10. 已知关于$x$的方程$2x^{2}-(3+4k)x+2k^{2}+k=0$.
(1)当$k$取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当$k$取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当$k$取何值时，方程没有实数根？

$ b^{2} - 4ac = [-(3 + 4k)]^{2} - 4 × 2(2k^{2} + k) = 16k + 9 $.
(1) 当 $ 16k + 9 ＞ 0 $，即 $ k ＞ -\frac{9}{16} $时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 当 $ 16k + 9 = 0 $，即 $ k = -\frac{9}{16} $时，方程有两个相等的实数根.
(3) 当 $ 16k + 9 ＜ 0 $，即 $ k ＜ -\frac{9}{16} $时，方程没有实数根.

11. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0$.
(1)当$b=a+1$时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的$a$，$b$的值，并求出此时方程的根.

(1) $ \because a \neq 0 $，$ \therefore b^{2} - 4ac = (a + 1)^{2} - 4a = a^{2} - 2a + 1 = (a - 1)^{2} $. $ \because (a - 1)^{2} \geq 0 $，$ \therefore $方程 $ ax^{2} + bx + 1 = 0 $有两个实数根.
(2) $ \because $方程 $ ax^{2} + bx + 1 = 0 $有两个相等的实数根，
$ \therefore b^{2} - 4ac = 0 $，即 $ b^{2} - 4a = 0 $.
若 $ b = 2 $，$ a = 1 $，则原方程为 $ x^{2} + 2x + 1 = 0 $，即 $ (x + 1)^{2} = 0 $，
解得 $ x_{1} = x_{2} = -1 $.

12. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+2k-4=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k$为正整数，且该方程的根都是整数，求$k$的值.

(1) $ b^{2} - 4ac = 4 - 4(2k - 4) = 20 - 8k $.
$ \because $方程有两个不相等的实数根，$ \therefore 20 - 8k ＞ 0 $，$ \therefore k ＜ \frac{5}{2} $.
(2) $ \because k $为正整数，且 $ k ＜ \frac{5}{2} $，即 $ k $为 1 或 2，$ \therefore x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{5 - 2k} $. $ \because $方程的根为整数，$ \therefore 5 - 2k $为完全平方数.
当 $ k = 1 $时，$ 5 - 2k = 3 $，不满足条件，舍去；当 $ k = 2 $时，
5-2k=1，满足条件
∴k=2