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8.某中学举办“交通及防溺水安全知识竞赛”，八年级甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加学校决赛，根据两个代表队的5名选手的决赛成绩绘制了如图所示的图表。
(1)根据统计图直接写出$a,b$的值。
(2)计算甲班决赛成绩的方差$s^2$，并判断哪一个代表队的选手成绩较为稳定。
(3)结合两班成绩的统计数据分析，哪个班的决赛成绩较好？请说明理由。
(1)根据统计图直接写出$a,b$的值。
(2)计算甲班决赛成绩的方差$s^2$，并判断哪一个代表队的选手成绩较为稳定。
(3)结合两班成绩的统计数据分析，哪个班的决赛成绩较好？请说明理由。
答案
(1)$a=85$，$b=85$。
(2)$s^2=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+2×(85-85)^2+(100-85)^2]=70$。
因为$70＜160$，
所以甲班的成绩较为稳定。
(3)甲班成绩较好。理由如下：
甲班的平均数与乙班的平均数相等，但甲班的方差小于乙班的方差，即甲班的成绩较为稳定，故甲班的成绩较好。(合理即可，答案不唯一)
(2)$s^2=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+2×(85-85)^2+(100-85)^2]=70$。
因为$70＜160$，
所以甲班的成绩较为稳定。
(3)甲班成绩较好。理由如下：
甲班的平均数与乙班的平均数相等，但甲班的方差小于乙班的方差，即甲班的成绩较为稳定，故甲班的成绩较好。(合理即可，答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 求解a、b的值时，首先从统计图中提取甲、乙两班5名选手的所有决赛成绩，再根据a、b对应的统计量（中位数、众数或平均数）的定义直接计算即可。
(2) 计算甲班方差需先回忆方差的计算公式：先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均数。判断成绩稳定性依据“方差越小，数据波动越小，成绩越稳定”的性质，比较两班方差大小即可。
(3) 分析哪个班成绩更好，可结合平均数、方差、中位数等统计量的意义综合判断，通常平均数相同的情况下，方差更小的班级成绩更稳定，整体表现更优。
【解析】
(1) 从统计图中提取两班决赛成绩：甲班5名选手成绩为75、80、85、85、100，乙班5名选手成绩为70、75、85、100、100，结合统计量定义可得$a=85$，$b=85$。
(2) 先计算甲班决赛成绩的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$，
根据方差公式计算甲班方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+2×(85-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+25+0+225)$
$=70$
已知乙班决赛成绩的方差为160，因为$70＜160$，方差越小成绩越稳定，所以甲班代表队的选手成绩较为稳定。
(3) 计算乙班决赛成绩的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{70+75+85+100+100}{5}=85$，两班平均数相等，但甲班的方差小于乙班的方差，说明甲班成绩波动更小，更稳定，因此甲班的决赛成绩较好。（理由合理即可）
【答案】
(1)$a=85$，$b=85$
(2)甲班决赛成绩的方差为70，甲班代表队的选手成绩较为稳定
(3)甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班的平均数相等，但甲班的方差小于乙班的方差，即甲班的成绩较为稳定，故甲班的成绩较好（合理即可）
【知识点】
方差的计算，方差的意义，统计量分析
【点评】
本题是统计模块的典型题型，考查了常见统计量的计算及实际应用，需要熟练掌握平均数、方差等统计量的定义和性质，能结合数据特征选择合适的统计量进行分析判断。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a、b的值时，首先从统计图中提取甲、乙两班5名选手的所有决赛成绩，再根据a、b对应的统计量（中位数、众数或平均数）的定义直接计算即可。
(2) 计算甲班方差需先回忆方差的计算公式：先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均数。判断成绩稳定性依据“方差越小，数据波动越小，成绩越稳定”的性质，比较两班方差大小即可。
(3) 分析哪个班成绩更好，可结合平均数、方差、中位数等统计量的意义综合判断，通常平均数相同的情况下，方差更小的班级成绩更稳定，整体表现更优。
【解析】
(1) 从统计图中提取两班决赛成绩：甲班5名选手成绩为75、80、85、85、100，乙班5名选手成绩为70、75、85、100、100，结合统计量定义可得$a=85$，$b=85$。
