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8. 计算：
(1) $4m^3n · 5n^2$；
(2) $(-2a^2b^2)(-3a^2bc)$；
(3) $(-\frac{1}{7}xy^2) · 14(xy)^2$；
(4) $(-\frac{1}{4}x^2y)^3(-2xy^2)^2$。
(1) $4m^3n · 5n^2$；
(2) $(-2a^2b^2)(-3a^2bc)$；
(3) $(-\frac{1}{7}xy^2) · 14(xy)^2$；
(4) $(-\frac{1}{4}x^2y)^3(-2xy^2)^2$。
答案
(1) $20m^3n^3$ (2) $6a^4b^3c$ (3) $-2x^3y^4$ (4) $-\frac{1}{16}x^8y^7$
解析
【分析】
这组题目均为单项式乘法相关运算，解题思路遵循整式乘法的运算规则：①若式子中含有乘方运算，先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方；②再按照单项式乘单项式的法则计算：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；③计算过程中注意正负符号的判断。
【解析】
(1) 计算$4m^3n · 5n^2$：
系数相乘：$4×5=20$，
同底数幂相乘：$n·n^2=n^{1+2}=n^3$，
保留仅在一个单项式中出现的$m^3$，
因此原式$=20m^3n^3$。
(2) 计算$(-2a^2b^2)(-3a^2bc)$：
系数相乘：$(-2)×(-3)=6$，
同底数幂相乘：$a^2·a^2=a^{2+2}=a^4$，$b^2·b=b^{2+1}=b^3$，
保留仅在一个单项式中出现的$c$，
因此原式$=6a^4b^3c$。
(3) 计算$(-\frac{1}{7}xy^2) · 14(xy)^2$：
先算乘方：$(xy)^2=x^2y^2$，
原式变形为$(-\frac{1}{7}xy^2)·14x^2y^2$，
系数相乘：$(-\frac{1}{7})×14=-2$，
同底数幂相乘：$x·x^2=x^{1+2}=x^3$，$y^2·y^2=y^{2+2}=y^4$，
因此原式$=-2x^3y^4$。
(4) 计算$(-\frac{1}{4}x^2y)^3(-2xy^2)^2$：
先分别计算乘方：
$(-\frac{1}{4}x^2y)^3=(-\frac{1}{4})^3·(x^2)^3·y^3=-\frac{1}{64}x^6y^3$，
$(-2xy^2)^2=(-2)^2·x^2·(y^2)^2=4x^2y^4$，
再计算单项式乘法：
系数相乘：$(-\frac{1}{64})×4=-\frac{1}{16}$，
同底数幂相乘：$x^6·x^2=x^{6+2}=x^8$，$y^3·y^4=y^{3+4}=y^7$，
因此原式$=-\frac{1}{16}x^8y^7$。
【答案】
(1) $20m^3n^3$；(2) $6a^4b^3c$；(3) $-2x^3y^4$；(4) $-\frac{1}{16}x^8y^7$
【知识点】
单项式乘单项式；幂的运算性质；整式运算顺序
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心考查单项式乘法法则以及幂的相关运算性质，解题时需注意遵循先乘方再乘法的运算顺序，同时要注意符号判断、指数运算规则的区分，避免因粗心混淆运算法则出错。
【难度系数】
0.8
这组题目均为单项式乘法相关运算，解题思路遵循整式乘法的运算规则：①若式子中含有乘方运算，先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方；②再按照单项式乘单项式的法则计算：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；③计算过程中注意正负符号的判断。
【解析】
(1) 计算$4m^3n · 5n^2$：
系数相乘：$4×5=20$，
同底数幂相乘：$n·n^2=n^{1+2}=n^3$，
保留仅在一个单项式中出现的$m^3$，
因此原式$=20m^3n^3$。
(2) 计算$(-2a^2b^2)(-3a^2bc)$：
系数相乘：$(-2)×(-3)=6$，
同底数幂相乘：$a^2·a^2=a^{2+2}=a^4$，$b^2·b=b^{2+1}=b^3$，
保留仅在一个单项式中出现的$c$，
因此原式$=6a^4b^3c$。
(3) 计算$(-\frac{1}{7}xy^2) · 14(xy)^2$：
先算乘方：$(xy)^2=x^2y^2$，
原式变形为$(-\frac{1}{7}xy^2)·14x^2y^2$，
系数相乘：$(-\frac{1}{7})×14=-2$，
同底数幂相乘：$x·x^2=x^{1+2}=x^3$，$y^2·y^2=y^{2+2}=y^4$，
因此原式$=-2x^3y^4$。
(4) 计算$(-\frac{1}{4}x^2y)^3(-2xy^2)^2$：
先分别计算乘方：
$(-\frac{1}{4}x^2y)^3=(-\frac{1}{4})^3·(x^2)^3·y^3=-\frac{1}{64}x^6y^3$，
$(-2xy^2)^2=(-2)^2·x^2·(y^2)^2=4x^2y^4$，
再计算单项式乘法：
系数相乘：$(-\frac{1}{64})×4=-\frac{1}{16}$，
