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6. 如图13.3-26，若∠A=∠B=∠C=35°，则∠CDB=
105°
。答案
6. 105°
解析
【分析】
解题时可利用三角形外角的性质推导角度关系，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。我们可以通过作辅助线延长CD交AB于点E，先将∠A和∠C转化为△ACE的外角∠BED，再将∠BED和∠B转化为△BDE的外角∠CDB，最终建立∠CDB与三个已知角的等量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
∵ ∠BED是△ACE的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠BED = ∠A + ∠C = 35° + 35° = 70°，
又
∵ ∠CDB是△BDE的外角，同理可得：
∠CDB = ∠BED + ∠B = 70° + 35° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查三角形外角性质的应用，通过构造辅助线建立未知角和已知角的关联即可求解，熟练掌握外角性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可利用三角形外角的性质推导角度关系，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。我们可以通过作辅助线延长CD交AB于点E，先将∠A和∠C转化为△ACE的外角∠BED，再将∠BED和∠B转化为△BDE的外角∠CDB，最终建立∠CDB与三个已知角的等量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
∵ ∠BED是△ACE的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠BED = ∠A + ∠C = 35° + 35° = 70°，
又
∵ ∠CDB是△BDE的外角，同理可得：
∠CDB = ∠BED + ∠B = 70° + 35° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查三角形外角性质的应用，通过构造辅助线建立未知角和已知角的关联即可求解，熟练掌握外角性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 如图13.3-27，在△ABC中，∠A=30°，点D是AB延长线上一点，过点D作EF//BC。若∠ADE=70°，则∠C的度数为
40°
。答案
7. 40°
解析
【分析】
解题时首先利用题目给出的EF//BC的平行条件，根据平行线同位角相等的性质求出△ABC中∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠A的度数，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵EF//BC，∠ADE与∠ABC是直线EF、BC被直线AB所截形成的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得：
∠ABC = ∠ADE = 70°
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°
将∠A=30°，∠ABC=70°代入上式得：
∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 30° - 70° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将平行线性质和三角形内角和定理结合应用，解题关键是准确识别平行线对应的同位角，再代入公式计算即可，掌握基础定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用题目给出的EF//BC的平行条件，根据平行线同位角相等的性质求出△ABC中∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠A的度数，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵EF//BC，∠ADE与∠ABC是直线EF、BC被直线AB所截形成的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得：
∠ABC = ∠ADE = 70°
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°
将∠A=30°，∠ABC=70°代入上式得：
∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 30° - 70° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将平行线性质和三角形内角和定理结合应用，解题关键是准确识别平行线对应的同位角，再代入公式计算即可，掌握基础定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
8. 请认真完成下列的数学活动.
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】（1）如图13.3 - 28，$∠ DBC$与$∠ ECB$分别为$△ ABC$的两个外角，试探究$∠ A$与$∠ DBC+∠ ECB$之间的数量关系.
【初步运用】（2）如图13.3 - 29，在$△ ABC$纸片中剪去$△ CED$，得到四边形$ABDE$.若$∠ 2 = 125°$，则$∠ 1 - ∠ C =$
【拓展提升】（3）如图13.3 - 31，在四边形$ABCD$中，$BP$，$CP$分别平分外角$∠ EBC$，$∠ FCB$，设$∠ A + ∠ D = α$（$0°＜α＜360°$）.
①试说明$∠ P$与$α$的数量关系.
②根据$α$值的情况，请直接判断$△ BPC$的形状（按角分类）.
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】（1）如图13.3 - 28，$∠ DBC$与$∠ ECB$分别为$△ ABC$的两个外角，试探究$∠ A$与$∠ DBC+∠ ECB$之间的数量关系.
【初步运用】（2）如图13.3 - 29，在$△ ABC$纸片中剪去$△ CED$，得到四边形$ABDE$.若$∠ 2 = 125°$，则$∠ 1 - ∠ C =$
55°
.小明联想到了曾经解决的一个问题：如图13.3 - 30，在$△ ABC$中，$BP$，$CP$分别平分外角$∠ DBC$，$∠ ECB$，则$∠ P$与$∠ A$之间的数量关系为 ∠P = 90°−1/2∠A
（请利用上面的结论直接写出答案）.【拓展提升】（3）如图13.3 - 31，在四边形$ABCD$中，$BP$，$CP$分别平分外角$∠ EBC$，$∠ FCB$，设$∠ A + ∠ D = α$（$0°＜α＜360°$）.
①试说明$∠ P$与$α$的数量关系.
②根据$α$值的情况，请直接判断$△ BPC$的形状（按角分类）.
答案
8. （1）
∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A.
∴∠A=∠DBC+∠ECB−180° （2）55°，∠P = 90°−1/2∠A （3）①∠P=180°−1/2α ②当0°＜α＜180°时，
∵∠P=180°−1/2α，
∴90°＜∠P＜180°，
∴△BPC为钝角三角形；当α=180°时，∠P=180°−1/2α=90°，
∴△BPC为直角三角形；当180°＜α＜360°时，
∵∠P=180°−1/2α，
∴0°＜∠P＜90°，
∴△BPC为锐角三角形
∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A.