(2) 先计算甲班决赛成绩的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$，
根据方差公式计算甲班方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+2×(85-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+25+0+225)$
$=70$
已知乙班决赛成绩的方差为160，因为$70＜160$，方差越小成绩越稳定，所以甲班代表队的选手成绩较为稳定。
(3) 计算乙班决赛成绩的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{70+75+85+100+100}{5}=85$，两班平均数相等，但甲班的方差小于乙班的方差，说明甲班成绩波动更小，更稳定，因此甲班的决赛成绩较好。（理由合理即可）
【答案】
(1)$a=85$，$b=85$
(2)甲班决赛成绩的方差为70，甲班代表队的选手成绩较为稳定
(3)甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班的平均数相等，但甲班的方差小于乙班的方差，即甲班的成绩较为稳定，故甲班的成绩较好（合理即可）
【知识点】
方差的计算，方差的意义，统计量分析
【点评】
本题是统计模块的典型题型，考查了常见统计量的计算及实际应用，需要熟练掌握平均数、方差等统计量的定义和性质，能结合数据特征选择合适的统计量进行分析判断。
【难度系数】
0.7
9. 提升题 王老师统计了6名同学的数学成绩(单位:分):55,57,64,65,67,69。他决定按照“组内离差平方和达到最小”的方法,将以上6名同学分成两个学习互助小组。请你帮助王老师完成分组,并说明理由。(平均数保留小数点后两位)
答案
解:将6个数据按从小到大的顺序排序并分组，共有5种情况:①$\{55\},\{57,64,65,67,69\}$;②$\{55,57\},\{64,65,67,69\}$;③$\{55,57,64\},\{65,67,69\}$;④$\{55,57,64,65\},\{67,69\}$;⑤$\{55,57,64,65,67\},\{69\}$。
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据$\{55,57\}$，这2个数据的平均数是56，故第一组数据的组内离差平方和$S^2_1=(55-56)^2+(57-56)^2=2$；第二组有4个数据$\{64,65,67,69\}$，这4个数据的平均数是66.25，故第二组数据的组内离差平方和$S^2_2=(64-66.25)^2+(65-66.25)^2+(67-66.25)^2+(69-66.25)^2=14.75$。
因此，第2种分组情况的组内离差平方和$S^2=S^2_1+S^2_2=2+14.75=16.75$。
同理计算其他4种分组情况的组内离差平方和，结果如下:
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组5个|83.2|
|第一组2个，第二组4个|16.75|
|第一组3个，第二组3个|52.666 7|
|第一组4个，第二组2个|76.75|
|第一组5个，第二组1个|111.2|
计算结果表明，第2种情况的组内离差平方和最小。因此把6名同学按成绩分成的两组是$\{55,57\},\{64,65,67,69\}$。
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据$\{55,57\}$，这2个数据的平均数是56，故第一组数据的组内离差平方和$S^2_1=(55-56)^2+(57-56)^2=2$；第二组有4个数据$\{64,65,67,69\}$，这4个数据的平均数是66.25，故第二组数据的组内离差平方和$S^2_2=(64-66.25)^2+(65-66.25)^2+(67-66.25)^2+(69-66.25)^2=14.75$。
因此，第2种分组情况的组内离差平方和$S^2=S^2_1+S^2_2=2+14.75=16.75$。
同理计算其他4种分组情况的组内离差平方和，结果如下:
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组5个|83.2|
|第一组2个，第二组4个|16.75|
|第一组3个，第二组3个|52.666 7|
|第一组4个，第二组2个|76.75|
|第一组5个，第二组1个|111.2|
计算结果表明，第2种情况的组内离差平方和最小。因此把6名同学按成绩分成的两组是$\{55,57\},\{64,65,67,69\}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确组内离差平方和越小，说明组内数据的离散程度越小、数据越接近。首先将6个成绩从小到大排序，由于非连续分组会导致组内数据差异更大，离差平方和更高，因此只需考虑相邻划分的5种分组情况。接下来对每种分组，分别计算两组的平均数，再求出每组的离差平方和，求和得到该分组的总离差平方和，最后比较5种分组的总离差平方和，最小的对应的分组就是符合要求的最优分组。
