠ CBA = 180°$
∴ $∠ CBA = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 130° - 20° = 30°$
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】
1.三角形外角的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础计算题，核心考查三角形角度相关性质的应用，解题的关键是准确判断角与三角形的位置关系，灵活选择合适的性质计算，熟练掌握相关定理即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 如图13.3-23，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，则∠1+∠2+∠3=
360°
。答案
3. 360°
解析
【分析】
解题时可以从两个思路切入：思路1：先利用邻补角的性质，得到每个外角与其相邻内角的和为180°，计算三个外角加三个相邻内角的总和，再减去三角形内角和，即可得到三个外角的和；思路2：直接回忆三角形外角和的固定结论，直接得出结果。
【解析】
方法1：
∵ 三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，
∴ ∠1 + ∠BAC = 180°，∠2 + ∠ACB = 180°，∠3 + ∠ABC = 180°，
将三个等式左右两边分别相加，得：
∠1 + ∠BAC + ∠2 + ∠ACB + ∠3 + ∠ABC = 180°×3 = 540°，
又
∵ 三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° - 180° = 360°。
方法2：
根据三角形外角和定理：任意三角形的外角和等于360°，可直接得出∠1+∠2+∠3=360°。
【答案】
360°
【知识点】
三角形外角和定理；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形外角相关的基础题型，既可以通过内角和推导得到结论，也可以直接运用外角和定理快速解题，熟练记忆三角形外角和为360°的结论能提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时可以从两个思路切入：思路1：先利用邻补角的性质，得到每个外角与其相邻内角的和为180°，计算三个外角加三个相邻内角的总和，再减去三角形内角和，即可得到三个外角的和；思路2：直接回忆三角形外角和的固定结论，直接得出结果。
【解析】
方法1：
∵ 三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，
∴ ∠1 + ∠BAC = 180°，∠2 + ∠ACB = 180°，∠3 + ∠ABC = 180°，
将三个等式左右两边分别相加，得：
∠1 + ∠BAC + ∠2 + ∠ACB + ∠3 + ∠ABC = 180°×3 = 540°，
又
∵ 三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° - 180° = 360°。
方法2：
根据三角形外角和定理：任意三角形的外角和等于360°，可直接得出∠1+∠2+∠3=360°。
【答案】
360°
【知识点】
三角形外角和定理；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形外角相关的基础题型，既可以通过内角和推导得到结论，也可以直接运用外角和定理快速解题，熟练记忆三角形外角和为360°的结论能提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
4. 如图13.3-24，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E。如果∠1+∠2=230°，则∠A=
50°
。答案
4. 50°
解析
【分析】
解题可从邻补角性质和三角形内角和定理入手思考：首先∠1和∠ABC、∠2和∠ACB分别是邻补角，邻补角之和为180°，据此可先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再结合三角形内角和为180°，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 互为邻补角的两个角和为180°
∴ ∠1 + ∠ABC = 180°，∠2 + ∠ACB = 180°
将两个等式相加可得：
$∠1 + ∠2 + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° + 180° = 360°$
已知$∠1 + ∠2 = 230°$，代入上式得：
$230° + ∠ ABC + ∠ ACB = 360°$
解得$∠ ABC + ∠ ACB = 360° - 230° = 130°$
在△ABC中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
∴ $∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
邻补角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查基础几何性质的综合应用，解题的核心是建立已知角和三角形内角之间的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可从邻补角性质和三角形内角和定理入手思考：首先∠1和∠ABC、∠2和∠ACB分别是邻补角，邻补角之和为180°，据此可先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再结合三角形内角和为180°，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 互为邻补角的两个角和为180°
∴ ∠1 + ∠ABC = 180°，∠2 + ∠ACB = 180°
将两个等式相加可得：
$∠1 + ∠2 + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° + 180° = 360°$
已知$∠1 + ∠2 = 230°$，代入上式得：
$230° + ∠ ABC + ∠ ACB = 360°$
解得$∠ ABC + ∠ ACB = 360° - 230° = 130°$
在△ABC中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
∴ $∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
邻补角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查基础几何性质的综合应用，解题的核心是建立已知角和三角形内角之间的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如果将一副三角尺按如图13.3-25所示的方式叠放，那么∠1=
105°
。答案
5. 105°
解析
【分析】
解题前首先明确一副三角尺的固定内角度数：等腰直角三角尺的三个角为90°、45°、45°，含60°角的直角三角尺的三个角为90°、60°、30°。观察∠1的位置，我们可以通过两种思路求解：思路一，将∠1看作三角形的外角，直接利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质计算；思路二，先求出∠1的邻补角所在三角形的内角度数，结合三角形内角和定理算出邻补角度数，再由邻补角和为180°得到∠1的度数。
【解析】
方法一（外角性质法）：
由三角尺的角度特征可知，与∠1不相邻的两个三角形内角分别为45°和60°。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
∠1=45°+60°=105°
方法二（内角和+邻补角法）：
叠放后形成的小三角形中，两个已知内角分别为45°和60°。
根据三角形内角和为180°，可得该三角形第三个内角的度数为：
$180°-45°-60°=75°$
∠1与该角互为邻补角，即两角和为180°，因此：
$∠1=180°-75°=105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理、三角尺角度特征
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是熟练掌握三角尺的固定角度和三角形角的相关性质，只要能准确识别图中的已知角度和角的位置关系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确一副三角尺的固定内角度数：等腰直角三角尺的三个角为90°、45°、45°，含60°角的直角三角尺的三个角为90°、60°、30°。观察∠1的位置，我们可以通过两种思路求解：思路一，将∠1看作三角形的外角，直接利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质计算；思路二，先求出∠1的邻补角所在三角形的内角度数，结合三角形内角和定理算出邻补角度数，再由邻补角和为180°得到∠1的度数。
【解析】
方法一（外角性质法）：
由三角尺的角度特征可知，与∠1不相邻的两个三角形内角分别为45°和60°。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
∠1=45°+60°=105°
方法二（内角和+邻补角法）：
叠放后形成的小三角形中，两个已知内角分别为45°和60°。
根据三角形内角和为180°，可得该三角形第三个内角的度数为：
$180°-45°-60°=75°$
∠1与该角互为邻补角，即两角和为180°，因此：
$∠1=180°-75°=105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理、三角尺角度特征
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是熟练掌握三角尺的固定角度和三角形角的相关性质，只要能准确识别图中的已知角度和角的位置关系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
