登录
1. A,B两名同学9次1 min跳绳成绩的折线统计图如图所示，则$s_A^2,s_B^2$的大小关系是(
A.$s_A^2 ＜ s_B^2$
B.$s_A^2 = s_B^2$
C.$s_A^2 ＞ s_B^2$
D.无法确定
A
)A.$s_A^2 ＜ s_B^2$
B.$s_A^2 = s_B^2$
C.$s_A^2 ＞ s_B^2$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据波动越小，方差越小。接下来观察折线统计图中A、B两名同学成绩的起伏情况：折线起伏越平缓，说明数据波动越小；折线起伏越大，说明数据波动越大，由此即可比较两方差的大小。
【解析】
方差反映的是一组数据的波动程度：数据波动越大，方差越大；数据波动越小，方差越小。
观察折线统计图可知：A同学的1min跳绳成绩折线更平缓，成绩波动更小；B同学的成绩折线起伏更大，成绩波动更大。
因此A同学成绩的方差小于B同学成绩的方差，即$s_A^2 ＜ s_B^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图；方差的意义
【点评】
本题考查方差与数据波动的对应关系，无需计算方差具体数值，通过观察折线的起伏程度即可快速判断，解题关键是明确方差和数据波动大小的正相关关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据波动越小，方差越小。接下来观察折线统计图中A、B两名同学成绩的起伏情况：折线起伏越平缓，说明数据波动越小；折线起伏越大，说明数据波动越大，由此即可比较两方差的大小。
【解析】
方差反映的是一组数据的波动程度：数据波动越大，方差越大；数据波动越小，方差越小。
观察折线统计图可知：A同学的1min跳绳成绩折线更平缓，成绩波动更小；B同学的成绩折线起伏更大，成绩波动更大。
因此A同学成绩的方差小于B同学成绩的方差，即$s_A^2 ＜ s_B^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图；方差的意义
【点评】
本题考查方差与数据波动的对应关系，无需计算方差具体数值，通过观察折线的起伏程度即可快速判断，解题关键是明确方差和数据波动大小的正相关关系。
【难度系数】
0.8
2. 运动会200 m赛跑中，5名运动员的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨迹污染了，这两个数据依次是(
运动员 A B C D E 平均成绩 标准差
时间/s 32 34
36 33 33
A.30,4
B.30,2
C.32,4
D.32,2
B
)运动员 A B C D E 平均成绩 标准差
时间/s 32 34
36 33 33A.30,4
B.30,2
C.32,4
D.32,2
答案
B
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先根据平均数的定义求解被污染的运动员C的成绩：已知5名运动员的平均成绩，可先求出5人的总成绩，用总成绩减去其余4名已知的成绩，即可得到C的成绩；第二步根据标准差的计算方法，先计算方差（每个数据与平均数差的平方的平均数），再求方差的算术平方根得到标准差，最终确定两个被污染的数据。
【解析】
设运动员C的成绩为$ x $ s。
① 计算C的成绩：
根据平均数公式，5人的总成绩=平均成绩×人数$ =33×5=165 $ s
已知4人的成绩和为：$ 32+34+36+33=135 $ s
因此$ x=165-135=30 $ s
② 计算标准差：
先计算方差$ s^2 $：
$ s^2=\frac{1}{5}×[(32-33)^2+(34-33)^2+(30-33)^2+(36-33)^2+(33-33)^2] $
$ =\frac{1}{5}×(1+1+9+9+0)=\frac{20}{5}=4 $
标准差是方差的算术平方根，因此标准差$ s=\sqrt{4}=2 $
因此两个被污染的数据依次是30、2。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差与标准差
【点评】
本题考查平均数和标准差的基础计算，核心是牢记两个统计量的计算公式，先利用平均数求出未知数据，再代入方差、标准差公式计算即可，属于对基础公式应用的考查。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步先根据平均数的定义求解被污染的运动员C的成绩：已知5名运动员的平均成绩，可先求出5人的总成绩，用总成绩减去其余4名已知的成绩，即可得到C的成绩；第二步根据标准差的计算方法，先计算方差（每个数据与平均数差的平方的平均数），再求方差的算术平方根得到标准差，最终确定两个被污染的数据。
【解析】
设运动员C的成绩为$ x $ s。
① 计算C的成绩：
根据平均数公式，5人的总成绩=平均成绩×人数$ =33×5=165 $ s
已知4人的成绩和为：$ 32+34+36+33=135 $ s
因此$ x=165-135=30 $ s
② 计算标准差：
先计算方差$ s^2 $：