同底数幂相乘：$x^6·x^2=x^{6+2}=x^8$，$y^3·y^4=y^{3+4}=y^7$，
因此原式$=-\frac{1}{16}x^8y^7$。
【答案】
(1) $20m^3n^3$；(2) $6a^4b^3c$；(3) $-2x^3y^4$；(4) $-\frac{1}{16}x^8y^7$
【知识点】
单项式乘单项式；幂的运算性质；整式运算顺序
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心考查单项式乘法法则以及幂的相关运算性质，解题时需注意遵循先乘方再乘法的运算顺序，同时要注意符号判断、指数运算规则的区分，避免因粗心混淆运算法则出错。
【难度系数】
0.8
9. 计算$3x^3y^3 · (-\dfrac{2}{3}x^2y^2) + (-\dfrac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2$
答案
$-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
解析
【分析】
这是一道整式乘法的混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的运算顺序：第一步先分别计算两个乘法项，其中第二个项要先利用积的乘方法则计算乘方部分，再计算单项式乘单项式；最后将两个运算结果相加，判断两项是否为同类项，非同类项直接保留即可。计算时要注意系数的符号以及同底数幂的指数运算规则。
【解析】
解：原式分两部分逐步计算：
1. 计算第一项$3x^3y^3 · (-\dfrac{2}{3}x^2y^2)$：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相加：
系数：$3×(-\dfrac{2}{3})=-2$
$x$的指数：$3+2=5$，$y$的指数：$3+2=5$
因此第一项结果为：$-2x^5y^5$
2. 计算第二项$(-\dfrac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2$：
先算乘方，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$：
$(-\dfrac{1}{3}x^2y)^3=(-\dfrac{1}{3})^3×(x^2)^3× y^3=-\dfrac{1}{27}x^6y^3$
再计算单项式乘单项式：
系数：$-\dfrac{1}{27}×9=-\dfrac{1}{3}$
$x$的指数：$6+1=7$，$y$的指数：$3+2=5$
因此第二项结果为：$-\dfrac{1}{3}x^7y^5$
3. 合并两项结果：
两项所含字母的指数不完全相同，不是同类项，无需合并，直接相加得最终结果。
【答案】
$-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题侧重考查整式乘法运算的基础掌握情况，解题核心是严格遵循运算顺序，准确应用幂的运算规则，计算时要特别注意负号的运算，避免出现系数或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道整式乘法的混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的运算顺序：第一步先分别计算两个乘法项，其中第二个项要先利用积的乘方法则计算乘方部分，再计算单项式乘单项式；最后将两个运算结果相加，判断两项是否为同类项，非同类项直接保留即可。计算时要注意系数的符号以及同底数幂的指数运算规则。
【解析】
解：原式分两部分逐步计算：
1. 计算第一项$3x^3y^3 · (-\dfrac{2}{3}x^2y^2)$：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相加：
系数：$3×(-\dfrac{2}{3})=-2$
$x$的指数：$3+2=5$，$y$的指数：$3+2=5$
因此第一项结果为：$-2x^5y^5$
2. 计算第二项$(-\dfrac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2$：
先算乘方，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$：
$(-\dfrac{1}{3}x^2y)^3=(-\dfrac{1}{3})^3×(x^2)^3× y^3=-\dfrac{1}{27}x^6y^3$
再计算单项式乘单项式：
系数：$-\dfrac{1}{27}×9=-\dfrac{1}{3}$
$x$的指数：$6+1=7$，$y$的指数：$3+2=5$
因此第二项结果为：$-\dfrac{1}{3}x^7y^5$
3. 合并两项结果：
两项所含字母的指数不完全相同，不是同类项，无需合并，直接相加得最终结果。
【答案】
$-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题侧重考查整式乘法运算的基础掌握情况，解题核心是严格遵循运算顺序，准确应用幂的运算规则，计算时要特别注意负号的运算，避免出现系数或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
10. 已知$-2x^{3m+1}y^{2n}$与$7x^{n-6}y^{-3-m}$的积和$x^4y$是同类项，求$m$，$n$的值.