∴∠A=∠DBC+∠ECB−180° （2）55°，∠P = 90°−1/2∠A （3）①∠P=180°−1/2α ②当0°＜α＜180°时，
∵∠P=180°−1/2α，
∴90°＜∠P＜180°，
∴△BPC为钝角三角形；当α=180°时，∠P=180°−1/2α=90°，
∴△BPC为直角三角形；当180°＜α＜360°时，
∵∠P=180°−1/2α，
∴0°＜∠P＜90°，
∴△BPC为锐角三角形
解析
【分析】
（1）探究∠A与两个外角和的关系时，先利用三角形外角性质将两个外角用△ABC的内角表示，再结合三角形内角和为180°化简，即可得到二者的数量关系。
（2）第一空：直接套用（1）中推导的内角与两个不相邻外角和的关系，变形后代入已知角度即可求解；第二空：结合角平分线定义表示出△PBC的两个底角和，再结合三角形内角和定理，即可推导∠P与∠A的关系。
（3）①先利用四边形内角和为360°表示出两个内角的和，再求出对应两个外角的和，结合角平分线定义得到△PBC的两个底角和，最后用三角形内角和定理推导∠P与α的关系；②根据①的结论，分三种情况讨论α的取值范围，判断∠P的类型，即可确定△BPC的形状。
【解析】
（1）
∵∠DBC是△ABC的外角，
∴$∠ DBC=∠ A+∠ ACB$，
同理$∠ ECB=∠ A+∠ ABC$，
∴$∠ DBC+∠ ECB=2∠ A+∠ ACB+∠ ABC$，
又
∵$△ ABC$中，$∠ ACB+∠ ABC+∠ A=180°$，即$∠ ACB+∠ ABC=180°-∠ A$，
代入得$∠ DBC+∠ ECB=2∠ A+180°-∠ A=180°+∠ A$，
即$∠ A=∠ DBC+∠ ECB-180°$。
（2）第一空：根据（1）的结论可得$∠ 1+∠ 2=180°+∠ C$，
变形得$∠ 1-∠ C=180°-∠ 2$，
代入$∠ 2=125°$，得$∠1-∠ C=180°-125°=55°$。
第二空：
∵BP平分$∠ DBC$，CP平分$∠ ECB$，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ DBC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ECB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ ECB)$，
由（1）知$∠ DBC+∠ ECB=180°+∠ A$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$，
在$△ PBC$中，$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$。
（3）①
∵四边形ABCD的内角和为$360°$，
∴$∠ ABC+∠ BCD=360°-(∠ A+∠ D)=360°-α$，
∵$∠ EBC=180°-∠ ABC$，$∠ FCB=180°-∠ BCD$，
∴$∠ EBC+∠ FCB=360°-(∠ ABC+∠ BCD)=360°-(360°-α)=α$，
∵BP平分$∠ EBC$，CP平分$∠ FCB$，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ EBC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ FCB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ EBC+∠ FCB)=\frac{1}{2}α$，
在$△ PBC$中，$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}α$。
②分三种情况讨论：
当$0°＜α＜180°$时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}α$，可得$90°＜∠ P＜180°$，$△ BPC$为钝角三角形；
当$α=180°$时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}×180°=90°$，$△ BPC$为直角三角形；
当$180°＜α＜360°$时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}α$，可得$0°＜∠ P＜90°$，$△ BPC$为锐角三角形。
【答案】
（1）$∠ DBC+∠ ECB=180°+∠ A$（或$∠ A=∠ DBC+∠ ECB−180°$）
（2）$55°$；$∠ P = 90°−\frac{1}{2}∠ A$
（3）①$∠ P=180°−\frac{1}{2}α$；②当$0°＜α＜180°$时，$△ BPC$为钝角三角形；当$α=180°$时，$△ BPC$为直角三角形；当$180°＜α＜360°$时，$△ BPC$为锐角三角形
【知识点】
三角形内外角性质，角平分线的定义，多边形内角和定理
【点评】
本题是三角形内外角关系的综合探究题，从基础结论推导到实际应用再到拓展延伸，层层递进，既考查了对三角形、多边形内角和定理及外角性质的掌握，也渗透了转化思想和分类讨论思想，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
（1）探究∠A与两个外角和的关系时，先利用三角形外角性质将两个外角用△ABC的内角表示，再结合三角形内角和为180°化简，即可得到二者的数量关系。
（2）第一空：直接套用（1）中推导的内角与两个不相邻外角和的关系，变形后代入已知角度即可求解；第二空：结合角平分线定义表示出△PBC的两个底角和，再结合三角形内角和定理，即可推导∠P与∠A的关系。
（3）①先利用四边形内角和为360°表示出两个内角的和，再求出对应两个外角的和，结合角平分线定义得到△PBC的两个底角和，最后用三角形内角和定理推导∠P与α的关系；②根据①的结论，分三种情况讨论α的取值范围，判断∠P的类型，即可确定△BPC的形状。
【解析】
（1）
∵∠DBC是△ABC的外角，
∴$∠ DBC=∠ A+∠ ACB$，
同理$∠ ECB=∠ A+∠ ABC$，
∴$∠ DBC+∠ ECB=2∠ A+∠ ACB+∠ ABC$，
又