$ s^2=\frac{1}{5}×[(32-33)^2+(34-33)^2+(30-33)^2+(36-33)^2+(33-33)^2] $
$ =\frac{1}{5}×(1+1+9+9+0)=\frac{20}{5}=4 $
标准差是方差的算术平方根，因此标准差$ s=\sqrt{4}=2 $
因此两个被污染的数据依次是30、2。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差与标准差
【点评】
本题考查平均数和标准差的基础计算，核心是牢记两个统计量的计算公式，先利用平均数求出未知数据，再代入方差、标准差公式计算即可，属于对基础公式应用的考查。
【难度系数】
0.7
3.在一次射击比赛中，甲、乙两名同学各射击10次。若两人成绩的平均水平相近，且甲同学的成绩比乙同学的成绩更稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和方差可能是(
A.$\overline{x}_甲=8.5, s^2_甲=12; \overline{x}_乙=8.6, s^2_乙=7$
B.$\overline{x}_甲=5.5, s^2_甲=7; \overline{x}_乙=8.6, s^2_乙=12$
C.$\overline{x}_甲=8.6, s^2_甲=12; \overline{x}_乙=5.5, s^2_乙=7$
D.$\overline{x}_甲=8.5, s^2_甲=7; \overline{x}_乙=8.6, s^2_乙=12$
D
)A.$\overline{x}_甲=8.5, s^2_甲=12; \overline{x}_乙=8.6, s^2_乙=7$
B.$\overline{x}_甲=5.5, s^2_甲=7; \overline{x}_乙=8.6, s^2_乙=12$
C.$\overline{x}_甲=8.6, s^2_甲=12; \overline{x}_乙=5.5, s^2_乙=7$
D.$\overline{x}_甲=8.5, s^2_甲=7; \overline{x}_乙=8.6, s^2_乙=12$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先提取题干的两个核心条件：①甲、乙平均水平相近，即两人的平均成绩数值相差很小；②甲的成绩比乙更稳定，根据方差的意义，方差越小数据波动越小、成绩越稳定，因此甲的方差要小于乙的方差。接下来用这两个条件逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
第一步：根据“平均水平相近”筛选选项
平均水平相近意味着两人的平均成绩数值接近：
选项B中$\overline{x}_甲=5.5$，$\overline{x}_乙=8.6$，二者相差3.1，差距过大，排除；
选项C中$\overline{x}_甲=8.6$，$\overline{x}_乙=5.5$，二者相差3.1，差距过大，排除。
第二步：根据“甲的成绩更稳定”筛选剩余选项
成绩越稳定对应方差越小，即要求$s^2_甲＜s^2_乙$：
选项A中$s^2_甲=12$，$s^2_乙=7$，$s^2_甲＞s^2_乙$，说明甲成绩更不稳定，排除；
选项D中$\overline{x}_甲=8.5$与$\overline{x}_乙=8.6$非常接近，满足平均水平相近，且$s^2_甲=7＜s^2_乙=12$，满足甲成绩更稳定，符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；用方差判断稳定性
【点评】
本题是统计量应用的基础题，解题的关键是理解平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的波动程度，结合题干给出的两个限制条件筛选选项即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干的两个核心条件：①甲、乙平均水平相近，即两人的平均成绩数值相差很小；②甲的成绩比乙更稳定，根据方差的意义，方差越小数据波动越小、成绩越稳定，因此甲的方差要小于乙的方差。接下来用这两个条件逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
第一步：根据“平均水平相近”筛选选项
平均水平相近意味着两人的平均成绩数值接近：
选项B中$\overline{x}_甲=5.5$，$\overline{x}_乙=8.6$，二者相差3.1，差距过大，排除；
选项C中$\overline{x}_甲=8.6$，$\overline{x}_乙=5.5$，二者相差3.1，差距过大，排除。
第二步：根据“甲的成绩更稳定”筛选剩余选项
成绩越稳定对应方差越小，即要求$s^2_甲＜s^2_乙$：
选项A中$s^2_甲=12$，$s^2_乙=7$，$s^2_甲＞s^2_乙$，说明甲成绩更不稳定，排除；
选项D中$\overline{x}_甲=8.5$与$\overline{x}_乙=8.6$非常接近，满足平均水平相近，且$s^2_甲=7＜s^2_乙=12$，满足甲成绩更稳定，符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
