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1.在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好使得中位数是19，插入的数是
18
。答案
1. 插入的数是18。
解析
【分析】
解题首先要回忆中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。第一步先把原有的5个数据排序，插入1个数后总共有6个数据，属于偶数个，因此中位数是排序后第3和第4个数的平均数。已知中位数是19，可先算出中间两个数的和为19×2=38，再结合原排序后的数据特征，即可推出插入的数。
【解析】
1. 先将原数据从小到大排序：5，8，20，21，30。
2. 插入一个数后，数据总个数为$5+1=6$（个），偶数个数据的中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数。
3. 由中位数为19，可得中间两个数的和为：$19×2=38$。
4. 观察原排序后的数据，要满足中间两数和为38，其中一个中间数应为原数据中的20，因此另一个中间数为$38-20=18$。
5. 验证：插入18后，数据从小到大排序为5，8，18，20，21，30，中位数为$\frac{18+20}{2}=19$，符合题意。
【答案】
18
【知识点】
中位数的计算；数据排序
【点评】
本题考查中位数的实际应用，解题核心是掌握不同个数数据的中位数计算规则，结合已知条件反向推导未知数据即可，解题时注意要先对数据排序再计算中位数。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。第一步先把原有的5个数据排序，插入1个数后总共有6个数据，属于偶数个，因此中位数是排序后第3和第4个数的平均数。已知中位数是19，可先算出中间两个数的和为19×2=38，再结合原排序后的数据特征，即可推出插入的数。
【解析】
1. 先将原数据从小到大排序：5，8，20，21，30。
2. 插入一个数后，数据总个数为$5+1=6$（个），偶数个数据的中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数。
3. 由中位数为19，可得中间两个数的和为：$19×2=38$。
4. 观察原排序后的数据，要满足中间两数和为38，其中一个中间数应为原数据中的20，因此另一个中间数为$38-20=18$。
5. 验证：插入18后，数据从小到大排序为5，8，18，20，21，30，中位数为$\frac{18+20}{2}=19$，符合题意。
【答案】
18
【知识点】
中位数的计算；数据排序
【点评】
本题考查中位数的实际应用，解题核心是掌握不同个数数据的中位数计算规则，结合已知条件反向推导未知数据即可，解题时注意要先对数据排序再计算中位数。
【难度系数】
0.7
2.为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况,随机抽取了该校部分男生引体向上项目的测试成绩,并绘制成如图所示的统计图。请根据图中信息,解答下列问题。
(1)本次接受抽样调查的男生人数为
(2)本次调查获取的样本数据的众数为
(3)完成引体向上项目的测试成绩百分位数数值表。
(1)本次接受抽样调查的男生人数为
40
,图①中m的值为25
。(2)本次调查获取的样本数据的众数为
5次
,中位数为6次
。(3)完成引体向上项目的测试成绩百分位数数值表。
答案
(1)本次接受抽样调查的男生人数为40，图①中m的值为25。
(2)本次调查获取的样本数据的众数为5次，中位数为6次。
(3)百分位数数值表中，$m_{50}=6$，$m_{60}=6$。
、
为题目对应统计图。解析
【分析】
解题思路如下：1. 求抽样总人数：直接将条形统计图中各引体向上次数对应的人数相加即可；求m值：扇形统计图所有占比之和为100%，用100%减去其余已知占比就能得到m%，进而得到m的值。2. 求众数：众数是样本数据中出现次数最多的数值，观察条形图中人数最多对应的次数即可；求中位数：先明确总人数为40，中位数是将数据从小到大排列后第20、21个数据的平均数，通过累计各次数的人数找到第20、21个数据对应的次数即可。3. 求百分位数：第p百分位数的计算方法是先计算总人数×p%，找到对应位置的数据即可，第50百分位数就是中位数。
【解析】
(1) 计算抽样总人数：将条形图各次数对应人数相加，$6+12+10+8+4=40$（人）；
计算m值：扇形图占比总和为100%，因此$m\%=100\%-30\%-15\%-10\%-20\%=25\%$，即$m=25$。