∵$△ ABC$中，$∠ ACB+∠ ABC+∠ A=180°$，即$∠ ACB+∠ ABC=180°-∠ A$，
代入得$∠ DBC+∠ ECB=2∠ A+180°-∠ A=180°+∠ A$，
即$∠ A=∠ DBC+∠ ECB-180°$。
（2）第一空：根据（1）的结论可得$∠ 1+∠ 2=180°+∠ C$，
变形得$∠ 1-∠ C=180°-∠ 2$，
代入$∠ 2=125°$，得$∠1-∠ C=180°-125°=55°$。
第二空：
∵BP平分$∠ DBC$，CP平分$∠ ECB$，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ DBC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ECB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ ECB)$，
由（1）知$∠ DBC+∠ ECB=180°+∠ A$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$，
在$△ PBC$中，$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$。
（3）①
∵四边形ABCD的内角和为$360°$，
∴$∠ ABC+∠ BCD=360°-(∠ A+∠ D)=360°-α$，
∵$∠ EBC=180°-∠ ABC$，$∠ FCB=180°-∠ BCD$，
∴$∠ EBC+∠ FCB=360°-(∠ ABC+∠ BCD)=360°-(360°-α)=α$，
∵BP平分$∠ EBC$，CP平分$∠ FCB$，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ EBC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ FCB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ EBC+∠ FCB)=\frac{1}{2}α$，
在$△ PBC$中，$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}α$。
②分三种情况讨论：
当$0°＜α＜180°$时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}α$，可得$90°＜∠ P＜180°$，$△ BPC$为钝角三角形；
当$α=180°$时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}×180°=90°$，$△ BPC$为直角三角形；
当$180°＜α＜360°$时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}α$，可得$0°＜∠ P＜90°$，$△ BPC$为锐角三角形。
【答案】
（1）$∠ DBC+∠ ECB=180°+∠ A$（或$∠ A=∠ DBC+∠ ECB−180°$）
（2）$55°$；$∠ P = 90°−\frac{1}{2}∠ A$
（3）①$∠ P=180°−\frac{1}{2}α$；②当$0°＜α＜180°$时，$△ BPC$为钝角三角形；当$α=180°$时，$△ BPC$为直角三角形；当$180°＜α＜360°$时，$△ BPC$为锐角三角形
【知识点】
三角形内外角性质，角平分线的定义，多边形内角和定理
【点评】
本题是三角形内外角关系的综合探究题，从基础结论推导到实际应用再到拓展延伸，层层递进，既考查了对三角形、多边形内角和定理及外角性质的掌握，也渗透了转化思想和分类讨论思想，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图13.3-32，把含有$60°$角的直角三角尺斜边放在直线$l$上，则$∠α$的度数是（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）.A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角尺的角度特征和三角形内角和、平角的性质：首先，已知直角三角尺有一个直角90°，一个锐角60°，我们可以先通过三角形内角和定理算出三角尺剩下的锐角的度数；再观察图形可知，这个求出的锐角和∠α在直线l上共同组成平角，根据平角为180°，就能求出∠α的度数。
【解析】
第一步：计算直角三角尺中未知锐角的度数
根据三角形内角和为180°，已知三角尺的两个角分别为90°、60°，则第三个锐角的度数为：
$180° - 90° - 60° = 30°$
第二步：计算∠α的度数
因为直线l为平角，度数为180°，∠α与上述30°的角组成平角，因此：
$∠α = 180° - 30° = 150°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合了常见直角三角尺的角度特征，只要熟练掌握三角形内角和与平角的性质就能快速得出结果，解题时注意仔细观察图形中角的位置关系即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角尺的角度特征和三角形内角和、平角的性质：首先，已知直角三角尺有一个直角90°，一个锐角60°，我们可以先通过三角形内角和定理算出三角尺剩下的锐角的度数；再观察图形可知，这个求出的锐角和∠α在直线l上共同组成平角，根据平角为180°，就能求出∠α的度数。
【解析】
第一步：计算直角三角尺中未知锐角的度数
根据三角形内角和为180°，已知三角尺的两个角分别为90°、60°，则第三个锐角的度数为：
$180° - 90° - 60° = 30°$
第二步：计算∠α的度数
因为直线l为平角，度数为180°，∠α与上述30°的角组成平角，因此：
$∠α = 180° - 30° = 150°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合了常见直角三角尺的角度特征，只要熟练掌握三角形内角和与平角的性质就能快速得出结果，解题时注意仔细观察图形中角的位置关系即可。
【难度系数】
0.9