答案
$\because -2x^{3m+1}y^{2n}$与$7x^{n-6}y^{-3-m}$的积和$x^4y$是同类项，$\therefore \begin{cases}3m+1+n-6=4,\\2n-3-m=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=2,\\n=3\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是单项式乘单项式时，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；二是同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。首先计算两个单项式乘积中x、y的指数，再根据乘积与$x^4y$是同类项的条件，列出关于m、n的二元一次方程组，最后解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
先计算两个单项式的乘积：
$-2x^{3m+1}y^{2n} · 7x^{n-6}y^{-3-m} = -14x^{(3m+1)+(n-6)}y^{2n+(-3-m)} = -14x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}$
因为该乘积与$x^4y$是同类项，所以相同字母的指数分别相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m+n-5=4 \\ 2n-m-3=1 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3m+n=9 ① \\ -m+2n=4 ② \end{cases}$
由②得$m=2n-4$，代入①得：
$3(2n-4)+n=9$
$6n-12+n=9$
$7n=21$，解得$n=3$
将$n=3$代入$m=2n-4$，得$m=2×3 -4=2$
【答案】
$\begin{cases}m=2 \\ n=3 \end{cases}$
【知识点】
单项式乘法法则，同类项定义，二元一次方程组解法
【点评】
本题是整式乘法章节的典型习题，综合考查了整式运算和同类项的相关性质，解题的核心是准确利用同类项的指数关系建立方程，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心知识点：一是单项式乘单项式时，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；二是同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。首先计算两个单项式乘积中x、y的指数，再根据乘积与$x^4y$是同类项的条件，列出关于m、n的二元一次方程组，最后解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
先计算两个单项式的乘积：
$-2x^{3m+1}y^{2n} · 7x^{n-6}y^{-3-m} = -14x^{(3m+1)+(n-6)}y^{2n+(-3-m)} = -14x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}$
因为该乘积与$x^4y$是同类项，所以相同字母的指数分别相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m+n-5=4 \\ 2n-m-3=1 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3m+n=9 ① \\ -m+2n=4 ② \end{cases}$
由②得$m=2n-4$，代入①得：
$3(2n-4)+n=9$
$6n-12+n=9$
$7n=21$，解得$n=3$
将$n=3$代入$m=2n-4$，得$m=2×3 -4=2$
【答案】
$\begin{cases}m=2 \\ n=3 \end{cases}$
【知识点】
单项式乘法法则，同类项定义，二元一次方程组解法
【点评】
本题是整式乘法章节的典型习题，综合考查了整式运算和同类项的相关性质，解题的核心是准确利用同类项的指数关系建立方程，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 计算$2a^2 · ab$的结果为（
A.$4a^2b$
B.$4a^3b$
C.$2a^2b$
D.$2a^3b$
D
）.A.$4a^2b$
B.$4a^3b$
C.$2a^2b$
D.$2a^3b$
答案
11. D
解析
【分析】
这道题考查单项式与单项式的乘法运算，解题时按照单项式乘法法则分三步思考即可：第一步先计算两个单项式系数的乘积，第二步计算同底数幂的乘积，遵循同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则，第三步把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式，最后把三部分的结果组合得到最终答案，对应选项选择即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的乘积：$2 × 1 = 2$；
2. 计算同底数幂$a$的乘积：$a^2 · a = a^{2+1} = a^3$；
3. 将只在第二个单项式中出现的字母$b$直接作为积的因式；
将以上三部分结果相乘，可得$2a^2 · ab = 2a^3b$。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘法运算法则的掌握，运算时注意不要遗漏单独出现的字母、同底数幂的指数运算不要出错即可。
【难度系数】
0.9
这道题考查单项式与单项式的乘法运算，解题时按照单项式乘法法则分三步思考即可：第一步先计算两个单项式系数的乘积，第二步计算同底数幂的乘积，遵循同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则，第三步把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式，最后把三部分的结果组合得到最终答案，对应选项选择即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的乘积：$2 × 1 = 2$；
2. 计算同底数幂$a$的乘积：$a^2 · a = a^{2+1} = a^3$；
3. 将只在第二个单项式中出现的字母$b$直接作为积的因式；
将以上三部分结果相乘，可得$2a^2 · ab = 2a^3b$。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘法运算法则的掌握，运算时注意不要遗漏单独出现的字母、同底数幂的指数运算不要出错即可。
【难度系数】
0.9
12. 下列计算正确的是（
A.$m + 3m = 4m^2$
B.$2m · 3m = 5m^2$
C.$(mn)^2 = mn^2$
D.$(m^2)^3 = m^6$
D
）.A.$m + 3m = 4m^2$