平均数的意义；方差的意义；用方差判断稳定性
【点评】
本题是统计量应用的基础题，解题的关键是理解平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的波动程度，结合题干给出的两个限制条件筛选选项即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.某校国旗护卫队原来有5名学生，身高(单位:cm)分别为173，174，174，174，175。若增加一名身高为174 cm的学生，则国旗护卫队学生身高的方差会
变小
(填“变大”“变小”或“不变”)。答案
变小
解析
【分析】
要判断方差的变化情况，需结合方差的定义和计算方法思考：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动大小。解题可按以下步骤进行：①先计算原来5名学生身高的平均数和方差；②再计算增加1名学生后6名学生身高的平均数和方差；③对比两个方差的大小即可得出结论。也可通过方差的意义快速判断：新增的身高等于原数据的平均数，不会增加偏差的平方和，但数据总个数变大，因此方差会变小。
【解析】
第一步：计算原来5名学生身高的平均数和方差
原平均身高$\overline{x}_1=\frac{173+174+174+174+175}{5}=174\ \mathrm{cm}$
原方差$s_1^2=\frac{(173-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(175-174)^2}{5}=\frac{1+0+0+0+1}{5}=0.4$
第二步：计算增加1名学生后的平均数和方差
新的平均身高$\overline{x}_2=\frac{173+174+174+174+175+174}{6}=174\ \mathrm{cm}$
新的方差$s_2^2=\frac{(173-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(175-174)^2+(174-174)^2}{6}=\frac{1+0+0+0+1+0}{6}\approx0.33$
第三步：对比方差大小
因为$0.33＜0.4$，所以方差变小。
【答案】
变小
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过严格计算方差对比大小求解，也可以根据方差的意义快速判断：当新增数据等于原数据的平均数时，偏差平方和不变，样本容量增大，方差会减小。解题时熟练掌握方差的计算方法和意义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断方差的变化情况，需结合方差的定义和计算方法思考：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动大小。解题可按以下步骤进行：①先计算原来5名学生身高的平均数和方差；②再计算增加1名学生后6名学生身高的平均数和方差；③对比两个方差的大小即可得出结论。也可通过方差的意义快速判断：新增的身高等于原数据的平均数，不会增加偏差的平方和，但数据总个数变大，因此方差会变小。
【解析】
第一步：计算原来5名学生身高的平均数和方差
原平均身高$\overline{x}_1=\frac{173+174+174+174+175}{5}=174\ \mathrm{cm}$
原方差$s_1^2=\frac{(173-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(175-174)^2}{5}=\frac{1+0+0+0+1}{5}=0.4$
第二步：计算增加1名学生后的平均数和方差
新的平均身高$\overline{x}_2=\frac{173+174+174+174+175+174}{6}=174\ \mathrm{cm}$
新的方差$s_2^2=\frac{(173-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(174-174)^2+(175-174)^2+(174-174)^2}{6}=\frac{1+0+0+0+1+0}{6}\approx0.33$
第三步：对比方差大小
因为$0.33＜0.4$，所以方差变小。
【答案】
变小
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过严格计算方差对比大小求解，也可以根据方差的意义快速判断：当新增数据等于原数据的平均数时，偏差平方和不变，样本容量增大，方差会减小。解题时熟练掌握方差的计算方法和意义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 若一组数据 $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 的平均数为5，方差为16，则另一组数据 $ 3x_1 + 2, 3x_2 + 2, \dots, 3x_n + 2 $ 的标准差为