【解析】
第一步：将6名同学的成绩从小到大排序：55,57,64,65,67,69，分成两组（每组至少1人），共有5种连续分组情况：
①$\{55\},\{57,64,65,67,69\}$；②$\{55,57\},\{64,65,67,69\}$；③$\{55,57,64\},\{65,67,69\}$；④$\{55,57,64,65\},\{67,69\}$；⑤$\{55,57,64,65,67\},\{69\}$。
第二步：计算每种分组的总组内离差平方和：
以第②种分组为例：第一组$\{55,57\}$的平均数为$\frac{55+57}{2}=56$，组内离差平方和$S_1^2=(55-56)^2+(57-56)^2=2$；第二组$\{64,65,67,69\}$的平均数为$\frac{64+65+67+69}{4}=66.25$，组内离差平方和$S_2^2=(64-66.25)^2+(65-66.25)^2+(67-66.25)^2+(69-66.25)^2=14.75$，总离差平方和$S^2=S_1^2+S_2^2=2+14.75=16.75$。
同理计算其余4种分组的总离差平方和，结果如下：
|分组情况|总组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1人，第二组5人|83.2|
|第一组2人，第二组4人|16.75|
|第一组3人，第二组3人|≈52.67|
|第一组4人，第二组2人|76.75|
|第一组5人，第二组1人|111.2|
第三步：对比所有分组的总离差平方和，第②种分组的总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{55,57\}$和$\{64,65,67,69\}$
【知识点】
平均数计算、离差平方和、统计分组
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，核心是理解离差平方和越小、组内数据相似度越高的特点，通过枚举所有合理分组并计算对应离差平方和即可得到最优解，解题时需注意平均数计算和平方运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.55
要解决本题，首先明确组内离差平方和越小，说明组内数据的离散程度越小、数据越接近。首先将6个成绩从小到大排序，由于非连续分组会导致组内数据差异更大，离差平方和更高，因此只需考虑相邻划分的5种分组情况。接下来对每种分组，分别计算两组的平均数，再求出每组的离差平方和，求和得到该分组的总离差平方和，最后比较5种分组的总离差平方和，最小的对应的分组就是符合要求的最优分组。
【解析】
第一步：将6名同学的成绩从小到大排序：55,57,64,65,67,69，分成两组（每组至少1人），共有5种连续分组情况：
①$\{55\},\{57,64,65,67,69\}$；②$\{55,57\},\{64,65,67,69\}$；③$\{55,57,64\},\{65,67,69\}$；④$\{55,57,64,65\},\{67,69\}$；⑤$\{55,57,64,65,67\},\{69\}$。
第二步：计算每种分组的总组内离差平方和：
以第②种分组为例：第一组$\{55,57\}$的平均数为$\frac{55+57}{2}=56$，组内离差平方和$S_1^2=(55-56)^2+(57-56)^2=2$；第二组$\{64,65,67,69\}$的平均数为$\frac{64+65+67+69}{4}=66.25$，组内离差平方和$S_2^2=(64-66.25)^2+(65-66.25)^2+(67-66.25)^2+(69-66.25)^2=14.75$，总离差平方和$S^2=S_1^2+S_2^2=2+14.75=16.75$。
同理计算其余4种分组的总离差平方和，结果如下：
|分组情况|总组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1人，第二组5人|83.2|
|第一组2人，第二组4人|16.75|
|第一组3人，第二组3人|≈52.67|
|第一组4人，第二组2人|76.75|
|第一组5人，第二组1人|111.2|
第三步：对比所有分组的总离差平方和，第②种分组的总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{55,57\}$和$\{64,65,67,69\}$
【知识点】
平均数计算、离差平方和、统计分组
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，核心是理解离差平方和越小、组内数据相似度越高的特点，通过枚举所有合理分组并计算对应离差平方和即可得到最优解，解题时需注意平均数计算和平方运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.55