B.$2m · 3m = 5m^2$
C.$(mn)^2 = mn^2$
D.$(m^2)^3 = m^6$
答案
12. D
解析
【分析】
本题考查整式相关运算的判断，解题思路是依次对每个选项运用对应的整式运算法则计算，将计算结果和选项给出的结果作对比，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：属于合并同类项，合并同类项时仅系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$m+3m=(1+3)m=4m$，选项给出结果为$4m^2$，计算错误。
选项B：属于单项式乘单项式，运算时系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此$2m·3m=(2×3)·(m·m)=6m^2$，选项给出结果为$5m^2$，计算错误。
选项C：属于积的乘方，运算时需要把积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，因此$(mn)^2=m^2n^2$，选项给出结果为$mn^2$，计算错误。
选项D：属于幂的乘方，运算时底数不变、指数相乘，因此$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的运算、单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考察题，核心要求是区分不同整式运算的规则，避免混淆系数、指数的运算要求，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查整式相关运算的判断，解题思路是依次对每个选项运用对应的整式运算法则计算，将计算结果和选项给出的结果作对比，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：属于合并同类项，合并同类项时仅系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$m+3m=(1+3)m=4m$，选项给出结果为$4m^2$，计算错误。
选项B：属于单项式乘单项式，运算时系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此$2m·3m=(2×3)·(m·m)=6m^2$，选项给出结果为$5m^2$，计算错误。
选项C：属于积的乘方，运算时需要把积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，因此$(mn)^2=m^2n^2$，选项给出结果为$mn^2$，计算错误。
选项D：属于幂的乘方，运算时底数不变、指数相乘，因此$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的运算、单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考察题，核心要求是区分不同整式运算的规则，避免混淆系数、指数的运算要求，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
13. 下列运算正确的是（
A.$x + x = x^2$
B.$(x^3)^2 = x^5$
C.$2x^2 · 5x^2 = 10x^2$
D.$(xy)^2 = x^2y^2$
D
）.A.$x + x = x^2$
B.$(x^3)^2 = x^5$
C.$2x^2 · 5x^2 = 10x^2$
D.$(xy)^2 = x^2y^2$
答案
13. D
解析
【分析】
本题考查整式的相关基础运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应的运算法则，通过排除错误选项即可得到正确答案。需要分别回忆合并同类项、幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方的运算规则，逐项判断。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：x+x属于合并同类项，合并同类项时只需将系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x+x=2x≠x^2$，A选项错误；
B选项：$(x^3)^2$属于幂的乘方运算，幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘，因此$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6≠x^5$，B选项错误；
C选项：$2x^2 · 5x^2$属于单项式乘单项式运算，运算时系数相乘作为结果的系数，同底数幂相乘底数不变指数相加，因此$2x^2 · 5x^2=(2×5)x^{2+2}=10x^4≠10x^2$，C选项错误；
D选项：$(xy)^2$属于积的乘方运算，积的乘方法则为：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(xy)^2=x^2y^2$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算中指数的变化规律，避免混淆不同法则出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关基础运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应的运算法则，通过排除错误选项即可得到正确答案。需要分别回忆合并同类项、幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方的运算规则，逐项判断。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：x+x属于合并同类项，合并同类项时只需将系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x+x=2x≠x^2$，A选项错误；
B选项：$(x^3)^2$属于幂的乘方运算，幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘，因此$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6≠x^5$，B选项错误；
C选项：$2x^2 · 5x^2$属于单项式乘单项式运算，运算时系数相乘作为结果的系数，同底数幂相乘底数不变指数相加，因此$2x^2 · 5x^2=(2×5)x^{2+2}=10x^4≠10x^2$，C选项错误；
D选项：$(xy)^2$属于积的乘方运算，积的乘方法则为：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(xy)^2=x^2y^2$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算中指数的变化规律，避免混淆不同法则出现计算错误。
【难度系数】
0.8