12
。答案
12
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要回忆数据线性变换后方差和标准差的变化规律：首先，一组数据每个元素都加上同一个常数时，数据的离散程度不变，因此方差不变；每个元素都乘以同一个常数a时，离散程度变为原来的a倍，因此方差变为原来的a²倍。而标准差是方差的算术平方根，我们只需要先求出新数据的方差，再开平方就能得到标准差，注意常数项2不影响方差和标准差的计算。
【解析】
已知原数据的方差$s^2_原=16$，
对于新数据$3x_i + 2$（$i=1,2,\dots,n$），根据方差的性质：若一组数据变换为$ax_i + b$，则新数据的方差为$a^2 · s^2_原$，其中常数$b$不改变方差大小。
此处$a=3$，$b=2$，因此新数据的方差为：
$s^2_新 = 3^2 × s^2_原 = 9 × 16 = 144$
标准差是方差的算术平方根，因此新数据的标准差为：
$s_新 = \sqrt{144} = 12$
【答案】
12
【知识点】
方差的性质；标准差的计算
【点评】
本题考查方差和标准差的性质应用，解题的关键是明确数据加减常数不改变离散程度，只有乘除的系数会影响方差的大小，不要被题目中的常数项2干扰，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要回忆数据线性变换后方差和标准差的变化规律：首先，一组数据每个元素都加上同一个常数时，数据的离散程度不变，因此方差不变；每个元素都乘以同一个常数a时，离散程度变为原来的a倍，因此方差变为原来的a²倍。而标准差是方差的算术平方根，我们只需要先求出新数据的方差，再开平方就能得到标准差，注意常数项2不影响方差和标准差的计算。
【解析】
已知原数据的方差$s^2_原=16$，
对于新数据$3x_i + 2$（$i=1,2,\dots,n$），根据方差的性质：若一组数据变换为$ax_i + b$，则新数据的方差为$a^2 · s^2_原$，其中常数$b$不改变方差大小。
此处$a=3$，$b=2$，因此新数据的方差为：
$s^2_新 = 3^2 × s^2_原 = 9 × 16 = 144$
标准差是方差的算术平方根，因此新数据的标准差为：
$s_新 = \sqrt{144} = 12$
【答案】
12
【知识点】
方差的性质；标准差的计算
【点评】
本题考查方差和标准差的性质应用，解题的关键是明确数据加减常数不改变离散程度，只有乘除的系数会影响方差的大小，不要被题目中的常数项2干扰，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
6.小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：
$s^2=\frac{1}{10}×[3×(7-\overline{x})^2+2×(8-\overline{x})^2+2×(6-\overline{x})^2+m×(5-\overline{x})^2+(9-\overline{x})^2]$。
分析算式中的信息，$m=$
$s^2=\frac{1}{10}×[3×(7-\overline{x})^2+2×(8-\overline{x})^2+2×(6-\overline{x})^2+m×(5-\overline{x})^2+(9-\overline{x})^2]$。
分析算式中的信息，$m=$
2
，$\overline{x}=$6.8
。答案
$m=2$，$\overline{x}=6.8$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆方差的计算公式：方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据的总个数，也就是各数据出现的频数之和等于$n$。第一步先根据总频数等于分母10求出$m$的值；第二步再利用加权平均数的计算公式，求出这组数据的平均数$\overline{x}$即可。
【解析】
1. 求$m$的值：
根据方差公式的结构，分母10是这组数据的总个数，因此各数据的频数之和等于10，可得：
$3+2+2+m+1=10$
计算得：$8+m=10$，解得$m=2$。
2. 求平均数$\overline{x}$：
平均数为加权平均数，等于所有数据乘对应频数的和除以总个数，即：
$\overline{x}=\frac{7×3 + 8×2 + 6×2 + 5×2 + 9×1}{10}$
计算分子：$7×3=21$，$8×2=16$，$6×2=12$，$5×2=10$，$9×1=9$，总和为$21+16+12+10+9=68$
因此$\overline{x}=\frac{68}{10}=6.8$
【答案】
$m=2$，$\overline{x}=6.8$
【知识点】
方差的计算公式；加权平均数的计算；频数的性质
【点评】