(2) 求众数：引体向上为5次的人数有12人，是所有次数中人数最多的，因此众数为5次；
求中位数：总共有40个数据，从小到大排列后，中位数为第20、21个数据的平均数。累计人数：4次共6人，5次共$6+12=18$人，6次共$18+10=28$人，可知第20、21个数据均为6次，因此中位数为6次。
(3) 求百分位数：
第50百分位数即中位数，因此$m_{50}=6$；
第60百分位数：$40×60\%=24$，第24个数据在6次的区间内，因此$m_{60}=6$。
【答案】
(1) 40，25
(2) 5次，6次
(3) $m_{50}=6$，$m_{60}=6$
、为题目对应统计图。
【知识点】
统计图表识别，众数与中位数，百分位数计算
【点评】
本题结合扇形统计图和条形统计图考查统计量的相关计算，解题的核心是准确从图表中提取有效信息，掌握各统计量的定义和计算方法，属于统计类基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 求抽样总人数：直接将条形统计图中各引体向上次数对应的人数相加即可；求m值：扇形统计图所有占比之和为100%，用100%减去其余已知占比就能得到m%，进而得到m的值。2. 求众数：众数是样本数据中出现次数最多的数值，观察条形图中人数最多对应的次数即可；求中位数：先明确总人数为40，中位数是将数据从小到大排列后第20、21个数据的平均数，通过累计各次数的人数找到第20、21个数据对应的次数即可。3. 求百分位数：第p百分位数的计算方法是先计算总人数×p%，找到对应位置的数据即可，第50百分位数就是中位数。
【解析】
(1) 计算抽样总人数：将条形图各次数对应人数相加，$6+12+10+8+4=40$（人）；
计算m值：扇形图占比总和为100%，因此$m\%=100\%-30\%-15\%-10\%-20\%=25\%$，即$m=25$。
(2) 求众数：引体向上为5次的人数有12人，是所有次数中人数最多的，因此众数为5次；
求中位数：总共有40个数据，从小到大排列后，中位数为第20、21个数据的平均数。累计人数：4次共6人，5次共$6+12=18$人，6次共$18+10=28$人，可知第20、21个数据均为6次，因此中位数为6次。
(3) 求百分位数：
第50百分位数即中位数，因此$m_{50}=6$；
第60百分位数：$40×60\%=24$，第24个数据在6次的区间内，因此$m_{60}=6$。
【答案】
(1) 40，25
(2) 5次，6次
(3) $m_{50}=6$，$m_{60}=6$
、为题目对应统计图。【知识点】
统计图表识别，众数与中位数，百分位数计算
【点评】
本题结合扇形统计图和条形统计图考查统计量的相关计算，解题的核心是准确从图表中提取有效信息，掌握各统计量的定义和计算方法，属于统计类基础题型。
【难度系数】
0.7
3.某校举办国学知识竞赛,满分为10分,学生得分均为整数。在初赛中,甲、乙两组(每组10人)学生成绩(单位:分)如下:
甲组:5,6,6,6,6,6,7,9,9,10;
乙组:5,6,6,6,7,7,7,7,9,10。
|组别|平均数/分|中位数/分|众数/分|方差|
|----|----|----|----|----|
|甲|7|
|6|2.6|
|乙|b|7|c|$s_乙^2$|
(1)上表中,$a=$
(2)小明说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中属于中等略偏上水平。”结合表格数据判断,小明可能是
(3)从平均数和方差的角度分析,若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛,应选哪个组?请说明理由。
甲组:5,6,6,6,6,6,7,9,9,10;
乙组:5,6,6,6,7,7,7,7,9,10。
|组别|平均数/分|中位数/分|众数/分|方差|
|----|----|----|----|----|
|甲|7|
|6|2.6||乙|b|7|c|$s_乙^2$|
(1)上表中,$a=$
6
,$b=$7
,$c=$7
。(2)小明说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中属于中等略偏上水平。”结合表格数据判断,小明可能是
甲
组的学生。(3)从平均数和方差的角度分析,若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛,应选哪个组?请说明理由。
答案
(1) a=6，b=7，c=7。
(2) 小明可能是甲组的学生。