本题重点考查对方差公式的理解和加权平均数的计算，解题的核心是明确方差公式中分母代表数据总个数，各平方项前的系数对应数据的频数，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆方差的计算公式：方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据的总个数，也就是各数据出现的频数之和等于$n$。第一步先根据总频数等于分母10求出$m$的值；第二步再利用加权平均数的计算公式，求出这组数据的平均数$\overline{x}$即可。
【解析】
1. 求$m$的值：
根据方差公式的结构，分母10是这组数据的总个数，因此各数据的频数之和等于10，可得：
$3+2+2+m+1=10$
计算得：$8+m=10$，解得$m=2$。
2. 求平均数$\overline{x}$：
平均数为加权平均数，等于所有数据乘对应频数的和除以总个数，即：
$\overline{x}=\frac{7×3 + 8×2 + 6×2 + 5×2 + 9×1}{10}$
计算分子：$7×3=21$，$8×2=16$，$6×2=12$，$5×2=10$，$9×1=9$，总和为$21+16+12+10+9=68$
因此$\overline{x}=\frac{68}{10}=6.8$
【答案】
$m=2$，$\overline{x}=6.8$
【知识点】
方差的计算公式；加权平均数的计算；频数的性质
【点评】
本题重点考查对方差公式的理解和加权平均数的计算，解题的核心是明确方差公式中分母代表数据总个数，各平方项前的系数对应数据的频数，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
7.某图书馆管理员统计了社会科学和自然科学这两类图书近5天的借阅情况，其中社会科学类图书近5天的借阅本数依次为40，46，46，40，43，自然科学类图书近5天借阅本数的方差为3.2。请计算并说明，这两类图书中，哪一类图书近5天的借阅情况较稳定。
答案
解:社会科学类图书近5天借阅本数的平均数为$\frac{1}{5}×(40+46+46+40+43)=43$，
方差为$\frac{1}{5}×[2×(40-43)^2+2×(46-43)^2+(43-43)^2]=7.2$。
因为$3.2＜7.2$，
所以自然科学类图书近5天的借阅情况较稳定。
方差为$\frac{1}{5}×[2×(40-43)^2+2×(46-43)^2+(43-43)^2]=7.2$。
因为$3.2＜7.2$，
所以自然科学类图书近5天的借阅情况较稳定。
解析
【分析】
要判断哪类图书的借阅情况更稳定，需通过比较两类图书借阅数据的方差判断，方差越小说明数据波动越小、借阅情况越稳定。已知自然科学类的方差为3.2，因此只需先计算社会科学类借阅数据的方差即可：第一步先计算社会科学类5天借阅本数的平均数，第二步将平均数代入方差公式计算出社会科学类的方差，最后将两个方差对比大小得出结论。
【解析】
首先计算社会科学类图书近5天借阅本数的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{5}×(40+46+46+40+43)=43$
再计算社会科学类图书借阅本数的方差：
$s^2=\frac{1}{5}×[2×(40-43)^2+2×(46-43)^2+(43-43)^2]=\frac{1}{5}×(2×9+2×9+0)=7.2$
已知自然科学类图书近5天借阅本数的方差为3.2，由于$3.2＜7.2$，说明自然科学类借阅数据的波动更小。
【答案】
自然科学类图书近5天的借阅情况较稳定。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合生活场景考查统计量的实际应用，核心是掌握方差的计算方法以及“方差越小，数据波动越小，稳定性越强”的性质，属于基础应用类题型，解题时注意计算平均数和方差时不要出错即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪类图书的借阅情况更稳定，需通过比较两类图书借阅数据的方差判断，方差越小说明数据波动越小、借阅情况越稳定。已知自然科学类的方差为3.2，因此只需先计算社会科学类借阅数据的方差即可：第一步先计算社会科学类5天借阅本数的平均数，第二步将平均数代入方差公式计算出社会科学类的方差，最后将两个方差对比大小得出结论。
【解析】
首先计算社会科学类图书近5天借阅本数的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{5}×(40+46+46+40+43)=43$
再计算社会科学类图书借阅本数的方差：
$s^2=\frac{1}{5}×[2×(40-43)^2+2×(46-43)^2+(43-43)^2]=\frac{1}{5}×(2×9+2×9+0)=7.2$
已知自然科学类图书近5天借阅本数的方差为3.2，由于$3.2＜7.2$，说明自然科学类借阅数据的波动更小。
【答案】
自然科学类图书近5天的借阅情况较稳定。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合生活场景考查统计量的实际应用，核心是掌握方差的计算方法以及“方差越小，数据波动越小，稳定性越强”的性质，属于基础应用类题型，解题时注意计算平均数和方差时不要出错即可。
【难度系数】
0.8