(3) 选择乙组参加决赛。理由如下：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]=2$。
因为甲、乙两组学生成绩的平均数相等，且$s_乙^2＜s_甲^2$，
所以乙组的成绩比较稳定。
故选择乙组参加决赛。
(2) 小明可能是甲组的学生。
(3) 选择乙组参加决赛。理由如下：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]=2$。
因为甲、乙两组学生成绩的平均数相等，且$s_乙^2＜s_甲^2$，
所以乙组的成绩比较稳定。
故选择乙组参加决赛。
解析
【分析】
1. 第(1)问需结合统计量的定义计算：中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数；平均数是数据总和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数，分别对应代入甲组、乙组数据计算即可。
2. 第(2)问“中等略偏上”说明得分高于本组中位数，对比7分与两组中位数的大小关系即可判断组别。
3. 第(3)问先根据方差公式计算乙组方差，平均数相同时，方差越小成绩越稳定，据此选择参赛组。
【解析】
(1) 求$a$：将甲组成绩从小到大排序为5,6,6,6,6,6,7,9,9,10，共10个数据，中位数为第5、第6个数据的平均数，即$a=\frac{6+6}{2}=6$。
求$b$：乙组成绩总和为$5+6×3+7×4+9+10=70$，平均数$b=\frac{70}{10}=7$。
求$c$：乙组成绩中7出现了4次，出现次数最多，故众数$c=7$。
(2) 小明得7分属于中等略偏上，说明7分高于本组中位数：甲组中位数为6，$7＞6$，符合中等偏上；乙组中位数为7，7等于中位数，属于中等水平，因此小明是甲组学生。
(3) 先计算乙组方差：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+3+0+4+9)=2$
已知甲、乙两组平均数相等，且$s_乙^2=2＜s_甲^2=2.6$，说明乙组成绩更稳定，因此选择乙组参加决赛。
【答案】
(1) 6，7，7
(2) 甲
(3) 选择乙组参加决赛，理由：甲乙两组平均数相同，乙组方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
中位数，平均数，方差
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查各统计特征量的计算和实际应用，要求能熟练掌握定义及公式，结合数据特征解决实际问题。
【难度系数】
0.75
1. 第(1)问需结合统计量的定义计算：中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数；平均数是数据总和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数，分别对应代入甲组、乙组数据计算即可。
2. 第(2)问“中等略偏上”说明得分高于本组中位数，对比7分与两组中位数的大小关系即可判断组别。
3. 第(3)问先根据方差公式计算乙组方差，平均数相同时，方差越小成绩越稳定，据此选择参赛组。
【解析】
(1) 求$a$：将甲组成绩从小到大排序为5,6,6,6,6,6,7,9,9,10，共10个数据，中位数为第5、第6个数据的平均数，即$a=\frac{6+6}{2}=6$。
求$b$：乙组成绩总和为$5+6×3+7×4+9+10=70$，平均数$b=\frac{70}{10}=7$。
求$c$：乙组成绩中7出现了4次，出现次数最多，故众数$c=7$。
(2) 小明得7分属于中等略偏上，说明7分高于本组中位数：甲组中位数为6，$7＞6$，符合中等偏上；乙组中位数为7，7等于中位数，属于中等水平，因此小明是甲组学生。
(3) 先计算乙组方差：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+3+0+4+9)=2$
已知甲、乙两组平均数相等，且$s_乙^2=2＜s_甲^2=2.6$，说明乙组成绩更稳定，因此选择乙组参加决赛。
【答案】
(1) 6，7，7
(2) 甲
(3) 选择乙组参加决赛，理由：甲乙两组平均数相同，乙组方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
中位数，平均数，方差
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查各统计特征量的计算和实际应用，要求能熟练掌握定义及公式，结合数据特征解决实际问题。
【难度系数】
0.75
